考点19 平面与平面垂直（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点19 平面与平面垂直 考点一：二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 考点二：平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 考点三：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 题型一：面面垂直有关命题的判断 判断面面垂直相关命题时，必须严格对照判定定理与性质定理的完整条件，重点核对“线面垂直”“线在面内”“垂直交线”等关键要素，不能仅凭部分条件下结论。同时牢记常见反例，如仅一平面内一条直线平行于另一平面、或仅线线垂直，均无法推出面面垂直，避免因条件缺失导致判断错误。 【例1】（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【例2】已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，，，则，是异面直线 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式1-1】设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，且满足，则 【变式1-3】已知是两个平面，，是两条直线，则下列命题错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，， ，那么 题型二：证明面面垂直 证明面面垂直的核心方法是使用面面垂直判定定理，思路为“线面垂直→面面垂直”。解题时先在一个平面内找到一条直线，证明这条直线垂直于另一个平面，再说明这条直线在第一个平面内，即可直接推出两个平面互相垂直，整个过程必须清晰体现“线面垂直”这一关键步骤。 【例3】如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【例4】如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【变式2-1】在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2-2】如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【变式2-3】如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 题型三：面面垂直证明线面垂直 利用面面垂直证明线面垂直，需严格使用面面垂直性质定理。先确认两个平面垂直，再在其中一个平面内作一条直线垂直于两个平面的交线，满足“垂直交线、直线在面内、面面垂直”三个条件，就能直接推出这条直线垂直于另一个平面，是由面面垂直推导线面垂直的标准用法。 【例5】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【例6】如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【变式3-1】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面．试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由； 【变式3-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 题型四：求空间二面角 求二面角的关键是找到并证明二面角的平面角，需满足三个条件：顶点在二面角的棱上、两边分别在两个半平面内、两边都垂直于棱。找到平面角后，将其放入三角形中，利用勾股定理、三角函数或余弦定理计算角度，注意二面角的平面角可为锐角、直角或钝角。 【例7】如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【例8】如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【变式4-1】（多选）如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 【变式4-2】如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是边长为2的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【变式4-3】如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 题型五：垂直中的折叠模型 解决折叠问题时，重点抓住折叠前后不变的垂直关系与长度，先分析折叠前的平面图形中的垂直条件，再确定折叠后哪些线段、角度保持不变，哪些发生变化。通常利用不变的垂直关系推导线面垂直，进而证明面面垂直或计算二面角，核心是区分“变”与“不变”的几何量。 【例9】（多选）在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（    ） A．异面直线AC，BD所成的角是 B．平面 C．平面平面AEC D． 【例10】已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面. 取中点，证明：平面. 【变式5-1】已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 【变式5-2】如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 【变式5-3】如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 题型六：补全面面垂直的条件 解决折叠问题时，重点抓住折叠前后不变的垂直关系与长度，先分析折叠前的平面图形中的垂直条件，再确定折叠后哪些线段、角度保持不变，哪些发生变化。通常利用不变的垂直关系推导线面垂直，进而证明面面垂直或计算二面角，核心是区分“变”与“不变”的几何量。 【例11】如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【例12】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【变式6-2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 2．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 3．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（   ）次.    A．0 B．2 C．4 D．12 5．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 8．如图，平面四边形中，为正三角形，为等腰直角三角形，与交于点，若将沿斜边翻折，得到三棱锥，则下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，与始终垂直 C．在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D．在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 三、填空题 9．如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________. 10．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 四、解答题 11．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 12．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 13．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 14．如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点19 平面与平面垂直 考点一：二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 考点二：平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 考点三：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 题型一：面面垂直有关命题的判断 判断面面垂直相关命题时，必须严格对照判定定理与性质定理的完整条件，重点核对“线面垂直”“线在面内”“垂直交线”等关键要素，不能仅凭部分条件下结论。同时牢记常见反例，如仅一平面内一条直线平行于另一平面、或仅线线垂直，均无法推出面面垂直，避免因条件缺失导致判断错误。 【例1】（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】AB 【详解】因为，，所以，又因为，所以，A正确； 因为，，则， 若，所以，B正确； 因为，，，所以或或n与相交，C错误； 因为，，所以，又，则，D错误. 故选：AB. 【例2】已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，，，则，是异面直线 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A：如图：在长方体中，，，，但，故A错误； 对于B：如图：在长方体中，，，，但，故B错误； 对于C：因为，，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D：如图：在长方体中，，，，但，所以D错误； 故选：C 【变式1-1】设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】如图，在正方体中，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取底面，即平面为，侧面，即平面为， 则，即轴. 因为，， 所以可设的方向向量为（不同时为0），的方向向量为（不同时为0）， 则或， 而的方向向量为轴或与轴重合； 的方向向量为轴或与轴重合. 所以或或，所以或. 综上，“”是“或”的充要条件. 【变式1-2】设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，且满足，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或，又，则或相交，故C错误； 对于D，因为l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，，， 所以， 所以，同理可证， 又，， 所以， 又因为，所以，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】已知是两个平面，，是两条直线，则下列命题错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，， ，那么 【答案】D 【详解】对于A:由面面平行的定义可得与没有公共点，即，故A正确； 对于B:如果，，那么在内一定存在直线，又，则，故B正确； 对于C:如果，，那么根据线面平行的性质可得 ，故C正确; 对于D；如果，，则或，又，那么与可能相交，也可能平行，故D错误. 故选：D. 题型二：证明面面垂直 证明面面垂直的核心方法是使用面面垂直判定定理，思路为“线面垂直→面面垂直”。解题时先在一个平面内找到一条直线，证明这条直线垂直于另一个平面，再说明这条直线在第一个平面内，即可直接推出两个平面互相垂直，整个过程必须清晰体现“线面垂直”这一关键步骤。 【例3】如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【例4】如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，连接， 且，所以四边形为平行四边形，所以 平面平面，. 又为圆的直径 平面平面, 平面，又，平面，平面 ∴平面平面 （2）延长交圆于点，连接 易得，所以且，所以. 且，所以四边形是平行四边形，即且， 因此可得且，四边形是平行四边形，即. 所以或其补角即为异面直线与所成角. ∵点为弧的中点且为直径，且，可得. ，在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式2-1】在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 【变式2-2】如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 题型三：面面垂直证明线面垂直 利用面面垂直证明线面垂直，需严格使用面面垂直性质定理。先确认两个平面垂直，再在其中一个平面内作一条直线垂直于两个平面的交线，满足“垂直交线、直线在面内、面面垂直”三个条件，就能直接推出这条直线垂直于另一个平面，是由面面垂直推导线面垂直的标准用法。 【例5】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【例6】如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 【变式3-1】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面．试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由； 【答案】该四面体为鳖臑，理由见解析 【详解】因为平面，，平面， 所以，，所以，均为直角三角形， 过点作于点，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又，平面，所以，， 所以，均为直角三角形， 所以，，，均为直角三角形， 所以该四面体为鳖臑． 【变式3-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 题型四：求空间二面角 求二面角的关键是找到并证明二面角的平面角，需满足三个条件：顶点在二面角的棱上、两边分别在两个半平面内、两边都垂直于棱。找到平面角后，将其放入三角形中，利用勾股定理、三角函数或余弦定理计算角度，注意二面角的平面角可为锐角、直角或钝角。 【例7】如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点为，连接， 由，所以， 又为正三角形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）作于，作交于， 所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，， 所以，又为正三角形， 所以，所以为的中点， 所以，所以， 又，所以，所以为的中点， 所以，又是以为斜边的直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理有： ， 所以. 【例8】如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 【变式4-1】（多选）如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 【答案】ABD 【详解】选项A：如下图所示，取中点，连接， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； 选项B：如下图所示，作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH， 由可得， 所以即为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，为等腰三角形， 所以，即； 选项C：若，则平面， 因为，所以即为二面角的平面角， 因为，可求得， 所以， 所以二面角小于； 选项D：如下图所示，作，垂足为，作，垂足为，连接， 因为，所以平面， 因为，所以，， 因为，所以，， 所以. 【变式4-2】如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是边长为2的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接，由是的中点，得， 由和都垂直于平面，得，又， 则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2）延长交于点，连接，则平面平面， 由（1）得点是线段的中点，由是边长为2的等边三角形，得， 则，即，由平面平面，得， 而平面，则平面，又平面， 因此，是二面角的平面角， 在中，，则，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值. 【变式4-3】如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 题型五：垂直中的折叠模型 解决折叠问题时，重点抓住折叠前后不变的垂直关系与长度，先分析折叠前的平面图形中的垂直条件，再确定折叠后哪些线段、角度保持不变，哪些发生变化。通常利用不变的垂直关系推导线面垂直，进而证明面面垂直或计算二面角，核心是区分“变”与“不变”的几何量。 【例9】（多选）在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（    ） A．异面直线AC，BD所成的角是 B．平面 C．平面平面AEC D． 【答案】BCD 【详解】取线段的中点，连接. 因为，，所以，. 因为平面，所以平面，故B正确； 因为平面，所以，即异面直线,所成的角是，故A不正确； 因为平面，所以平面平面.故C正确； 因为，且都垂直于平面， 所以.故D正确. 故选：BCD. 【例10】已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面. 取中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面，所以， 因为为正三角形，为的中点，所以， 又，平面，所以平面 【变式5-1】已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 【答案】 【详解】过点作轴，点轴，如下图所示：    则，且，，，且 ，所以. 故答案为：. 【变式5-2】如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 【答案】 1 【详解】因为，所以，，所以是二面角的平面角． 因为平面平面，所以． 在中，，， 所以． 则为正三角形，所以． 故答案为：1；. 【变式5-3】如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意， 所以是等边三角形， 所以， 从而，即， 又因为为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）因为分别为的中点，所以，， 由（1）可知平面，所以平面， 即平面，是三棱锥的高， 又分别为的中点， 所以， 所以， 因为，，所以， 又因为为的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 又因为为的中点，，所以， 所以， 所以， 从而， 设点到平面的距离为，则由， 可得，解得， 即点到平面的距离为. 题型六：补全面面垂直的条件 解决折叠问题时，重点抓住折叠前后不变的垂直关系与长度，先分析折叠前的平面图形中的垂直条件，再确定折叠后哪些线段、角度保持不变，哪些发生变化。通常利用不变的垂直关系推导线面垂直，进而证明面面垂直或计算二面角，核心是区分“变”与“不变”的几何量。 【例11】如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 【例12】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 【变式6-2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点N为AB中点，证明见解析 【分析】 【详解】（1）正三角形中，为的中点，故， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又底面，所以； （2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下： 由（1）知：底面，又底面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以， ，所以，所以， 因为，所以，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；    【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】 【详解】（1）解：取线段的中点，连接、， 因为四边形是边长为的菱形，则，， 因为，由余弦定理可得， ，所以，即， 又且是的中点，, ，、平面，平面， 平面，，，， ，； （2）解：过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面， 所以，平面平面， 平面平面，平面，， 所以，平面， 过点作，分别交、于点、， 因为，则， 所以，、、、四点共面， 因为平面， 所以，平面平面， 因为，，， 则， 因为，，由余弦定理可得， 所以，， ， 所以，, ， 因为，所以，. 一、单选题 1．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 2．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形， 故且，同理且， 故为的平面角，而平面平面， 故，故. 3．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面， 取的中点，连接，易知，且， 过作交于，则平面，又平面，则， 故可得平面，则，则为侧面与底面所成的二面角的平面角，则， 又，则，， 由，得到，即， 又， 所以四棱台的体积为. 4．如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（   ）次.    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【详解】因为正四棱柱相邻两侧面垂直， 所以当一个时钟的时针位于3点或9点位置时，时针垂直交线， 所以该时针垂直另一个侧面，则该时针垂直另一个时针，共有2次. 即，所以平面，则平面内任意一条直线. 假设其他位置时，两时针垂直，不妨设， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，与条件矛盾，故假设不成立，    所以相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直2次. 故选：B 5．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 作，则C为中点， ∵PB＝PA，∴， ∴为二面角的平面角， ∴. 在中，，， ∴. 在直角中，，， ∴. 在中，. ∴圆锥的侧面积为. 6．已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平面内过点作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得， 在中，. 二、多选题 7．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 8．如图，平面四边形中，为正三角形，为等腰直角三角形，与交于点，若将沿斜边翻折，得到三棱锥，则下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，与始终垂直 C．在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D．在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 【答案】AD 【详解】由题意知，在翻折过程中，，， 可得，平面， 所以平面， 又平面，所以，故A正确； 当翻折使平面平面时， 因为，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 若，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知不成立，故此时与不垂直，故B错误； 而正四面体为四个面均为等边三角形的三棱锥， 显然不是等边三角形，故C错误； 在翻折过程中，当的投影为的中心时，此时平面， 又，所以， 此时三棱锥为正三棱锥，故D正确. 三、填空题 9．如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________. 【答案】/ 【详解】因为平面，又平面，所以平面平面， 平面平面，又，所以平面， 又平面，所以， 则即为平面与平面所成的角， 在中，，所以. 故答案为： 10．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 四、解答题 11．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 12．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 13．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 14．如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $