专题02 圆中的基本图形（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题02 圆中的基本图形（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 垂径图】 1 【题型2 角分图】 1 【题型3 折弦图】 3 【题型4 等腰图（圆心在对称轴上）】 5 【题型5 等腰图（圆心在腰上）】 7 【题型6 切割图】 9 【题型7 双切图】 11 【题型8 三角形的内切圆】 13 【题型9 梯切圆】 15 【题型10 内心图】 18 知识点1 垂径图 图示 条件 AB是⨀O的直径，弦CE⊥AB于点D 结论 ① ② 【题型1 垂径图】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，AB为的直径，CD为弦，于点E，连接DO并延长交于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且． (1)求证：； (2)若，求和GD的长． 【变式1-1】（2023·湖北武汉·三模）如图，是圆O的直径，C为圆上的一点，D为弧的中点，连接，过点C作的垂线交于点E． (1)求证：； (2)，，求的长． 【变式1-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为直径，弦于点E，点F在线段上，，连接并延长交于点G，连接 (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点H，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点M，交于点N，连接交于点K，若， 时，连接，求线段的长 【变式1-3】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 知识点2 角分图 模型 平分90°角 平分120°角 图示 条件 AB是直径，CD平分 结论 ，等腰直角△ABD，， 等边△ABD，CA+CB=CD 方法 将△DAC绕点D顺时针旋转90°至△DBE 将△BCD绕点B顺时针旋转60°至△BEA 【题型2 角分图】 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，弦为，弦为，，，与弦垂直于点． （1）求的半径； （2）求的长． 【变式2-1】（2023·天津和平·一模）如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若，，则的面积为_____________． 【变式2-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为的半径，为的弦，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为弧上一点，连接，，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交于点，的弦交于点，连接，，，，求线段的长． 【变式2-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）【阅读】：在中，弦弦于点，则，则、的度数和为，所以得到，我们把这个现象叫做：垂直弦平分圆（把圆分成4份弧，其中两份拼成半圆）． (1)【理解】： 如图1，在中，弦弦于点，、弧长分别为、，则半径为 ． (2)【拓展】： 如图2，在中，弦弦于点，为中点，若，则半径为 ． (3)【升华】： 如图3，在中，弦与弦交于点，且，，求半径． 知识点3 折弦图 图示 条件 M是的中点，MH⊥AB于点H，BD=AC 结论 平分，，，BH=AH+AC 【题型3 折弦图】 【例3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知的三个顶点都在上，，是上一点，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式3-1】如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF＝，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为_____． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）在⊙O中，半径为 （1）如图1，若B为上一个点（不与A、重合），且的度数为，若为弦的中点，为弦的中点，___________． （2）如图2，若的度数为 的度数为 度数为，点为弦的中点，点为弦的中点，求线段=___________． 【变式3-3】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点． (1)如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． (2)如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． (3)如图3，若，，，，连结，求的度数． 知识点4 等腰图之圆心在对称轴上 图示 条件 结论 ①；②；③；④；⑤， 方法 在运用或列方程 【题型4 等腰图（圆心在对称轴上）】 【例4】（2026·青海西宁·二模）综合与实践 【问题呈现】 如图1，等边三角形内接于，点是劣弧上任意一点（不与，重合），连接，，．求证：． 【初步探索】 (1)小明同学思考如下： 将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合（将下列证明过程补充完整） 根据题意________________ ，，，， （____________________）， ． ，，三点在一条直线上． 是等边三角形，． 即． 又，是________（_________________）． ，，． 【类比迁移】 (2)根据小明的思路，若的半径为5，则的最大值为________． 【拓展延伸】 (3)如图，内接于，，，点是直径下方弧上任一点（不与，重合），连接，，，若的半径为5，则的周长的最大值是________． 【变式4-1】（25-26九年级下·全国·单元测试）是的内接三角形，，点是劣弧的中点，连结，，. （1）如图①，若，求证：； （2）如图②，若，求的值. 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余． （1）求证：＝； （2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江台州·期中）根据题意，解决下列问题． (1)已知是等边三角形的外接圆，的半径为r，等边三角形边长为a，求r与a的比值； (2)已知是等腰三角形的外接圆，D，E分别是的中点，，，求O到的距离； (3)已知是等腰三角形的外接圆，D，E分别是的中点，直线交于F，G，且D，E是线段的三等分点； ①若，求的值； ②与的比值是否为定值，若是请直接写出答案，若不是请说明理由． 知识点5 等腰图之圆心在腰上 图示 条件 ，AB是直径， 结论 ①；②；③；④；⑤；⑥ 方法 在，，中用勾股定理或面积法计算 【题型5 等腰图（圆心在腰上）】 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，为的直径，交于点D、E，且D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．    (1)求证：与圆O相切． (2)当，＝时，求圆O的半径． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，以AC边为直径作交BC边于点D，过点D作于点E，ED、AC的延长线交于点F． （1）求证：EF是的切线． （2）若的半径为6，且，求线段AE的长． 【变式5-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．    (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的长． 知识点6 切割图 图示 条件 AB是直径，CD是切线， 结论 ①∥；②，，；③，，；④；⑤ 【题型6 切割图】 【例6】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）设AD交⊙O于E，，ACD的面积为6，求BD的长． 【变式6-1】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，点为上四个点，为直径，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)求的长． 【变式6-2】（2026·甘肃庆阳·一模）如图，为半的直径，点C为半上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交半于点E．． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，若，，求的长． 【变式6-3】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． （1）如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． （2）同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 知识点7 双切图 图示 条件 AC是直径，PA，PB是切线 结论 ①，；②，，，；③点 方法 ①转化等角；②构造中位线；③切线长定理 【题型7 双切图】 【例7】（25-26九年级上·湖北·期中）如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接、，与相交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 【变式7-2】（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【变式7-3】（2025·福建·一模）如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点． (1)当时，等于_____； (2)若与相切于点，连接，如图2． ①求证：平分； ②求证：，，三点共线． 知识点8 三角形内切圆 图示 条件 ，与BC，AC，AB分别相切于点E，F，D 结论 ①，，；②四边形OECF是正方形；③ 【题型8 三角形的内切圆】 【例8】（2021·湖北黄冈·中考真题）如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积． 【变式8-1】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式8-2】（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 知识点9 梯切圆 图示 条件 BE，BC，CG是切线，BE∥CG 结论 ①；②，；③EF∥OC，OB∥GF；④四边形OAFD为矩形 【题型9 梯切圆】 【例9】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）直径和是的切线，切于点且交于点交于点，设． 求与之间的关系式； 是关于的一元二次方程的两个根，求的值； 在的条件下，求的面积． 【变式9-1】（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，、、分别与相切于、、，且，，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)求的长； (3)求的半径的长 【变式9-2】（2025·河南安阳·二模）把一个直立的火柴盒放倒（如图），通过用不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．用分别表示和的边长，易知，这时我们把关于的形如 的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)当时，求证：关于的“勾氏方程”必有两个不相等的实数根； (2)如图，的半径为，是位于圆心异侧的两条平行弦．作于点，作的延长线交于，，，，为过上点的切线，与的延长线交于点． ①连接，若关于的方程是“勾氏方程”，求证：； ②直接写出的长．（用含的代数式表示） 【变式9-3】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F． (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值． 知识点10 内心图 图示 条件 E是的内心 结论 ①；②（B，E，C在以DE为半径的上）；③ 【题型10 内心图】 【例10】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，点是上一点，点是的内心，的延长线交于点，连． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【变式10-2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)取弦的中点E，连接，若，求的长． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）△ABC内接于⊙O，I为其内心，AI的延长线交⊙O于D,连OD交BC于E． （1）求证： OD⊥ BC； （2）若∠BOC=∠BIC，求∠BAC的度数； （3）①若DE=2,BE=4，①求⊙O的半径r． ②当点A在优弧BAC上移动时，OI是否有最小值，如有请求出最小值，如没有请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中的基本图形（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 垂径图】 1 【题型2 角分图】 1 【题型3 折弦图】 10 【题型4 等腰图（圆心在对称轴上）】 21 【题型5 等腰图（圆心在腰上）】 29 【题型6 切割图】 38 【题型7 双切图】 46 【题型8 三角形的内切圆】 55 【题型9 梯切圆】 64 【题型10 内心图】 73 知识点1 垂径图 图示 条件 AB是⨀O的直径，弦CE⊥AB于点D 结论 ① ② 【题型1 垂径图】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，AB为的直径，CD为弦，于点E，连接DO并延长交于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且． (1)求证：； (2)若，求和GD的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)， 【分析】（1）由平行线的性质可得，然后可得结论； （2）由垂径定理和圆周角定理可求，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式1-1】（2023·湖北武汉·三模）如图，是圆O的直径，C为圆上的一点，D为弧的中点，连接，过点C作的垂线交于点E． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1) ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查圆与勾股定理的综合应用： （1）利用同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等易得，再结合已知条件，利用直角三角形性质及等角对等边即可证得结论； （2）连接交于点F，连接，结合已知条件，利用勾股定理求得的长度，然后利用垂径定理的推论可得垂直平分，进而求得，再设，则，在和利用勾股定理列得方程解得x的值，最后代入中计算即可求得答案． 【详解】（1）略． （2）如图，连接交于点F，连接， ∵为的直径， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为直径，弦于点E，点F在线段上，，连接并延长交于点G，连接 (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点H，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点M，交于点N，连接交于点K，若， 时，连接，求线段的长 【答案】(1) 证明：如图 1中，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 证明：如图2中，连接，作于． 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）如图1中，连接，由，推出，推出，推出，因为，即可推出； （2）如图2中，连接．证明，再证明即可解决问题； （3）如图3中，作于于，连接．想办法证明，由，推出，设，则，可得，推出，再利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3中，作于于，连接． 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ∵是直径， ∴， ． 【点睛】本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式1-3】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 知识点2 角分图 模型 平分90°角 平分120°角 图示 条件 AB是直径，CD平分 结论 ，等腰直角△ABD，， 等边△ABD，CA+CB=CD 方法 将△DAC绕点D顺时针旋转90°至△DBE 将△BCD绕点B顺时针旋转60°至△BEA 【题型2 角分图】 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，弦为，弦为，，，与弦垂直于点． （1）求的半径； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接AB，则可得AB为直径，由勾股定理可求得直径的长，从而可求得半径； （2）连接，，，过点作交的延长线于点，由易得=45゜，从而可得DC=DF；可以证明，从而得BF=AC=2cm，进而求得CF与CD，由垂径定理可得CE的长，由勾股定理即可求得OE的长． 【详解】（1）连接，如图， ， 是的直径． 在中， ． 的半径是． （2）连接，，，过点作交的延长线于点，如图． ， ，． 又 ， ． ， ． ． ． 又 是的直径， ． ． ． ∵ ． ． ，， ． 在中，，． ， ． 在中，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角的性质，勾股定理，垂径定理，同圆中相等的弧与弦及圆周角的关系，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证得三角形全等是（2）的关键． 【变式2-1】（2023·天津和平·一模）如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若，，则的面积为_____________． 【答案】 【分析】首先证明，再过点A作，垂足为点M，过点B作，垂足为点N．根据，分别求出，的面积，即可求得四边形的面积，然后通过证得，即可求得的面积=四边形的面积． 【详解】∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 过点A作，垂足为点M，过点B作，垂足为点N． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 中，， ∵是等边三角形， ∴四边形的面积 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积=四边形的面积． 故答案为： 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式2-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为的半径，为的弦，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为弧上一点，连接，，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交于点，的弦交于点，连接，，，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，在上取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)2 【分析】（1）利用弧，弦，圆心角的关系解题即可； （2）在上取，连接，利用证明，再证明为等边三角形，进而求出； （3）连接，，过O作于H，于I，过C作于J，先证明，再证明，由垂径定理可证，再证明是等边三角形，是等边三角形，进而证明垂直平分，可得，利用三角函数可求，证明四边形是平行四边形，，可得，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，过O作于H，于I，过C作于J， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，, ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识点解题． 【变式2-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）【阅读】：在中，弦弦于点，则，则、的度数和为，所以得到，我们把这个现象叫做：垂直弦平分圆（把圆分成4份弧，其中两份拼成半圆）． (1)【理解】： 如图1，在中，弦弦于点，、弧长分别为、，则半径为 ． (2)【拓展】： 如图2，在中，弦弦于点，为中点，若，则半径为 ． (3)【升华】： 如图3，在中，弦与弦交于点，且，，求半径． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直弦平分圆的定义可知与弧长之和等与圆周长的一半，据此列方程即可得解； （2）在上取一点F，使，连接、，根据垂直弦平分圆的定义可得是半圆，则是的直径，，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，即可根据勾股定理求得，则半径长为； （3）作的直径、作弦，连接、、、，则，可证明，，而，所以，，延长到点，使，连接，作于点，则是等边三角形，即可求得，，则，根据勾股定理求得，再由求得，则半径长为． 【详解】（1）解：设的半径为r， 弦弦， ∴， ∴与拼成半圆， ， 解得：． （2）解：如图2，在上取一点F，使，连接、， 弦弦， ，与拼成半圆， ， 与拼成半圆，即是半圆， 是的直径， ， ， ， 为中点，，， ， ， 半径长为； （3）解：如图3，作的直径、作弦，连接、、、， ， ，， ， ，， 延长到点，使，连接，作于点，则， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 半径长为． 知识点3 折弦图 图示 条件 M是的中点，MH⊥AB于点H，BD=AC 结论 平分，，，BH=AH+AC 【题型3 折弦图】 【例3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知的三个顶点都在上，，是上一点，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，代入已知条件，即可求解； （2）连接，，交于点，证明 ，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． （2）证明：连接，，交于点， ∵，， ∴垂直平分线段，则， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴ ， ∴．即． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-1】如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF＝，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为_____． 【答案】 【分析】延长AO交BD于H，连接OB，OD，根据全等三角形的性质得到AB=AD，推出AH垂直平分BD，根据平行线分线段成比例得到 ，根据勾股定理得到OO′= =4 ，过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，根据菱形的性质得到O′B=OB=5，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长AO交BD于H，连接OB，OD， ∵∠ADC＝∠AOC＝（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）＝（180°﹣4∠CAB）＝90°﹣2∠CAB， ∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB， ∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD， ∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA， ∴∠AOB＝∠AOD， 在△OAB与△OAD中 ， ∴△OAB≌△OAD， ∴AB＝AD， ∵∠OAB＝∠OAD， ∴AH垂直平分BD， ∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC， ∴OB∥AF， ∴， 令OH＝4a，则BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2， ∴BD＝2BH＝12， 当O′在BD上时，O′H＝O′B﹣BH＝4， ∴OO′＝＝4， 过O作OO′⊥AB于K交AF于O′， 则四边形OAO′B是菱形， ∴O′B＝OB＝5，BK＝AB＝3 ， ∴OK＝ ＝ ， ∴OO′＝2OK＝2． 故答案为4或2． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）在⊙O中，半径为 （1）如图1，若B为上一个点（不与A、重合），且的度数为，若为弦的中点，为弦的中点，___________． （2）如图2，若的度数为 的度数为 度数为，点为弦的中点，点为弦的中点，求线段=___________． 【答案】 【分析】（1）连接，如图，先判断为等腰直角三角形，则，然后根据三角形中位线性质得到的长； （2）连接、，过点作于，如图二，先由圆心角定理得到，，，再利用垂径定理得到，，接着利用含角的直角三角形三边的关系计算出、、、，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵的度数为， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ∵为弦的中点，为弦的中点， ； （2）如下图，连接、，过点作于， 的度数为，的度数为，的度数为， ，，， ∵， ，， ，， 点为弦的中点，点为弦的中点， ，， ，， ， ， ∴在中， ， 在中，， ∴在中，，， ， 在中，，即的长为， 故答案为，． 【点睛】本题考查圆周角定理，涉及到圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线性质和垂径定理以及三角形函数，熟练掌握相关概念是解决问题的关键． 【变式3-3】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知点，，，是上的四个点，且弦，于点． (1)如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． (2)如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． (3)如图3，若，，，，连结，求的度数． 【答案】(1) ∵A是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (2) (3) 【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，得到，圆周角定理，得到，证明，得到，三线合一，得到，得到，即可； （2）勾股定理求出的长，进而得到的长，等边三角形得到，进一步求出的周长即可； （3）在延长线上截取，连接，设，易得垂直平分，得到，推出，等边对等角，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ， 由（1）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴周长． （3）在延长线上截取， 连接， 不妨设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴，且， ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关性质，是解题的关键． 知识点4 等腰图之圆心在对称轴上 图示 条件 结论 ①；②；③；④；⑤， 方法 在运用或列方程 【题型4 等腰图（圆心在对称轴上）】 【例4】（2026·青海西宁·二模）综合与实践 【问题呈现】 如图1，等边三角形内接于，点是劣弧上任意一点（不与，重合），连接，，．求证：． 【初步探索】 (1)小明同学思考如下： 将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合（将下列证明过程补充完整） 根据题意________________ ，，，， （____________________）， ． ，，三点在一条直线上． 是等边三角形，． 即． 又，是________（_________________）． ，，． 【类比迁移】 (2)根据小明的思路，若的半径为5，则的最大值为________． 【拓展延伸】 (3)如图，内接于，，，点是直径下方弧上任一点（不与，重合），连接，，，若的半径为5，则的周长的最大值是________． 【答案】(1)，，圆内接四边形对角互补，等边三角形，有一个角是的等腰三角形是等边三角形 (2)10 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理，得到，结合旋转性质，得，，利用三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质证明即可； （2）根据直径是最大的弦，当是直径时，的值最大，即最大，计算即可； （3）绕点顺时针旋转到，使点与点重合，、、三点在同一直线上，进而证明为等腰直角三角形，类比（2）即可得出结论. 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合， 根据题意， ，，，， （圆内接四边形对角互补）， ． ，，三点在一条直线上． 是等边三角形， ． 即． 又， 是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ， ， ． （2）解：∵圆的半径为5， ∴圆的直径为10， ∵， 故当为圆的直径时最大， 故的最大值为10； （3）解：∵绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ∴，，，， ∵直角三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故当为圆的直径时最大， 故的最大值为， ∵为圆的直径， ∴， ∴周长的最大值为． 【变式4-1】（25-26九年级下·全国·单元测试）是的内接三角形，，点是劣弧的中点，连结，，. （1）如图①，若，求证：； （2）如图②，若，求的值. 【答案】（1）详见解析；（2）tan∠PAB＝. 【分析】（1）利用已知条件易证△ABC为等边三角形，所以∠ACB=60°，因为点P是弧AB的中点，所以∠ACP=30°，进而证明AC=AP； （2）①由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠CAF，由圆周角定理可得∠FOC=2∠CAF，进而可证明∠FOC=∠BAC； ②过点E作EG⊥AC于G，连接OC，设FC=24a，则OC=OA=25a，因为OF=7a，AF=32a．在Rt△AFC中，AC2=AF2+FC2，所以AC=40a，进而可求出tan∠PAB的值． 【详解】解：(1)证明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°. 又∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵点P是的中点， ∴∠ACP＝30°， 又∵∠APC＝∠ABC＝60°， ∴AC＝AP. (2)如图，连结AO并延长交PC于点E，交BC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，连结OC. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC，BF＝CF. 又∵点P是的中点， ∴∠ACP＝∠PCB， ∴EG＝EF. ∵∠BPC＝∠BAC， 又∵∠BAC＝∠FOC， ∴∠BPC＝∠FOC， ∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝. 设FC＝24a，则OC＝OA＝25a， ∴OF＝7a，AF＝32a. 在Rt△AFC中，AC2＝AF2＋FC2，∴AC＝40a. 在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝ ， ∴ ，∴EG＝12a. ∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝. 【点睛】考查了和圆有关的综合题，用的知识点有等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的定义． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余． （1）求证：＝； （2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）连接BD，根据AC为直径，可得∠ADC=90°，得出∠BCD=∠DAC，由∠DAC=∠DBC，可得∠BCD=∠DBC，根据等角对等边可得DB=DC即可； （2）过D作DE⊥BC于E，延长线交⊙O于F，可得BD=CD，DE⊥BC，根据垂径定理可得BE=CE，DF为⊙O的直径，先求出CE=，根据勾股定理求出，设OC=x，根据勾股定理在Rt△OCE中，即解方程求出半径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）连接BD， ∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠DAC， ∵∠DAC=∠DBC， ∴∠BCD=∠DBC， ∴DB=DC， ∴； （2）过D作DE⊥BC于E，延长线交⊙O于F， ∵BD=CD，DE⊥BC， ∴BE=CE，DF为⊙O的直径， ∵BC=8，CD＝4， ∴CE=， 在Rt△DCE中， ∴， 设OC=x， ∴OD=OC= x，OE=8- x， 在Rt△OCE中，即， 解得， ∴AC=2OC=10， 在Rt△ADC中，． 【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，弦与弧关系，垂径定理，等腰三角形判定与性质，勾股定理，解拓展一元一次方程，通过辅助线作出准确图形，掌握以上知识是解题关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江台州·期中）根据题意，解决下列问题． (1)已知是等边三角形的外接圆，的半径为r，等边三角形边长为a，求r与a的比值； (2)已知是等腰三角形的外接圆，D，E分别是的中点，，，求O到的距离； (3)已知是等腰三角形的外接圆，D，E分别是的中点，直线交于F，G，且D，E是线段的三等分点； ①若，求的值； ②与的比值是否为定值，若是请直接写出答案，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值，，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点O作于D，连接，理由等边三角形的性质和圆周角定理以及垂径定理求出，，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到，据此求解即可； （2）如图所示，延长交于F，连接，根据三角形中位线定理得到，再证明，，则，理由勾股定理求出，设，则，在中，，即可求出，在中，； （3）①如图所示，如图所示，连接， 同理可得，由D，E是线段的三等分点，得到，证明，得到，则；②由，得到，再由，，得到，即可证明，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点O作于D，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长交于F，连接， ∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点O是等腰三角形的外接圆圆心， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，； （3）解：①如图所示，如图所示，连接， 同理可得， ∵D，E是线段的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 由①得， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵D，E是线段的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形外接圆，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 知识点5 等腰图之圆心在腰上 图示 条件 ，AB是直径， 结论 ①；②；③；④；⑤；⑥ 方法 在，，中用勾股定理或面积法计算 【题型5 等腰图（圆心在腰上）】 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，为的直径，交于点D、E，且D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线的性质求解即可； （2）连接BE，设的半径为r，由（1）可得，，再根据D为BC中点，即可求得，最后在和中根据勾股定理列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）连接OD， ∵AB为直径， ∴O为AB中点， 又∵D为BC的中点， ∴OD为中位线， ∴， 又∵OD为半径， ∴， ∴； （2）连接BE， ∵AB为直径， ∴, ∴， 设的半径为r， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵D是BC中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、勾股定理的应用和一元二次方程的应用，圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．    (1)求证：与圆O相切． (2)当，＝时，求圆O的半径． 【答案】(1) 证明：连接，    则， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，是角平分线， ， ， 是圆O的半径， 与圆O相切； (2) 【分析】（1）连接，可得，进而推出,由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论； （2）首先证得，根据相似三角形对应边成比例即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：在中，，E为的中点， ∴在中， ， 设圆O的半径为r，则， ， ， ∴ 即 即圆O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，以AC边为直径作交BC边于点D，过点D作于点E，ED、AC的延长线交于点F． （1）求证：EF是的切线． （2）若的半径为6，且，求线段AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可得∠B=∠ACD，∠ODC=∠OCD，从而得出∠B=∠ODC，根据平行线的判定可得ODAB，直接利用切线判定定理证明即可； （2）根据圆的基本性质可得OA=OD=6，AC=12，根据sin∠CFD=，即可分别求出OF和AE的长． 【详解】证明：（1）连接OD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD ∴∠B=∠ODC ∴ODAB ∵DE⊥AB ∴OD⊥EF ∴EF是O的切线； 解：（2）∵的半径为6， ∴OA=OD=6，AC=12 ∵ ∴ 即 解得：OF=10 ∴AF=OA＋OF=16 ∴ 解得：AE=． 【点睛】本题是圆的综合问题，涉及到切线性质与证明，三角函数等知识点，掌握切线的判定定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 【变式5-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．    (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ， ， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）根据可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而可得，由此可得是等腰三角形； （2）连接，过点D作于点H．先利用圆周角定理和勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，进而利用勾股定理求出，则，由此可解． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接，过点D作于点H，    是直径， ， ， ， 即， ． ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等，难度一般，解（1）的关键是根据同弧所对的圆周角相等得出，解（2）的关键是通过推导得出． 知识点6 切割图 图示 条件 AB是直径，CD是切线， 结论 ①∥；②，，；③，，；④；⑤ 【题型6 切割图】 【例6】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）设AD交⊙O于E，，ACD的面积为6，求BD的长． 【答案】 （1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC//AD， ∴∠OCE＝∠ADC＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）． 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到∠DAC＝∠OCA，证明OC//AD，根据平行线的性质得到∠OCE＝∠ADC＝90°，根据切线的判定定理证明； （2）设AC＝5x，CD＝3x，根据勾股定理得到AD＝4x，根据三角形的面积得到AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，根据相似三角形的性质得到AB＝，连接BE交OC于F，由垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，得到EF＝CD＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵＝， ∴设AC＝5x，CD＝3x， ∴AD＝4x， ∵ACD的面积为6， ∴AD•CD＝＝6， ∴x＝1（负值舍去）， ∴AD＝4，CD＝3，AC＝5， 连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠ADC， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴ADC∽ACB， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴， 连接BE交OC于F， ∴OC⊥BE，BF＝EF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠DEB＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD＝3， ∴BE＝6， ∴AE＝＝， ∴DE＝4﹣＝， ∴BD＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式6-1】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，点为上四个点，为直径，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)求的长． 【答案】(1) 证明：平分， ， ； (2) 证明：连接，如图1， 为直径， ， 又， ． ， ， ， ， ， 为的切线； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证明即可； （2）连接，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，即可得证； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理得出，证明，即可得解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作的垂线，交的延长线于点，如图2， ， ， ， 又， ， ， ， 为等腰直角三角形， 在中，， ， ，，， （SAS）， ， ， 在中，， ． 【变式6-2】（2026·甘肃庆阳·一模）如图，为半的直径，点C为半上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交半于点E．． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则平分． (2)4 【分析】（1）根据已知条件和切线的性质得出，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质推得结论； （2）如图②中，连接，交于点H．证明四边形是矩形，推出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点H， ∵， ∴， ∵是直径，是切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． （1）如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． （2）同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 【答案】课本再现： 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； 课本开发： （1）如图，连接， ， ． 平分， ． ， ． ． ． ． ． 是的半径， 是的切线． （2） 【分析】课本再现：连接，证明，，得出，再证明，，即可求值； 课本开发：（1）连接，先判定，根据推出即可求解； （2）结合角平分线的性质得，运用圆内接四边形性质，得，证明，分别运用勾股定理算出，即可得到的长，再用勾股定理即可求出． 【详解】课本再现：略 课本开发： （1）略 （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点，连接 ∵平分，于点，于点， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形等知识，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 知识点7 双切图 图示 条件 AC是直径，PA，PB是切线 结论 ①，；②，，，；③点 方法 ①转化等角；②构造中位线；③切线长定理 【题型7 双切图】 【例7】（25-26九年级上·湖北·期中）如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接、，与相交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，利用证明，由全等三角形的性质和切线的性质可得，即可证明结论； （2）设交于，连接，首先证明，，再结合，易得，，即可证明、均为等腰三角形，进而证明，可得，设，则，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：连接、，如下图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与切于点， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）设交于，连接，如图， ∵、为切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， 又∵为直径， ∴， 则， ∴， 设，则，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 【答案】(1) 证明：连接OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°， 在△APO和△BPO中， ， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB与⊙O相切； (2)12 【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论； （2）由切线长定理可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6， ∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6， ∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式7-2】（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解； （）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式7-3】（2025·福建·一模）如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点． (1)当时，等于_____； (2)若与相切于点，连接，如图2． ①求证：平分； ②求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明：① 如图，过点作于点，连接、， 与边相切，切点为点， ， 又 平分， ， 与相切于点， ，， ， 又 ，， 平分； ② 由①得 ：为的切线， ，均为的切线， ，，， 设，，，，，， 则， 解得：， ， 连接并延长交直线的延长线于点， ，， ， 为的中点， 为的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ，，三点共线． 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，平分，根据得到，推出，由可得，推出，结合平分，可得，即可求解； （2）① 点作于点，连接、，由 与相切于点和 与边相切，切点为点，可推出，，，根据平分，可得，推出，即可证明；②连接并延长交直线于点，由① 得 ：为的切线，结合，均为的切线，可得，，，设，，，，，，则，得到，即，根据菱形的性质和题意可得：为的中位线，且，得到，，推出，根据等腰三角形的额判定与性质可推出，得到与点重合，即可证明． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，如图， 四边形是菱形， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ，即， ， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识正确添加辅助线． 知识点8 三角形内切圆 图示 条件 ，与BC，AC，AB分别相切于点E，F，D 结论 ①，，；②四边形OECF是正方形；③ 【题型8 三角形的内切圆】 【例8】（2021·湖北黄冈·中考真题）如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：如图，过点作于点，连接， 与相切于点， ， 平分， ， 在和中，， ， ， 是的半径， 又， 是的切线； （2）． 【分析】（1）过点作于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设分别交于点，连接，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）如图，设分别交于点，连接， 的半径是1， ， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 则图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 【变式8-1】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)④；切线长定理 (2)∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即的半径为13； (3)作出的“美外四边形”如图所示： 【分析】（1）根据“美外四边形”和切线长定理解答即可； （2）证明四边形是正方形，即可解答； （3）作的角平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为圆心，长为半径作圆O，以点D为圆心，长为半径，画弧交于点H，以点H为圆心，长为半径，画弧交圆O于点K，延长交于点G，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：①平行四边形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”； ②矩形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”；     ③菱形的内角不一定为直角，故不一定是“美外四边形”；      ④正方形一定是“美外四边形”； ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H， ∴（切线长定理） （2）略 （3）解：理由：如图，连接， 由作法得：圆O为的内切圆，则， ∴四边形为正方形， ∴， ∴与圆O相切， ∴四边形为“美外四边形”，且． 【变式8-2】（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】(1)A (2)A (3) (4) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了勾股定理的运用，掌握圆的性质是做题的关键． （1）根据圆的性质得到相关结论． （2）根据三角形内切圆的定义得到三角形内切圆的圆心是三角形的内心． （3）利用三角形的内切圆半径公式分别表示出 和 的内切圆半径，进而求解 的长． （4）根据三角形内切圆的性质求解． 【详解】（1）原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的． （2）三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的． （3）已知在直角三角形 中， ， ， ， 则 ， 设 ，则 ， 由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为， 因为，所以， 由题意知 的面积为， 的半周长， 其内切圆半径为，即， 令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此． （4）对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误． 对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确． 对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确． 对于选项D，如图所示： 两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养 知识点9 梯切圆 图示 条件 BE，BC，CG是切线，BE∥CG 结论 ①；②，；③EF∥OC，OB∥GF；④四边形OAFD为矩形 【题型9 梯切圆】 【例9】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）直径和是的切线，切于点且交于点交于点，设． 求与之间的关系式； 是关于的一元二次方程的两个根，求的值； 在的条件下，求的面积． 【答案】（1）与的函数关系式是；（2），或；（3）． 【分析】（1）作交于，可知，DF=AB=12．由题意与切于点，切于，可知．即可求出．再在中，利用勾股定理即可求出x、y的关系． （2）根据（1）可知，再根据韦达定理即可求出m的值．即得到一元二次方程，求出该一元二次方程的两个根即可． （3）连接．根据切线可知，即即可求出． 【详解】（1）如图，作交于； 与切于点 ． 又， ∴， 四边形是矩形， ， ， ； 切于， ， 则， 在中，，即， 整理为：， 与的函数关系式是． （2）由（1）知， ∵是方程的两个根， 根据韦达定理知，，即； 原方程为， 解得：． 即或． （3）如图，连接， 是的切线， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系和解一元二次方程．作出常用的辅助线是解答本题的关键． 【变式9-1】（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，、、分别与相切于、、，且，，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)求的长； (3)求的半径的长 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析； (2)10； (3)4.8 【分析】（1）由切线长定理，易得，，又由，则可求得； （2）由，，利用勾股定理即可求得的长； （3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得的半径的长． 【详解】（1）是直角三角形． 证明：、、分别与相切于、、， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）在中，，， ； （3）、、分别与相切于、、， ， ∴， ． 【点睛】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式9-2】（2025·河南安阳·二模）把一个直立的火柴盒放倒（如图），通过用不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．用分别表示和的边长，易知，这时我们把关于的形如 的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)当时，求证：关于的“勾氏方程”必有两个不相等的实数根； (2)如图，的半径为，是位于圆心异侧的两条平行弦．作于点，作的延长线交于，，，，为过上点的切线，与的延长线交于点． ①连接，若关于的方程是“勾氏方程”，求证：； ②直接写出的长．（用含的代数式表示） 【答案】(1) 证明：关于的方程是“勾氏方程”， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当时，关于的“勾氏方程”必有两个不相等的实数根； (2) ①证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的长为 【分析】（）由“勾氏方程”的定义得，进而得，即可求证； （）①连接，由平行线的性质可得，进而由垂径定理得，，由“勾氏方程”的定义得，由勾股定理可得，即得，同理可得，即可证，即得，即得到，可得，根据圆周角定理得，进而由平行线的性质即可求证；②连接，延长交的延长线于点，可证，可得，即得，又由得，即得到，进而得到，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②连接，延长交的延长线于点， ∵为过上点的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程根的判别式，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式9-3】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F． (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA=OG=r，则DC是⊙O的切线； （2）连接OF，依据垂径定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：(1) 过点O作OG⊥DC，垂足为G． ∵AD∥BC，AE⊥BC于E， ∴OA⊥AD． ∴∠OAD=∠OGD=90°． 在△ADO和△GDO中 ， ∴△ADO≌△GDO． ∴OA=OG． ∴DC是⊙O的切线． （2）如图所示：连接OF． ∵OA⊥BC， ∴BE=EF= BF=12． 在Rt△OEF中，OE=5，EF=12， ∴OF=， ∴AE=OA+OE=13+5=18． ∴tan∠ABC＝． 【点睛】本题主要考查的是切线的判定、垂径定理、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 知识点10 内心图 图示 条件 E是的内心 结论 ①；②（B，E，C在以DE为半径的上）；③ 【题型10 内心图】 【例10】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，点是上一点，点是的内心，的延长线交于点，连． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接； 点是的内心， ，； ， ； ； ，， ， ． (2) 【分析】（1）连接，运用内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可解决． （2）连接．，过点作交的延长线于点，证明，都是等腰直角三角形，，得到；由勾股定理即可求得，；再利用即可即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）连接．，过点作交的延长线于点， 是直径， ， 平分， ， ， ，都是等腰直角三角形， ；， 是的直径， ，由勾股定理得： ； ∵， ∴ ， ， ∴， 又∵， ∴， 【点睛】该题在考查三角形的内切圆及其性质的应用的同时，还渗透了对等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定及其应用等几何知识点． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1) 证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． (3) 证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 【变式10-2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)取弦的中点E，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据三角形的内心的性质以及角平分线的性质可得，由圆周角定理可得，则，根据角的和差以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）先说明，然后证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）如图：延长到M，使得，连接，易得点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，由圆周角定理可得，根据勾股定理可得，再根据、线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，解得：． （3）解：如图：延长到M，使得，连接， ∵， ∴， ∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）△ABC内接于⊙O，I为其内心，AI的延长线交⊙O于D,连OD交BC于E． （1）求证： OD⊥ BC； （2）若∠BOC=∠BIC，求∠BAC的度数； （3）①若DE=2,BE=4，①求⊙O的半径r． ②当点A在优弧BAC上移动时，OI是否有最小值，如有请求出最小值，如没有请说明理由． 【答案】 （1）证明：延长DO交⊙O于P，则DP是⊙O的直径；连接OB、OC，则OB＝OC ∴∠OBC＝∠OCB， ∵I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠BOD＝∠BOC， ∴△BOE≌△COE（ASA）， ∴BE＝CE， ∴DP⊥ BC（平分弦的直径垂直于弦）， 即OD⊥ BC， （2）60° （3）①5  ② 【分析】（1）延长DO交⊙O于P，则DP是⊙O的直径；连接OB、OC，则OB＝OC，根据等边对等角证得∠OBC＝∠OCB，根据内心的性质可得∠∠BAD＝∠CAD，根据圆周角定理及其推论可得∠BOD＝∠BOC，进而证得△BOE≌△COE，继而得BE＝CE，根据垂径定理即可求证结论； （2）连接BO、CO、BI、CI，根据内心的性质可得∠BIC＝90°＋∠BAC，根据圆周角的性质及其推论可得∠BOC＝2∠BAC，由∠BIC＝∠BOC可知90°＋∠BAC＝2∠BAC，继而求解即可； （3）①根据题意可得：BE＝4，DE＝2，OB＝r，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可； ②由I是△ABC的内心可知，DB＝DC＝DI，由勾股定理可得，继而得DI＝DB＝BC＝，分析题意可知，当A点移动到使A、I、O、D四个点在一条直线上时，OI有最小值，继而求得OI＝OD－DI＝5－． 【详解】（1）略 （2）连接BO、CO、BI、CI， ∵I是△ABC的内心， ∴∠BIC＝90°＋∠BAC ∵∠BOC＝2∠BAC，∠BIC＝∠BOC ∴90°＋∠BAC＝2∠BAC， ∴∠BAC＝60° （3）①∵BE＝4，DE＝2，OB＝r ∴OE＝OD－DE＝OB－DE＝r－2， ∵OD⊥BC， ∴∠BEO＝90°， 在Rt△BOE中，根据勾股定理可得 解得： 故⊙O的半径； ②∵⊙O是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，且AI的延长线交⊙O于点D， ∴DB＝DC＝DI， ∵BE＝4，DE＝2，∠BED＝90°, 由勾股定理可得：， ∴DI＝DB＝BC＝, 当A点移动到使A、I、O、D四个点在一条直线上时，OI有最小值， 此时OI＝OD－DI＝5－． 【点睛】本题考查主要垂径定理、三角形内心的性质，涉及到动点问题，难度较大，解题的关键是熟练掌握垂径定理和三角形内心的性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $