八年级数学下学期5月学情自测卷（新教材华东师大版，高效培优）

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大八年级下册第15章~第18章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 3．在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形中，点在边（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设．则为（   ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 7．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 10．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．32 11．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 12．在边长为的正方形中，点是边上的动点（不与点，重合），连接，点是点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：点到的距离恒为；；；的面积．正确的结论有（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若点在轴上，则________． 14．若分式有意义，则x应满足的条件是______． 15．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，，点在函数的图象上．若以A，B，C，D，为顶点的四边形是平行四边形，且点在第一象限，则满足条件的点的坐标为___________． 16．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时的面积随时间变化的函数图象，则的边的长为________． 17．实数a，b，c满足，，则________． 18．如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题6分）解分式方程：． 20．（本题6分）已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：． 21．（本题8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图像交于点．已知点的坐标，点的坐标． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)点是的中点，将向右平移，使点落在反比例函数的图像上，此时点的坐标为______． 22．（本题8分）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求画出格点图形（顶点在格点上）． (1)在图1中画出关于点成中心对称的； (2)在图2中画一个平行四边形，且有一个内角为． 23．（本题10分）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 24．（本题10分）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 25．（本题12分）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 26．（本题12分）如图1，在正方形中，E是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，作于点M． (1)求证：； (2)如图2：连接与交于点G． ①直接写出与的位置关系________； ②求证：点G是线段的中点； (3)在（2）条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大八年级下册第15章~第18章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【答案】C 【详解】解：平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等. 故只有选项C正确. 3．在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，先求出的取值范围，再判断各选项即可得到答案． 【详解】∵反比例函数中，随的增大而减小 ∴根据反比例函数性质，可得比例系数 解得 对选项逐一判断： A. ，不符合要求， B. ，不符合要求， C. 时，，原式不是反比例函数，不符合要求， D .，符合要求． 4．如图，正方形中，点在边（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设．则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据轴对称的性质可得，利用正方形的性质可得，进而，，最后利用同角的余角相等可得. 【详解】解：连接， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵正方形中， ∴，， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴. 5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质． 根据、两种情况作答即可． 【详解】解：当时，经过二、四象限，经过一、二、三象限，A选项符合； 当时，经过一、三象限，经过一、三、四象限，无符合的选项； 故选：A． 6．关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 7．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 8．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】作，根据对称性可知，为的中点，三角形的中线平分面积，得到，三线合一结合三角形的中线平分面积，求出，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两点关于原点对称， ∴为的中点， ∴， 作， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在二，四象限， ∴， ∴． 10．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．32 【答案】D 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质，可证明，所以，所以，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，射线平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 11．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前面4次的运动结果，找到规律，进而求解即可． 【详解】解：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， …， 按这样的运动规律，第n次运动后，横坐标就是n， ∴第2026次运动后，动点的横坐标为2026， 点的纵坐标：1， 0， ， 0， 1， 0， ， 0， …，周期为4， ∵余2， ∴第2026次运动后，动点的纵坐标为0， ∴第2026次运动后，动点的坐标为． 12．在边长为的正方形中，点是边上的动点（不与点，重合），连接，点是点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：点到的距离恒为；；；的面积．正确的结论有（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质可得，从而得到，，进而判断；利用“”证明 ，结合角平分线性质判断；利用三角形面积公式及线段关系判断． 【详解】解：如图，连接，   点是点关于的对称点， ， ，，． 点在的延长线上， ，即 ， 点到的距离为，故正确； 在和 中， ， ， ，． ， ， ，故正确； ， ． 在中，， ，解得， ，故错误； ，且 ， ，故正确． 综上所述，正确的结论是． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若点在轴上，则________． 【答案】 3 【分析】根据x轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，据此列一元一次方程求解即可. 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为， 即 ， 解得 ． 14．若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 15．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，，点在函数的图象上．若以A，B，C，D，为顶点的四边形是平行四边形，且点在第一象限，则满足条件的点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式分三种情况讨论，求出点的坐标后，根据点在函数图象上且在第一象限，筛选出符合条件的结果． 【详解】解：设点的坐标为，因为点在的图象上，所以， 根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 情况1：当为对角线时，由中点坐标公式得 ，， 代入坐标得：，， 解得，，点不在第一象限，不符合题意； 情况2：当为对角线时，得，， 代入坐标得：，， 解得，，点不在第一象限，不符合题意； 情况3：当为对角线时，得，， 代入坐标得：，， 解得，， 验证：将代入，得，符合解析式，且点在第一象限，符合题意． 16．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时的面积随时间变化的函数图象，则的边的长为________． 【答案】 【分析】先从函数图像中，利用面积最大值和总运动时间，求出直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：根据题图可知，当点运动到点时，的面积最大，最大值为， 当点运动到点时，的面积为， 可得即，， 则 ， 故． 17．实数a，b，c满足，，则________． 【答案】72 【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式将各分子分解后与分母约分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴ ． 18．如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设，先证明，然后证明，再证明，最后通过矩形的性质以及对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设 ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形，， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 解得 ∴的长为． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题6分）解分式方程：． 【答案】原方程无解 【详解】解：两边同时乘以得：， 解得：， 检验：将代入， 是方程的增根，原方程无解． 20．（本题6分）已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合线段中点的定义，可证明，再根据平行四边形的判定，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 21．（本题8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图像交于点．已知点的坐标，点的坐标． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)点是的中点，将向右平移，使点落在反比例函数的图像上，此时点的坐标为______． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设将向右平移m个单位，使点在落在反比例函数的图像上，此时平移后点D的坐标为，点A的坐标为，把点代入，求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 将点和点分别代入，得∶ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， ∵点是的中点， ∴点， 设将向右平移m个单位，使点落在反比例函数的图像上， 此时平移后点D的坐标为，点A的坐标为， 把点代入，得：， 解得：， ∴点A的坐标为． 22．（本题8分）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求画出格点图形（顶点在格点上）． (1)在图1中画出关于点成中心对称的； (2)在图2中画一个平行四边形，且有一个内角为． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据中心对称的性质找到对应点即可 （2）利用网格求得，，利用勾股定理的逆定理判定为等腰直角三角形，即，进一步利用网格的性质可知四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则， 根据网格的性质可知，四边形为平行四边形． 23．（本题10分）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为定值，理由见解析 【分析】（1）根据正方形得到，再根据角平分线的定义求解即可； （2）在的延长线上取点H，使得，则，得到，证明，得到，从而，再证明，即可得出，因此的长等于正方形的边长，为定值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：的长为定值，理由如下： 在的延长线上取点H，使得， ∵在正方形中，，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）有， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长等于正方形的边长，为定值． 24．（本题10分）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 25．（本题12分）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 26．（本题12分）如图1，在正方形中，E是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，作于点M． (1)求证：； (2)如图2：连接与交于点G． ①直接写出与的位置关系________； ②求证：点G是线段的中点； (3)在（2）条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①②见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质得到，则可证明，进而可利用证明可得，可得，故可得； （2）①证明，得到； ②过点F作交于L，可证明四边形是平行四边形．得到，再证明，即可证明； （3）连接交于点，则点为的中点，设，得，，，证明是的中位线，，求出，，得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， 又是正方形的对角线， ， ∴， ∴； ②证明：过点F作交于L，如图， ∵，即 又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G是线段的中点； （3）解：连接交于点，则点为的中点， 设， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 4 6 8 9 10 11 12 0 C A B 0 D 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13.3 14.x≠-315.(6,2) 16.V1317.7218.9/2 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(6分) 【详解】解：两边同时乘以(x-2)得：1-2x=2x-4-3,(2分) 解得：x=2,(4分) 检验：将x=2代入x-2=0, ÷x=2是方程的增根，原方程无解.(6分) 20.(6分) 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·AD‖BC,AD=BC,(2分) :E,F分别是AD,BC的中点， :DE=AD,BF=BC,(4分) DE=BF, :四边形BFDE是平行四边形， :BE=DF.(6分) 21.(8分) 【详解】(1)解：将点C(1,6)代入y=畏(x>0),得m=1×6=6, 反比例函数的表达式为y=是，(2分) 6=k+b 将点A(-2,0)和点C(1,6)分别代入y=kx+b,得：{0=-2k+b k=2 解得b=4 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.一次函数的表达式为y=2x+4;(4分) (2)解：对于y=2x+4, 当x=0时，y=4, 点B(0,4), :点D是OB的中点， 点D(0,2),(6分) 设将△AOB向右平移m个单位，使点D落在反比例函数的图像上， 此时平移后点D的坐标为(m2),点A的坐标为（一2+m,0), 把点(m,2)代入y=景，得：2=岛， 解得：m=3, .点A的坐标为(1,0).(8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：如图， (3分) (2)解：如图， :DE=DF=V32+1=V10,EF=22+42=V20,(5分) DE2+DF2=EF2, ∴△DEF为等腰直角三角形，(7分) 则∠DEF=45°， 根据网格的性质可知，四边形DEFG为平行四边形.(8分) 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分) 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90o, .∠DCE=180°-∠BCD=90o, :CF平分∠DCE, ∠ECF=克∠DCE=45°.(3分) (2)解：EG的长为定值，理由如下： 在BA的延长线上取点H,使得AH=CE, G :在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC, ·AB十AH=BC+CE,即BH=BE,(6分) ∴△BEH是等腰直角三角形， .∠H=45o, 由(1)有∠FCE=45°， ∠H=∠FCE, :AE⊥EF, .∠AEF=90°， :∠HAE=∠B+∠BEA=90°+∠BEA, ∠CEF=∠AEF+∠BEA=90°十∠BEA, ∠HAE=∠CEF, :△HAE≌△CEF(ASA),(8分) :AE=EF, :FG⊥BC, .∠FGE=90°， .∠FEG+∠EFG=90°， :∠AEB+∠FEG=180°-∠AEF=90°， 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AEB=∠EFG, :∠B=∠FGE :△ABE≌△EGF(AAS), ..EG=AB, EG的长等于正方形ABCD的边长，为定值.(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：设每个“天宫”模型的成本为x元，每个“神舟”模型的成本为(1+10%)x元， 3000-800 根据题意得，1+10%x 8=12, 解得x=100,(2分) 经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，(3分) (1+10%)×100=110, 答：每个“天宫"模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元；(4分) (2)解：“天宫"模型数量：800÷100=8个，(7分) “神舟”模型数量：8+12=20个， “天宫"模型销售额：8×150=1200元，(8分) “神舟"模型前20-5=15个销售额：15×150=2250元， 剩下5个"神舟”模型打八折：5×150×0.8=600元， ∴.总销售额：1200+2250+600=4050元， 总成本为3000元，所以总利润：4050-3000=1050元.(10分) 25.(12分) 【详解】(1)解：令2x=3y=4z=12k(k≠0)，则x=6k,y=4k,z=3k, 年=歌华=号：(3分) (2)解：令费=若=器=k,则a+b=2ck,b+c=2ak,c+a=2bk, :(a+b)+(b+c)+(c+a)=2ck+2ak+2bk,(5分) 2(a+b+c)=2k(a+b+c), 若a十b十c≠0，则有2k=2,解得k=1, a+b=2c,b十c=2a,c十a=2b,(7分) .+bX+9c+2=222驰==8；(8分) abc abc abc 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a+b十c=0,则有a+b=-c,b+c=一a,a+c=-b, :a+b9c起=X2-也=0=-1： abc abc abc :+b9c起的值为8或-1·(10分) abc 26.(12分) 【详解】(1)证明：：将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF, ·AE=FE,AEF=90°， ∴∠AEB+∠MEF=90°， :四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°， .∠AEB十∠BAE=90°， ∴.∠BAE=∠MEF; :FM⊥BC, ∠M=90°； ·∠ABC=∠M, 在△ABE和△EMF中， ∠ABE=∠M ∠BAE=∠MEF AE=EF △ABE兰△EMF(AAS),(2分) .AB=EM,BE=FM, :.BC=EM ∴BC-EC=EM-EC, .BE=CM, .CM=FM:(3分) (2)解：①：∠M=90°，CM=FM, :∠FCM=∠CFM=8090=450, 2 又BD是正方形ABCD的对角线， ·∠DBC=45°，(4分) ∴.∠DBC=∠FCM=45°， CF‖BD;(5分) 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②证明：过点F作FL‖BC交BD于L,如图， B :CFIBD,即CFBL 又FL‖BC, :四边形BCFL是平行四边形.(6分) :FL=BC=AD. :FL‖BC,ADI‖BC, FL‖AD, .∠LFG=∠DAG,∠FLG=∠ADG, 在△ADG和△FLG中， I∠LFG=∠DAG FL=AD N∠FLG=∠ADG :△ADG≌△FLG(ASA), .AG=FG, 点G是线段AF的中点；(7分) (3)解：连接AC交BD于点O,则点0为AC的中点， B E C M 设AB=a, :四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,AO=OC,BC=CA=DA=AB=a,OB=OD,(8分) AC=2a,BD=2a. :0D=号a,9分) 又G是AF的中点，O是AC的中点， 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OG是△ACF的中位线， .0G=CF, :△FCM是等腰直角三角形，CM=FM=BE,EC=BC-BE=a-BE, CF=VCM2+FM2=V2CM=2BE.(10 :0G=号8E, 00=9. DG=0D-0G=9a-号8B=9(a-BE)=号BC.(12分) 717