专题06幂的运算复习讲义(15大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题06幂的运算复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式与文字法则。 2.熟记幂的三大基础运算公式，明确公式结构、适用条件。 3.区分三种幂运算的不同形式，杜绝公式混淆。 1.能熟练运用幂的运算法则进行正向计算、化简求值。 2.会逆用幂的运算公式，灵活变形解题。 3.正确处理符号、底数、指数，提升整式运算能力。 1.掌握基础计算题，选择、填空、简单计算题型稳拿分。 2.规避指数加减、乘方混淆、符号错误等高频失分点。 3.熟练解决公式逆用、整体代入等常考题型，为整式乘法打好基础。 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.科学记数法表示数的乘法 题型04.积的乘方运算 题型05.积的乘方的逆用 题型06.幂的乘方运算 题型07.幂的乘方的逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.零指数幂 题型10.负整数指数幂 题型11.科学记数法表示小于1的数 题型12.科学记数法还原小数原数 题型13.幂的混合运算 题型14.同底数幂除法的逆用 题型15.新定义运算题 解答题7题 前置基础概念 1.幂的定义 an 读作：a 的 n 次方 a：底数；n：指数；整体 an：幂 2.核心前提：底数相同，才能套用同底数幂公式。 幂运算 “三巨头”—— 乘法家族核心 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用）⚠️ ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事）⚠️ ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 三大公式超级对比表（一眼分清，杜绝混淆） 运算类型 运算规律 指数变化 核心口诀 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 相乘加指数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 乘方乘指数 积的乘方 分别乘方 指数不变 积方分开算 幂运算 “除法派”—— 含特殊幂规则 1. 同底数幂相除：底数不变，指数相减 ✅ 公式：am÷an=am−n（a0，m>n） ✅ 逆用：am−n=am÷an⚠️ ⚠坑点：底数绝对不能为 0，这是前提！ 2. 零指数幂：非 0 数的 0 次幂，都是 1 ✅ 公式：a0=1（a0） ⚠铁律：a0！0 的 0 次幂没有意义，考试必考陷阱 3. 负整数指数幂：负指数变倒数，不是变负数 ✅ 公式：a−p=（a0，p为正整数） ✅ 技巧：底数为负时，先看指数奇偶定符号（偶正奇负），再算倒数⚠️ ⚠坑点：别把a−n算成−an，负指数只代表 “位置在分母” 实战大招：科学记数法表示 “小数” 专门解决绝对值小于 1 的数，告别一串 0，书写超简洁！ ✅ 格式：a×10−n（1≤∣a∣<10，n为正整数） ✅ 定n绝招：数原数第一个非 0 数字前的 0（包括小数点前的 0），有几个 0，n就是几 ☞例子：0.00056=5.6×10−4（第一个非 0 数 5 前有 4 个 0） 符号运算专项要点 1.负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负； 2.(−a)n 与 −an 完全不同，切勿混淆； 3.系数、字母底数分开运算，先定符号，再算幂。 高频易错避雷清单 1.同底数幂相乘：指数相加，不要错写成相乘； 2.幂的乘方：指数相乘，不要错写成相加； 3.积的乘方：括号内所有因式必须乘方，漏掉系数乘方是重灾区； 4.底数不同时，不能直接套用同底数幂公式； 5.混合运算：先乘方，再乘除，运算顺序不能乱。 题型01.同底数幂相乘. 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若a，b是正整数，且满足，则______． 【跟踪专练2】杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一，如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，则等于（    ） A． B． C． D． 题型02.同底数幂乘法的逆用 【典例】若，，则的值是（    ） A．0．5 B．50 C．4 D．5 【跟踪专练1】若，则________． 【跟踪专练2】已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型03.科学记数法表示数的乘法 【典例】神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用科学记数法表示：_________． 【跟踪专练2】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 题型04.积的乘方运算 【典例】下列整式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算的结果是_____．（括号里有m个3） 【跟踪专练2】若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 题型05.积的乘方的逆用 【典例】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算的值等于_________． 【跟踪专练2】已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 题型06.幂的乘方运算 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，则用x的代数式表示y，结果为__． 【跟踪专练2】已知（x、y均为正整数），则的值为（   ） A．9 B．8 C．6 D．27 题型07.幂的乘方的逆用 【典例】若，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【跟踪专练1】若，，则_____________． 【跟踪专练2】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型08.同底数幂的除法运算 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，，则的值为_____． 【跟踪专练2】实数满足，则代数式的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型09.零指数幂 【典例】如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：______． 【跟踪专练2】如果，那么的值不能取（    ） A． B．1 C．3 D．4 题型10.负整数指数幂 【典例】计算：（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 【跟踪专练2】若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 题型11.科学记数法表示小于1的数 【典例】合肥在量子科技、芯片领域全国领先，有一种芯片内部的晶体管宽度约为，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递．已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克，数据“0.0008”用科学记数法表示为_____． 【跟踪专练2】泡泡器吹出的泡泡绚丽多彩，泡泡的平均厚度约为．已知，那么用科学记数法表示为（   ） A．m B．m C．m D．m 题型12.科学记数法还原小数原数 【典例】某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 【跟踪专练1】下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1）________； （2）________． 【跟踪专练2】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 题型13.幂的混合运算 【典例】下列各式计算正确的是（    ） A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12 C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3 【跟踪专练1】若，则________． 【跟踪专练2】若，则的值（ ） A． B． C． D．3 题型14.同底数幂除法的逆用 【典例】已知，，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．2 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为________． 【跟踪专练2】已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 题型15.新定义运算题 【典例】如果，那么我们规定，例如：因为，所以． （1）若，则______； （2）已知，，，若，则y的值为______． 【跟踪专练1】对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为___________． 【跟踪专练2】对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解答题】 1．计算： (1)； (2) 2．已知，，． (1)求的值； (2)试说明． 3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，则_____； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 4．计算． (1) (2)（用科学记数法表示结果） 5．水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是多少（单位：）？ 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06幂的运算复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式与文字法则。 2.熟记幂的三大基础运算公式，明确公式结构、适用条件。 3.区分三种幂运算的不同形式，杜绝公式混淆。 1.能熟练运用幂的运算法则进行正向计算、化简求值。 2.会逆用幂的运算公式，灵活变形解题。 3.正确处理符号、底数、指数，提升整式运算能力。 1.掌握基础计算题，选择、填空、简单计算题型稳拿分。 2.规避指数加减、乘方混淆、符号错误等高频失分点。 3.熟练解决公式逆用、整体代入等常考题型，为整式乘法打好基础。 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.科学记数法表示数的乘法 题型04.积的乘方运算 题型05.积的乘方的逆用 题型06.幂的乘方运算 题型07.幂的乘方的逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.零指数幂 题型10.负整数指数幂 题型11.科学记数法表示小于1的数 题型12.科学记数法还原小数原数 题型13.幂的混合运算 题型14.同底数幂除法的逆用 题型15.新定义运算题 解答题7题 前置基础概念 1.幂的定义 an 读作：a 的 n 次方 a：底数；n：指数；整体 an：幂 2.核心前提：底数相同，才能套用同底数幂公式。 幂运算 “三巨头”—— 乘法家族核心 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用）⚠️ ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事）⚠️ ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 三大公式超级对比表（一眼分清，杜绝混淆） 运算类型 运算规律 指数变化 核心口诀 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 相乘加指数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 乘方乘指数 积的乘方 分别乘方 指数不变 积方分开算 幂运算 “除法派”—— 含特殊幂规则 1. 同底数幂相除：底数不变，指数相减 ✅ 公式：am÷an=am−n（a0，m>n） ✅ 逆用：am−n=am÷an⚠️ ⚠坑点：底数绝对不能为 0，这是前提！ 2. 零指数幂：非 0 数的 0 次幂，都是 1 ✅ 公式：a0=1（a0） ⚠铁律：a0！0 的 0 次幂没有意义，考试必考陷阱 3. 负整数指数幂：负指数变倒数，不是变负数 ✅ 公式：a−p=（a0，p为正整数） ✅ 技巧：底数为负时，先看指数奇偶定符号（偶正奇负），再算倒数⚠️ ⚠坑点：别把a−n算成−an，负指数只代表 “位置在分母” 实战大招：科学记数法表示 “小数” 专门解决绝对值小于 1 的数，告别一串 0，书写超简洁！ ✅ 格式：a×10−n（1≤∣a∣<10，n为正整数） ✅ 定n绝招：数原数第一个非 0 数字前的 0（包括小数点前的 0），有几个 0，n就是几 ☞例子：0.00056=5.6×10−4（第一个非 0 数 5 前有 4 个 0） 符号运算专项要点 1.负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负； 2.(−a)n 与 −an 完全不同，切勿混淆； 3.系数、字母底数分开运算，先定符号，再算幂。 高频易错避雷清单 1.同底数幂相乘：指数相加，不要错写成相乘； 2.幂的乘方：指数相乘，不要错写成相加； 3.积的乘方：括号内所有因式必须乘方，漏掉系数乘方是重灾区； 4.底数不同时，不能直接套用同底数幂公式； 5.混合运算：先乘方，再乘除，运算顺序不能乱。 题型01.同底数幂相乘. 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则，根据对应法则逐一判断即可得到结果. 【详解】解：A、，该选项计算正确； B、，该选项计算错误； C、，该选项计算错误； D、，该选项计算错误． 【跟踪专练1】若a，b是正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法得到，进而可知的值． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一，如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中的数据，发现当为偶数时，，当为奇数时，，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ． 题型02.同底数幂乘法的逆用 【典例】若，，则的值是（    ） A．0．5 B．50 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方的性质，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，且已知 ， ∴ 代入得． 【跟踪专练1】若，则________． 【答案】 【分析】先将化为的幂的形式，再利用幂的乘方法则化简，根据同底数幂相等时指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得． 【跟踪专练2】已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是将所有已知等式统一化为底数为3的幂．先将和化为以3为底的幂，再利用建立等式，最后根据指数相等得到关系． 【详解】解：， ， 又, 且， ， 即， 且， ， 故选：． 题型03.科学记数法表示数的乘法 【典例】神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可． 【详解】解：∵飞行速度约为每秒， ∴飞行1分钟的路程约为：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键． 【跟踪专练1】用科学记数法表示：_________． 【答案】 【分析】先计算系数乘积，再计算同底数幂的乘积，最后整理得到符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 题型04.积的乘方运算 【典例】下列整式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零指数幂，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则逐一判断即可． 【详解】解：A、根据零指数幂法则，任何非零数的次幂等于， ∵ ， ∴ ，故此选项正确； B、根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，得，故此选项错误； C、根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，得，故此选项错误； D、与不是同类项，不能合并，故此选项错误． 【跟踪专练1】计算的结果是_____．（括号里有m个3） 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【分析】利用幂的运算法则将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型05.积的乘方的逆用 【典例】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的值等于_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】已知，那么与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【答案】A 【分析】将，变化为指数相同的形式，再根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴． 题型06.幂的乘方运算 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的幂的相关运算法则计算各选项，即可得出正确结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 【跟踪专练1】已知，，则用x的代数式表示y，结果为__． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】已知（x、y均为正整数），则的值为（   ） A．9 B．8 C．6 D．27 【答案】A 【分析】先将所求式子的底数统一转化为3，利用幂的运算性质化简，再结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】，， ， ， ． 题型07.幂的乘方的逆用 【典例】若，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据已知得到，利用幂的乘方逆运算法则将变形为，最后整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 把代入，原式． 【跟踪专练1】若，，则_____________． 【答案】 【分析】根据得到，代数求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ， ． 【跟踪专练2】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 题型08.同底数幂的除法运算 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【跟踪专练1】若，，则的值为_____． 【答案】3 【分析】利用同底数幂的除法法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练2】实数满足，则代数式的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题意求出，再将变形为，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 题型09.零指数幂 【典例】如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 【跟踪专练1】计算：______． 【答案】2 【详解】解： ． 【跟踪专练2】如果，那么的值不能取（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】把各选项m的值分别代入验证即可． 【详解】解：A．把代入得，不符合题意； B．把代入得，不符合题意； C．把代入得，不符合题意． D．把代入得，符合题意． 题型10.负整数指数幂 【典例】计算：（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据负整数指数幂运算法则： ∵，且， ∴． 【跟踪专练1】已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 【答案】< 【分析】先利用负整数指数幂计算，然后进行有理数大小比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 【跟踪专练2】若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负指数幂、零次幂和乘方的运算法则算出每个数的具体值，再从小到大排序，选出对应的选项． 【详解】解：，，，， ， 故． 题型11.科学记数法表示小于1的数 【典例】合肥在量子科技、芯片领域全国领先，有一种芯片内部的晶体管宽度约为，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【跟踪专练1】钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递．已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克，数据“0.0008”用科学记数法表示为_____． 【答案】 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 对于，左起第一个非零数字为，满足，原数左起第一个非零数字前共有个零，因此， ． 【跟踪专练2】泡泡器吹出的泡泡绚丽多彩，泡泡的平均厚度约为．已知，那么用科学记数法表示为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，，为整数，进行表示即可． 【详解】解：已知， 因此， ． 题型12.科学记数法还原小数原数 【典例】某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为0.02， 故选：C． 【跟踪专练1】下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，则，，进行作答即可． 【详解】解：，， 故答案为：， 【跟踪专练2】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 题型13.幂的混合运算 【典例】下列各式计算正确的是（    ） A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3 B．4x2·（－2x3）2＝16x12 C．（－a2）·a3＝a6 D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 题型14.同底数幂除法的逆用 【典例】已知，，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆用，根据同底数幂相除的运算法则得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用幂的乘方逆运算与同底数幂的除法逆运算，先将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，需将转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∵（同底数幂除法性质：）， 又∵， ∴原式． 故选：B． 题型15.新定义运算题 【典例】如果，那么我们规定，例如：因为，所以． （1）若，则______； （2）已知，，，若，则y的值为______． 【答案】 96 【分析】本题考查了整式的运算，幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是解此题的关键． （1）根据题意可得，即可得解； （2）根据题意可得，，，从而可得，，从而可得，结合已知条件可得，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为___________． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 【跟踪专练2】对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 【解答题】 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．已知，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)81 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）计算出的值，根据即可说明． 【详解】（1）解： （2）， 所以，即． 3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，则_____； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据新定义即可得到； （2）根据新定义得到 ，，，根据即可得； （3）根据新定义得到， ，即可判断． 【详解】（1）解：， ； ，， ； （2）解：∵，，， ，，， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵，， ，， ①； ② ，， ， ， ， ． 4．计算． (1) (2)（用科学记数法表示结果） 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）首先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算即可； （2）根据同底数的乘法和负整数指数幂法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是多少（单位：）？ 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，即可得出答案． 【详解】解：， 答：一个水分子的质量大约是． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的运算、幂的混合运算、零指数幂和负整数指数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算同底数幂的除法，积的乘方，再合并即可得出答案； （2）根据单项式乘以单项式，同底数幂的乘法法则计算，再利用负整数幂的运算法则计算即可； （3）根据零指数幂和负整数指数幂及有理数乘方的运算即可得出答案； （4）根据负整数幂，积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）原式 ； （4）解：原式 ． 7．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立，证明如下： 设，，则，．． ，即． (1)根据上述规定，填空：①，； ②若，则． (2)计算：，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)①5；3  ② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）①②根据“雅对”定义解答即可； （2）设，，仿照题干所给例子解答即可； （3）由已知得出，，整理可得结论． 【详解】（1）解：①，； ，； ②，，； （2）设，，则，， ， ，即； （3）证明：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $