精品解析：江苏怀仁中学2025-2026学年下学期期中考试试卷高二数学

江苏省怀仁中学2026春学期期中考试试卷 高二数学 命题：陈余杰 审核：张杰 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的极限表达式计算. 【详解】若，则． 2. 用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（ ） A. 24 B. 12 C. 36 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为从1，2，3，4四个数字中取出三个数字的排列的个数即个， 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】展开的通项公式为，, 取，则的展开式中的系数是． 故选: D. 4. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 5. 如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 6. 全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲､乙､丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 【答案】B 【解析】 【分析】先分组后分配，讨论并计算即可得. 【详解】名同学分成组，可分成人，人，人， 此时共有种不同的安排方法； 也可分成人，人，人， 此时共有种不同的安排方法； 故不同的安排方法共有种. 7. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 8. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 有2个极大值点，1个极小值点 D. 的单调递减区间为， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数单调性和极值与导函数图象一一分析即可. 【详解】对A，由图知当时，，此时单调递减，则，故A错误； 对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确； 对C，由图知，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则为的极大值点； ，当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增，则为的极小值点； ，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则为的极大值点； 则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确； 对D，当时，，当时，， 则的单调递减区间为，，故D正确. 故选：BCD. 10. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【详解】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且曲线的对称中心为，则 C. 若，函数在上单调递增，则 D. 若，且，则存在实数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助导数运算可得A；利用对称中心性质可得，代入计算即可得B；对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式可得C；根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性可得D. 【详解】对A：，由， 由，则，故，故A正确； 对B：若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，故B正确； 对C：若，则， 若在上单调递增，则其导数在上恒成立， 所以，即，故C错误， 对D：由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同变号零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由图象及导数的几何意义，得，而， 所以. 13. 已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 即的最小值为. 14. 若的展开式中的常数项为1，则_____. 【答案】2 【解析】 【详解】由， 其展开式的通项为，， 而展开式的通项为，， 令，得或或， 因为的展开式中的常数项为1， 所以，则， 又，则. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若函数的极大值点是，求的值； （2）若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值点与导函数零点的关系代入解方程可得，经检验符合题意； （2）根据两个极值点的符号关系，由韦达定理得出导函数的两根之积为负值可得结果. 【小问1详解】 易知，由题意得， 解得，故． 经验证可知，在处取得极大值，符合题意； 故． 【小问2详解】 由题意，方程有一正一负两个实数根， 设为，则． 故的取值范围是． 16. 甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． （1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； （2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 【答案】（1） 的分布列为 2 3 4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列； （2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 【小问2详解】 解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”， 则，，彼此互斥，且， 可得， 且， 所以 17. 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. （1）求奇数项的二项式系数和； （2），且，若能被20整除，求的值； （3）求的值. 【答案】（1）2048 （2）19 （3）25 【解析】 【分析】（1）使用二项式系数的性质求解； （2）使用二项式定理求解； （3）将展开后求导，使用赋值法求解. 【小问1详解】 因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得， 所以奇数项的二项式系数和为：. 【小问2详解】 由（1）知，则， 由二项式定理可得， 除了第一项外，其余各项都能被20整除， 若能被20整除，则能被20整除， 又因为，且，所以，解得. 【小问3详解】 ，求导得 ，令，则 ，， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，，证明不等式； （3）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1）1 （2）当时，则， 构建， 则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以当，. （3），的单调递减区间为，单调递增区间为； ，的单调递减区间为，单调递增区间为； ，的单调递减区间为，无单调递增区间； ，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性求最值； （2）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明； （3）求导，分类讨论最高项系数以及两根大小，利用导数求单调区间. 【小问1详解】 因为的定义域为， 当时，则，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为的定义域为，且， （i）若，可知， 当时，；当时，； 可知的单调递减区间为，单调递增区间为； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当，即时，的单调递减区间为，无单调递增区间； ③当，即时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：，的单调递减区间为，单调递增区间为； ，的单调递减区间为，单调递增区间为； ，的单调递减区间为，无单调递增区间； ，的单调递减区间为，单调递增区间为. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求函数的极值点的个数及极值； （2）当时，证明：除切点外，直线在曲线的下方； 【答案】（1）函数有一个极值点，极小值为，无极大值 （2）证明： 由（1）知，，所以. 所以的方程为，即， 即. 令. 则. 令，则. 令，则，即，即； 令，则，即，即. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，恒成立，恒成立， 所以，单调递增. 所以恒成立，即， 即除切点外，函数的图象在曲线的下方， 即除切点外，直线在曲线的下方. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值点，最后代入计算得出极值； （2）先求出导函数得出切线斜率进而得出切线，再构造函数，再两次应用导函数得出函数单调性及最值即可证明. 【小问1详解】 函数， 由，得函数的定义域为. . 因为，所以当，即时，，； 当，即时，，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值. 所以函数有一个极值点，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省怀仁中学2026春学期期中考试试卷 高二数学 命题：陈余杰 审核：张杰 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2. 用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（ ） A. 24 B. 12 C. 36 D. 6 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 4. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲､乙､丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 7. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 有2个极大值点，1个极小值点 D. 的单调递减区间为， 10. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且曲线的对称中心为，则 C. 若，函数在上单调递增，则 D. 若，且，则存在实数，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则______． 13. 已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 14. 若的展开式中的常数项为1，则_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若函数的极大值点是，求的值； （2）若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 16. 甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． （1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； （2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 17. 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. （1）求奇数项的二项式系数和； （2），且，若能被20整除，求的值； （3）求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，，证明不等式； （3）当时，求函数的单调区间. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求函数的极值点的个数及极值； （2）当时，证明：除切点外，直线在曲线的下方； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $