江苏常州市西夏墅高级中学2025-2026学年下学期高一数学周练4

**基本信息** 高一数学周练卷聚焦向量、三角、立体几何与复数，题型多样，基础巩固与能力提升并重，通过动态几何、截面作图等问题培养数学眼光与空间观念、推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、三角函数、解三角形、复数、立体几何|基础概念与运算结合，如解三角形边长计算（题3）| |多选题|3/15|三角化简、三角形解的个数、立体几何公理|辨析性强，如立体几何公理判断（题11）| |填空题|3/15|三角化简、三角形形状、动态几何最值|含探究性，如半圆弧上动点的向量最值（题14）| |解答题|5/40|立体几何截面、复数几何意义、向量坐标、解三角形综合|综合性强，如截面作图与周长面积计算（题15）|

常州市西夏墅高级中学高一数学周练 2025-2026 学年第二学期 高一数学周练 4 班级 姓名 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1．已知，．若，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3．在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 4．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 5．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 7．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多选题 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 10．在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（    ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【答案】BC 11．（多选）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若直线，则直线与能确定一个平面 C．三点确定一个平面 D．若且，则 【答案】ABD 三、填空题 12.化简：= . 【答案】1 13．在中，已知，试判断的形状是 . 【答案】等腰直角三角形 14．如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，， 因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则， 因为，的最大值为， 所以. 四、解答题 15.如图1，在正方体中，， (1)使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系． ①点G与直线；②点G与直线；③点与平面； ④直线与平面；⑤直线与平面；⑥平面与平面 (2) 若点G是的中点，在图中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积． （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 16.已知，为虚数单位，复数． (1)若，求m的值； (2)若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 【答案】(1)；(2)；(3)或. 【分析】（1）利用复数是实数的充要条件列式求解. （2）求出点的坐标，再结合已知建立不等式组求解. （3）求出点的坐标，再代入曲线方程求解. 【详解】（1）由复数是实数，，得， 所以. （2）依题意，点在第三象限，则，解得， 所以m的取值范围是. （3）由（2）得在曲线上，则， 所以或. 17.已知平面向量，且． (1)求和的坐标； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解； （2）求出、的坐标，直接代入向量夹角公式中求余弦值即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 因为，所以，则. （2）因为，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为. 18．已知的内角，，的对边分别为，，，且为钝角，，的面积为． (1)求； (2)若的周长为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，再根据，结合为钝角即可求出答案； （2）由余弦定理求出，再根据的周长为列方程，即可求出答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的面积为， 所以，即， 所以， 因为为钝角，所以． （2）由余弦定理， 所以， 又，所以． 19.在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值； (2)若，求 （i）的值； （ii）的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； （ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）因为，可得，即， 由余弦定理可得. （2）（i）因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； （ii）因为，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $常州市西夏墅高级中学高一数学周练 2025-2026 学年第二学期 高一数学周练 4 班级 姓名 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1．已知，．若，则（    ） A． B． C． D．6 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．若复数，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 6．如图所示，三个边长为5的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（    ）A． B． C． D． 二、多选题 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（    ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 11．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若直线，则直线与能确定一个平面 C．三点确定一个平面 D．若且，则 三、填空题 12.化简：= . 13．在中，已知，试判断的形状是 . 14．如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 四、解答题 15.如图，在正方体中，， (1)使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系． ①点G与直线；②点G与直线；③点与平面； ④直线与平面；⑤直线与平面；⑥平面与平面 (2)若点G是的中点，在图中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积． 16.已知，为虚数单位，复数． (1)若，求m的值； (2)若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 17.已知平面向量，且． (1)求和的坐标； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 18．已知的内角，，的对边分别为，，，且为钝角，，的面积为． (1)求； (2)若的周长为，求． 19.在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值； (2)若，求 （i）的值； （ii）的值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $