江苏锡东高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高一数学备课组 审核人：数学学科组长 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ）. A. B. C. D. 3. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 4. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 5 8. 武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ） A. 19840种 B. 16000种 C. 31360种 D. 9920种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 展开式中二项式系数最大的项是第5项 D. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. C. 对，方程恒有两个不同的实数解 D. 存在，使得直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________ 13. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 14. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________. 15. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，其中. （1）当时，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性. 17. 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. （1）求小明可以背诵首古诗的概率； （2）求小明背诵古诗数的期望与方差； （3）选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 18. 已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. （1）当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 19. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：高一数学备课组 审核人：数学学科组长 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】（1）1440 （2）240 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【17题答案】 【答案】（1） （2）， （3）选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 【18题答案】 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 法一：由（2）得当时，恒成立， 即，令， 所以， 令，则， 故在上单调递增， 所以，即成立，得证． 法二：令， 先证，即证， 令， 当单调递增；当单调递减， 所以，所以，即得证， 因为，所以， 令， 则，令，所以， 所以在上单调递增，又因为， 所以使得，即，也即， 所以时，单调递减；时，单调递增， 所以，代入得， ， 又在时单调递减，而， 所以， 所以， 即成立，所以，原不等式得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $