2025-2026学年高一下学期期中考试数学模拟卷（三）（湘教版适用）

2026春学期高一年级期中考试模拟卷（三)参考答案 题 3 9 10 11 号 答 ABD BCD BC 案 1.A【详解】将复数化简即：2=1+i-1+i1+2)-1+3i。1,3 Γ1-2i(1-2i)1+2i) +i,所以复数z的虚 5 5 5 部是号 2.C【详解】因为a∥b,所以3x+1=2(2x+1,解得x=1 3.D【详解】由题可得bcosB=acosA,由正弦定理可得sinBcosB=sinAcosA,所以 sin2-sin24, 又A,B,A+B∈(0，π，则2A,2B∈(0,2π，所以2B=2A或2B=π-2A,所以B=A或 A+B= 2 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D 4A【详解】由题可知方程x2-ax+b=0的另一个根为2-i,故b=(2+i)(2-i)=4-i2=5。 5.C【详解】因为数据2x1-7,2x2-7,…,2x0-7的平均数为5，所以 2玉+无++)-7×10=5，解得++…+=60，所以数据…，0的平均数为 10 +++0=60=6:因为数据2x-7,2x,-7,…,2x。-7的方差为16，所以 10 Γ10 [2-7-°+27-++2。-7-]=16. 化简得[5-6+（飞-6++。一-6门=4，可以看出数据，的方差为4故选： 6.A【详解】：D为BC的中点，2AD=AB+AC, 4Df=+丽.c+cf+2西4cosc. 41-12xx3+9=- 由余弦定理得8C=AB+4c-21B4Ccos2=1+9-2x1x3x》-13 :BC=V3,所以BD=3,osB=4B+BC-AC-1+13-9_5 21 2,M为AD上 2ABBC 2×1×V1326 靠近A的三等分点，÷BM=BD+B1,即3BW=BD+2BA, 3 :91Bmf-0+4D丽+4-+ki万，4x1-9W-号 4 2 26 4 BM=2,故选：A. 6 7.D【详解】因为3aBC+2bCA+4cAB=0,所以3aBC+2bCA+4c(-CA-BC)=0, (3a-4BC+2b-4c-0,张题意，元与C不共线，则0。可得 a-cb=2,所以mB-8e- 11 2ac 20 24 8.A【详解】设a,b的夹角为O,(0≤0≤π).a+(1-m)b1取得最小值|asin0(可通过几 何意义理解，|ā+(1-m)b的最小值就是ā在垂直于6方向上的投影长度)，已知 1日+0-5的经小省为9，所以asm0-5同惠，a+5取得设小值5m0,已 知na+万1的最小值为5，所以b|sin0=√5 由向量数量积公式a6ā61cos0=-1将asin0=5与61sin9:5相乘可得 a6sm293AxB将a6eos9与asn29相除可得：n93 2 cos0 21 即1-cos203 cosθ 2 设c0s0=1,则-=-号，整理得2-21=-3t,即27-31-2=0 医式分解得(1+0-2)=0，解得1=或1=2（合去）因为os0=分，且0≤9≤，所 以0=2 3 9.ABD【详解】对于A,tan225°=tan180°+45=tan45°=1，A正确；对于B √2cos222.5°-sin222.5)=√2cos45°=1，B正确；对于C, 2-c0s220 2-1+c0s403-c0s40 2tan22.5 2 2 1,C错误； =tan45°=1，D正确 3-sin50° 3-c0s40°=3-c0s40=2 1-tan222.5 l0BCD【详解】对于A选项，由正弦定理可得a=bsinC,但是不能得到a=bc,故A错误； 对于B选项，tanB+tanC=sinB+sinC_sin(B+C_ sinA sinBsinC tanBtanC, cosB cosC cosBcosC cosBcosCcosBcosC 故选项B正确； 对于C选项，由B,C为锐角，故tanBtanC>0,从而tanBtanC=tanB+tanC≥2√tanBtanC, 故tanBtanC24>1, 因为+B+C=,所以am4=am[k-(B+C]=-m(B+C=mBtC tan Btan C-1' 因此tanAtanBtanC= tanBtanC(tanB+tanC) tanBtanC-1 tanBtanC+1+ tanBtanC-1+- +2≥4，故C正确；对于D选项， tanBtanC-1 tanBtanC-1 由C可知tanA= tanB+tanC tanBtanC 14 4 =1+ tanBtanC-1 tanBtanC-1 +tanBtanC-1+3有则sinA≤ 由正弦定理可得sinA=-sinBsinC=bsin4.sind,得a2=besin4s4bc,故D正确， b a a BC 3 2R= =2W3 11.BC【详解】对于选项A:根据正弦定理可得 sin(a+β)√3 ,解得R=√3， 2 所以ABC外接圆的半径为√，A错误；对于选项B:在△ABD中， BD AB sina sin∠ADB' BD sin∠ADB 所以sina= AB 在△ACD中， sinB sin∠ADc,所以sinB=CDsin∠ADc CD AC 因为 AC BD=CD,sin∠ADB=sin∠ADC,所以sing-BDsin.∠ADB AC AC B正确； sin B AB CDsin.∠ADC=AB 对于选项C:根据余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos.∠BAC=AB2+AC2+AB·AC=9,可得 AB2+AC2+AB·AC=9≥3AB·AC, 所以AB·AC≤3，当且仅当AB=AC=3时等号成立，此时AB·AC的最大值为3，C正确： 对于选项D:因为D=AB+C列， 所以a而-aB+ac-as+ac+2 ceos）a6+ac-西c 因为AB2+AC2+AB·AC=9,所以AB2+AC2=9-AB·AC, 所以D=4a+aC-a4C49-2aC) 当4C=3时，0-49-2x3到-}，所以D=5,此时4D取最小值所以4D的 2 最小值为y5,D错误 3,117 12. tama+anB-54=29=1,因为a,B均为锐角，则 牙45由题得ma+到=mamB广女：0 5420 0<a+B<元，所以a+B=T 4 15司号U0网【详朝】a+5=2+12以+，a+5列6=a-6+5=3识+2>0则 若ā+5与五共线，则2+1=22+1，则天=0，故+5与5的夹角为锐角时，2>号且 1≠0 14.4【详解】复数z满足2-1=1，则复数z对应的点Z(xy)在以C1,0)为圆心，半径r=1 的圆上， 而z+2+41=2-（-2-4)表示圆上的点Z(x,y)到定点A(-2,-4)的距离d, 圆心C到定点A距离为：d,=√1+2)2+(0+4)2=5所以2+2+41(i是虚数单位)的最小值 为：dm=5-1=4 15.(1)a=0.020(2)88(3)102.5【详解】(1)由 10×0.005+0.01+0.015+2a+0.025+0.005=1,解得：a=0.020 （2)这100人的得分的平均数 x=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.2+95×0.25+105×0.2+115×0.05=88 (3)测试分数位列前20%的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数等价于获得奖品分数的 第80百分位数， 因为0.05+0.1+0.15+0.2+0.25=0.75<0.8,0.05+0.1+0.15+0.2+0.25+0.2=0.95>0.8， 所以第80百分位数在100,110，设第80百分位数为x,则0.75+(x-100)×0.02=0.8,解 得：x=102.5分 则测试分数位列前20%的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为102.5分 16.(2MQ行【详解】1)由a-5=(5,,得a--驴+P=2,而 la+6P+a-iP=2a2+262=2x12+2x(W5)2=8,所以a+=2 (2)依题意，a+5)G-)=-5=-2,因此c0s0=-位+6a-D_-」 a+b a-b 2,而0≤0≤π， 所以0= 3 17.03+4@7+45【详解1>由a引得a-君（君引 10 50 则cosa---sma--号所以 mu=[e-引月如-mm-君m后g9+ 2个a）m2a哥引-2asa引1-2osg1,医为 6 V34,134V3+3 2525 10 43+3 则eom2a-}-2s(昏-c小1-2x42 7+24V3 -1= 50 18.0=2:{=5a[5,2] 【详解】(1)f(x)=sinx+-V3 coswx-=2 sin ox+ 3, 因为函数(x)的最小正周期为刀， 所以2江=元今0=2， 所以小=22x+引，所以/)2n经6 3 12 由正弦函数的单调性可得fx=2,f(x=-5,所以f(x)在区间 12'2 上的值域 为[-v5,2] 19.（C=号Q②证明见解析6) 4v5,165 3 【详解】(I)因为csinB+ 2，所以c 3 sin B+cosB= a+b 6 2 2 2 再根据正弦定理得，sinC sin A+sin B 2 ,化简 2 sin Bsin Cco BsinCinn 2 2 22 又因为sinA=sin(B+C),所以 5 2 sin BsinC+ cos BsinC= sin BcosC+ 2cos Bsin C sin B C=sin BcosC+D因为B∈0，不，所以sinB≠0，则 2 则me-君引分且cea动，所以c-音 (2)根据题意，设AD=x,则BD=CD=2x △CDB为等腰三角形，所以∠DCB=∠B,∠CDA=2LB, a 2x 由1)知C=行，4：-8由正弦定理，点。 3 sin A sin B sin C' Ax D 2x B b 3x =2V3x 在ABC中， - sin sin B 3 ,则b=2√3 xsin B 2 2x 2v3xsin B CD 在△ACD中， b sinA sin∠CDA'即s 2r-B sin2B,化简整理得 n ( 今cosB=J3s1nB,即anB、、月/ 1 3 因为96，所以8-名则4-子c为在角5由品品。则 2 得a=2b,得证. (3)因为C-行，所以csC=a+-C-方，则a+6=b+c又5=6mC-5 2ab ab, 4 a2+b+c2_ab+2c2-48.c2-4+8.sim2C 则S 十 3 -ab 5万ah3+3sim4sinB 4 3 48.4 4 1 5V5sin4sinB店+25x sin Asin B m2a+-ams24-n4-君号 3 0<A< 又因为4BC为脱角三角形.则02-A 2 则<A< 2 0< 3 2 时24-6引mmsg引n[音a5 2025—2026学年春学期高一年级期中考试模拟卷（三） 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 2．已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．设复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 6．在中，，，，是中点，是上靠近的三等分点，则的长为（） A． B． C． D． 7．在中，角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是两个不共线的向量，若对任意的，的最小值为，的最小值为，若，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各式中值为1的有（   ） A． B． C． D． 10．在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 三、填空题 12．已知，均为锐角，且，，则______． 13． 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____． 14．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 四、解答题 15．江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1) 求的值； (2) 求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3) 测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 16．已知，，，求： (1)的值； (2) 与的夹角. 17．已知，且，求： （1）的值； （2）的值． 18．已知函数的最小正周期为 （1）求及； （2）求在区间上的值域. 19已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若点在边上，且，证明：； (3)若为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 答案第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $