精品解析：四川眉山市车城中学2025-2026学年下学期期中检测高二数学

车城中学2027届高二下学期期中考试 数学试题 总分：150分 考试日期：2026.4.21 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 3. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象得到函数单调递减的范围即可. 【详解】由函数图象可得，当时，单调递减， 所以. 故选：B 4. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式求解. 【详解】依题意，取出1个红球有4种方法，取出1个白球有5种方法， 所以取出2个球中只有一个红球的取法种数是. 故选：A 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B，C错误；由函数在时函数值的符号可判断D. 【详解】由定义域为，排除B； 又，令，得， 的单增区间为，排除C； 当时，，排除D； 故选：A． 6. 给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案. A. 48 B. 60 C. 72 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案. 【详解】由题意知，与任意一点均不同色. 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色. 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为. 根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为. 故选：C 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再借助导数判断单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法 C. 用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D. 用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种，故A正确； 对于B，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法，故B错误； 对于C，百位数有种情况，十位数有种情况，个位数有种情况， 所以用0~9这10个数字，可以组成个没有重复数字的三位数，故C正确； 对于D，当个位数为时，千位数有种情况，百位数有种情况，十位数有种情况， 可以排成个无重复数字的四位偶数， 当个位数不为时，个位数有种可能，千位数有种情况，百位数有种情况，十位数有种情况， 可以排成个无重复数字的四位偶数， 所以用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当，时，有三个零点 C. 当，时，直线是曲线的切线 D. 当时，若在区间上的最大值为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，取，由，得到，再利用极值的定义，即可求解；选项B，根据条件，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，利用函数图象，即可求解；选项C，由，得到交点为，从而得到，即可求解；选项D，利用选项B中的结果，求出函数的单调区间，注意到，利用，解得或，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，所以，由，得到， 当时，，当，，所以时，无极值点，所以选项A错误， 对于选项B，当，时，，所以， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 又，，当时，， 当时，，图象如图所示，由图可知有三个零点，所以选项B正确， 对于选项C，当，时，，由，得到，， 若直线是曲线的切线，则切点为， 又，，所以选项C错误， 对于选项D，当时，，由选项B知，的增区间为，，减区间为， 又，由，得到，即，解得或， 又在区间上的最大值为，所以，故选项D正确， 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【答案】 【解析】 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 13. 函数在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数，求导，然后求得，写出切线方程. 【详解】因为函数， 所以， 所以， 所以函数在点处的切线方程为：，即， 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 14. 已知定义在R上的函数的导函数为，，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先构造函数，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式. 【详解】设函数， ，所以单调递增， 不等式，即，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数 （1）； （2） （3） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】根据导数的四则运算法则结合基本初等函数的求导公式，求导即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． （1）若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】（1）68种 （2）2520种 【解析】 【分析】（1）航天员要求既有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步乘法计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，再分配到A，B，C实验室即可． 【小问1详解】 由题意，分3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法； 有2名女性，2名男性，共有种选法； 有3名女性，1名男性，共有种选法． 所以参加此次航天任务的航天员既有男性也有女性的选法共有（种）． 【小问2详解】 由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组， 再分配到A，B，C实验室，共有种方法， 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式． 17. 已知函数在处有极值2. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最小值是，最大值是2 【解析】 【分析】（1）由题意知，，求的导函数，代入计算可得a，b的值，注意检验； （2）求出在上的单调区间并确定极值，与端点值比较可求出最小值与最大值. 【小问1详解】 解：（1）， ∵函数在处取得极值2， ∴，解得， ，经验证在处取极值2，故， 【小问2详解】 由（1）知， 所以，令，解得 令，解得或，∵， 因此，在，递减，在递增， ∵，故的最小值是， ∵，故函数的最大值是2. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为：和；单调递减区间为：. （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导，解导函数不等式即可求得函数的单调区间； （2）先将不等式恒成立问题转化为求函数在区间上的最小值问题，利用（1）的结论和给定区间，即可求得参数范围. 【小问1详解】 因， 由可解得，或；由可解得，. 故函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：. 【小问2详解】 因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值. 由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，所以. 即实数的取值范围为. 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在区间单调递增， 时，在区间单调递增，在区间单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成有两个相异实根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间和最大值，进而得的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件将问题转化成对一切恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 易知定义域为，又， 当时，在恒成立，此时在单调递增， 当时，令，则， 又时，；时，， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时，在区间单调递增， 时，在区间单调递增，在区间单调递减. 【小问2详解】 因为有两个零点关于的方程有两个相异实根， 由，知，由，得到，即， 有两个零点有两个相异实根， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，又时，，时，， 则的图象如图， 由图知，当有两个零点时，实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 所以原命题等价于对一切恒成立， 即对一切恒成立， 令，则， 又，令，， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以，使， 即①， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由①知， ， 令，则恒成立， 所以函数在单调递增， 所以，即， 则， 所以，故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 车城中学2027届高二下学期期中考试 数学试题 总分：150分 考试日期：2026.4.21 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案. A. 48 B. 60 C. 72 D. 84 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法 C. 用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D. 用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当，时，有三个零点 C. 当，时，直线是曲线的切线 D. 当时，若在区间上的最大值为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 13. 函数在点处的切线方程为________． 14. 已知定义在R上的函数的导函数为，，且，则不等式的解集为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数 （1）； （2） （3） 16. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． （1）若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 17. 已知函数在处有极值2. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）若对，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数（，为自然对数的底数），. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $