精品解析：江苏东台市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

东台市第一中学2025级高一年级下学期月考一 数学试卷 考试时长：120分钟 命题人：练玉娟 一､单选题 1. 已知复数满足，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，进而可得模长. 【详解】由题意得， 所以． 2. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】若，则，即， 向量，则，解得. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】由二倍角的余弦公式可得． 故选：A． 4. 已知 ， 且 为第四象限角， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式求得，根据同角的三角函数关系求得，即可求得答案. 【详解】由可得， 即， 因为 为第四象限角，故， 所以， 故选：A 5. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，且，可得， 则， 所以. 故选：B. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得. 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 7. 已知角，，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过，的范围求出，进一步求出，再求出，结合角的范围求出角的大小即可. 【详解】∵，由，则， ∴，， 又，即， 解得，∴， ∴， 又， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题. 8. 已知，则 等于（　　） A. － B. ± C. －1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解. 【详解】， 故选：D 二､多选题 9. 下列式子结果为的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用即可得①正确；，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误. 【详解】对于①，由于， 所以 ； 对于②，由于， 所以； 对于③，因为， ； 对于④，因为， ； 故选：ABC 10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 11. 设是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，则和的夹角为 B. 若，则和的夹角为 C. 若，则和方向相同 D. 若，则和的夹角为锐角 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定D. 【详解】，，，构成等边三角形，A正确； ，以向量，为邻边的平行四边形中， 由，和对角线构成的三角形是等边三角形， 由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确； 因为， 所以，又， 故， 所以，则与同向，C正确； 若，则和的夹角为锐角或者，D错误. 三､填空题 12. 在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 13. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， ，即， ， ，， ． 14. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 四､解答题 15. （1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求； （2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】（1）由二倍角公式：， 由余弦差角公式：. 由于原式分母不为0，故，则， 化简得，两边平方得 ， 解得. （2）将代入得 ， 则分子 ， 由降幂公式可知分母， 从而原式. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 17. 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【小问1详解】 在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 18. 已知，且． （1）求角的大小． （2），求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合平方关系可求得和，然后利用正弦的二倍角公式即可求出角的大小. （2）利用三角恒等变换，辅助角公式得到，即可得出结果. 【小问1详解】 因为， 且，， 解得，. 又， 所以或，或（舍）. 所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 19. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； 【小问3详解】 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东台市第一中学2025级高一年级下学期月考一 数学试卷 考试时长：120分钟 命题人：练玉娟 一､单选题 1. 已知复数满足，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ， 且 为第四象限角， 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知角，，，，则角（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则 等于（　　） A. － B. ± C. －1 D. 1 二､多选题 9. 下列式子结果为的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 11. 设是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，则和的夹角为 B. 若，则和的夹角为 C. 若，则和方向相同 D. 若，则和的夹角为锐角 三､填空题 12. 在中，角的对边分别是，若，则__________． 13. 已知，，则________． 14. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 四､解答题 15. （1）已知，求的值； （2）化简：. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 17. 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 18. 已知，且． （1）求角的大小． （2），求函数的值域. 19. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $