卷9 第三十章 直线与圆的位置关系 基础诊断卷（A卷）上分专题（三） 圆与辅助线（二）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦“圆与辅助线”专题，系统梳理了切线性质与判定、内心性质等四大辅助线类型，通过母题方法指导与子题变式训练，构建“类型梳理-方法提炼-变式应用”的知识网络，清晰呈现各辅助线类型的逻辑关联。 其亮点在于采用“母题学方法+子题练变式”分层设计，如类型1以切线性质母题教授“连圆心与切点得垂直”，子题通过中考模拟题变式训练推理能力，培养学生几何直观与逻辑思维。不同难度子题满足个性化复习需求，助力学生巩固解题方法，教师可精准把握复习重点。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 上分专题（三） 圆与辅助线（二） 重难上分 攻克难点 4 类型1 有切线，连圆心与切点，得垂直 类型2 连半径，证垂直，得切线 类型3 作垂直，证半径，得切线 类型4 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 有切线，连圆心与切点，得垂直 母题学方法 上分攻略 有切线，结合切线的性质，想到连接圆心和切点，得到直角. 1.如图，在中，，为边上一点，以为直径的半圆与 相切于点.若，，则半圆 的半径长为___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 【解析】连接，如图所示.与半圆相切于点，.设半圆 的半 径长为，则，.在中， ，解得 ，半圆 的半径长为6. （第1题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 子题练变式 2.[2026安徽亳州月考,中]如图，是的直径，，为 上两 点，平分，交于点,过点作的切线交 的延长线于点 .求证： . （第2题图） 【证明】如图，连接，.平分 ， ，. ， ，. ， .是的切线，， ， .，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 类型2 连半径，证垂直，得切线 母题学方法 上分攻略 根据切线的判定定理，已知直线与圆的交点，连接圆心与交点得到半径，证明半 径垂直于直线，得证切线. 3.如图，在中，，以为直径的与交于点，过 作 ，交的延长线于，垂足为.求证：是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【证明】连接，如图.， . ，， ， .，.为半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 子题练变式 4.[2026河北秦皇岛期末]如图所示，是 的内接三角 形，连接并延长至点，连接， ，求 证：是 的切线. 【证明】连接，如图.， . ，是等边三角形， .又 ，，.又是 的 半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.[2026陕西咸阳渭城区期末]如图，四边形 内接于 ，，点在的延长线上，连接， ， .求证：是 的切线. （第5题图） 【证明】连接，如图.，是 的直径. ，， . ，， ， ，即，. 为 的直径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 类型3 作垂直，证半径，得切线 母题学方法 上分攻略 根据切线的判定定理，过圆心作直线的垂线与直线交于一点，证明圆心与这一点 的连线与半径相等，得证切线. 6.如图，在中，，的平分线交于，以为圆心， 长为半径作，求证：是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【证明】过点作于，如图所示.，. 平分 ，，，点在上，是 的切线. （第6题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 子题练变式 7.[2026福建福州长乐区月考]如图，在中， ， ，，以点为圆心，为半径作.求证： 是 的切线. 【证明】过点作于点，如图.， ， ， . ，.的半径为 ， 为的半径.又，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 类型4 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 母题学方法 上分攻略 根据三角形内心的性质，经常过内心作边的垂线，连接内心与三角形的顶点，构 造直角三角形以及全等的直角三角形. 8.［偏难］如图，点为的内心，，点， 分 别为，上的点，，且，则 的度 数是( ) A A. B. C. D.无法判断 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【解析】连接，过点作于，于 ，如图. 点为的内心，是的平分线.又 ， ，.在和中， ，.在四边形 中， ，.又 ， ，即， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 子题练变式 9.［难］如图，在中，，，，点， 分别是 的内心和外心，则 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】连接，，，过点作于点 ，作 于点，作于点，如图. ， ，，.为 的外 心，.为的内心， . ， ， . ，，四边形 为正方形， ，.， ， ，， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 $