2025-2026学年第二学期高一年级期中考试模拟卷（二）（湘教版）

**基本信息** 以解三角形应用题、统计分析等情境化问题为主，融合复数、三角函数、向量等知识，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高一年级期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数运算、三角函数求值、解三角形形状判断|结合图形考查集中趋势（7题），体现数学眼光| |多选题|3|复数几何意义、三角形性质判断|多角度辨析三角形解的个数（11题），发展推理思维| |填空题|3|解三角形应用、三角恒等变换|船航行观测灯塔（12题），强化空间观念| |解答题|5|统计分析、向量运算、解三角形综合|频率分布直方图求中位数（15题）考查数据意识，锐角三角形中线长度（18题）提升综合应用能力|

2026春学期高一年级期中考试模拟卷（二） 一、单选题 1．已知复数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 2．的值为（      ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 5．设，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 二、多选题 9．已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 10．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（   ） A．若，，，则满足条件的三角形有2个 B．若，则△ABC是等腰三角形 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 11．在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（    ） A．若，则的面积为 B．若，则 C．若，则 D．若有两解，则 三、填空题 12．如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 13．已知，，则______. 14．函数的值域是__________. 四、解答题 15．某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 16．已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 17．已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模. 18．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）求b的取值范围； （3）边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 19．在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求的周长； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春学期高一年级期中考试模拟卷（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D D C C B BC ACD 题号 11 答案 ACD 1．C．【详解】，所以，故选：C． 2．D【详解】，故选：D． 3．C【分析】由辅助角公式及余弦二倍角公式即可求解；【详解】由， 可得，即，所以，故选：C 4．D【详解】，， ，化简得，， ，即，或， ，或，即或，是直角三角形或等腰三角形.故选：D. 5．D【详解】因为，，则，所以， 则，又因为，则， 又，则，又，，则，所以， 故选：D. 6．C【详解】因为，所以，又因，所以，所以.故选：C. 7．C【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，所以.故选：C. 8．B【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得，化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即，又， 则的最小值为 9．BC.【详解】由，易知的虚部是3，故A错误；，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；，是实数不是纯虚数，故D错误. 故选：BC. 10．ACD【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确；对于B，因为，由正弦定理得，即，因为，，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的，又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的，由三角形的面积公式，可得，即，故D正确.故选：ACD. 11．ACD【详解】A：若，则，故A正确； B：若，由正弦定理得，即，解得，故B错误； C：若，由余弦定理得， 即，整理得，由解得，故C正确；D：由正弦定理得，则，由得，若有两个解，则且， 所以，即，解得，故D正确.故选：ACD 12．【详解】由图知知，， 由正弦定理有.故答案为： 13．/0.75【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：， 当，此时，不合题意； 当，符合题意；所以.故答案为： 14．【详解】由， 令，则，所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故的值域为.故答案为： 15．(1).(2)37.5吨.(3)平均数为37吨，方差为81. (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数.(3)应用均值和方差公式可求解.【详解】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为，因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5，第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得.故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 16．(1)(2).【分析】（1）利用数量积来求和向量的模即可； （2）利用数量积为0来求参数值.【详解】（1）， . （2）由，得0， 解得. 17．(1)(2)（2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，再结合复数的模的运算法则即可求解．【详解】（1）设， 则，所以，解得，故. （2）是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根，，解得， . 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以，则，即， 整理可得，即，所以，所以. （2）由正弦定理得，因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得，又， 则， 由正弦定理可得，所以， 所以 由（2）知，则， 所以，则， 则，故中线的长度的取值范围为. 19．(1)(2)(3)（2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解.【详解】（1）若，则,由正弦定理可得，故，因此,. （2）由（1）可得，又,故，因此，故，因此周长为（3）由于，故， 由正弦定理可得， 故，因为，所以， 所以，故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 学科网（北京）股份有限公司 $