卷2 第二十六章 二次函数 基础诊断卷（A卷）上分专题（一） 二次函数与几何图形的综合-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦二次函数与几何图形的综合应用，系统梳理了与线段、角度、三角形、四边形综合的四类核心问题，通过分类题型解析和“上分技巧”总结，构建起知识内在逻辑网络，帮助学生形成完整的综合解题思路。 其亮点在于采用“题型归类-技巧提炼-分层训练”的复习策略，如线段最值问题通过函数建模转化为二次函数最值求解，等腰三角形存在性问题分情况讨论，培养学生的抽象能力和推理意识。例题设置基础题与偏难题，满足不同学生需求，助力教师精准开展分层教学，有效提升学生综合应用能力。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 上分专题（一） 二次函数与几何图形的综合 重难上分 攻克难点 4 类型1 与线段综合 类型2 与角度综合 类型3 与三角形综合 类型4 与四边形综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 与线段综合 1.[2026江苏苏州中学月考]如图，二次函数的图象与 轴交于 和两点，交轴于点，连接 . （1）求二次函数解析式. 【解】设二次函数的解析式为.将 代入上式可得 ，解得， . 1 2 3 4 5 6 （2）若点为二次函数图象上一点，且点在第二象限，过点作 轴的平行线交 于点，求线段 的最大值. 【解】设直线的解析式为.将， 代入上式可得 解得直线的解析式为.设 ， 则， . ，当时，有最大值，为 . 上分技巧 结合二次函数求一条线段长的最值 ①结合已知的二次函数解析式表示出线段端点的坐标； ②将线段长表示成关于一个变量（一般是线段某端点的横坐标）的函数； ③求函数的最值. 1 2 3 4 5 7 2.[2026四川成都月考]如图，抛物线过点，， . （1）求抛物线的解析式. 【解】由题意设抛物线的解析式为，将 代入上式得，解得，抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 8 （2）［偏难］若点是线段上的一动点，连接，求 的最小值. 【解】如图，连接，过点作于点，交于点 . ，，， . ， 为等腰直角三角形，易得 ，， 此时 取得最小值.，，. 在 中，，易得 ，即 的最小值为 . 1 2 3 4 5 9 上分技巧 结合二次函数求两条线段和的最值 情况1：利用轴对称的性质将两条线段转移到同一条直线上，再求解； 情况2：问题中出现，，，时，考虑通过等腰直角三角形、含 角的直 角三角形边之间的关系将要求的两条线段转移到同一条直线上，再求解. 1 2 3 4 5 10 类型2 与角度综合 3.[2026河北石家庄新华区月考]如图，抛物线 经 过，两点，与轴交于点 . （1）求抛物线的函数解析式. 【解】抛物线经过， 两点， 抛物线的函数解析式为 . 1 2 3 4 5 11 （2）若点在第四象限，且在抛物线上，过点作 轴于点 ，连接，，与轴交于点，当时，求点 的坐标. 【解】抛物线的函数解析式为，，. 轴，轴，，. ， .，， .设 ，则.， . 在中，，， ， ， . 1 2 3 4 5 12 上分技巧 二倍角问题 题干中出现一个角是另一个角的二倍时，一般需要利用这个关系构造角平分线或 等腰三角形，进而推导出一些线段之间的关系，结合这些关系再进行求解. 1 2 3 4 5 13 类型3 与三角形综合 4.[2026陕西西安月考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点，将抛物线 向右平移4个单位 长度得到的抛物线与轴交于，两点（点在点 的左侧）. 1 2 3 4 5 14 （1）求点的坐标和抛物线 的函数解析式. 【解】将点代入抛物线，得 ，解得 ，抛物线的解析式为.当时， ，解得 或，点的坐标为.将抛物线 向右平移4个单 位长度得到抛物线，抛物线的函数解析式为 . 1 2 3 4 5 15 （2）［难］记抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点 ，使得 以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在， 请说明理由. 1 2 3 4 5 16 【解】存在.对于抛物线，当时， ， 解得或，，.抛物线的对称轴 为 直线，可设点的坐标为.由（1）知，， ， ， ， ，分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形，，即 ，解得 ，点的坐标为或 ； ②当时，是等腰三角形，，即 ，解得 ，点的坐标为或 . 综上，在直线上存在点，使得以点，， 为顶点的三角形是等腰三角形，此 时点的坐标为或或或 . 1 2 3 4 5 17 上分技巧 三角形的存在性问题 三角形的存在性问题一般需要分情况讨论，比如在等腰三角形中，要根据哪两条边 是腰分三种情况讨论；在直角三角形中，要根据哪个角是直角分三种情况讨论等. 1 2 3 4 5 18 类型4 与四边形综合 5.[2026云南昆明月考]如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴交于，两点，与 轴 交于点， 是抛物线上的一个动点. （1）求该二次函数的解析式. 【解】由题意将，，分别代入 ，得 解得二次函数的解析式为 . 1 2 3 4 5 19 （2）［难］若是轴上的一动点，是否存在点，使以，，， 为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.设，.当 为对角线时，根据平行四边形对 角线互相平分，可得即解得 （不合题意，舍去）或点的坐标为；当 为对角线时，同理可 得即解得 （不合题意，舍去）或 点的坐标为；当 为对角线时， 1 2 3 4 5 20 同理可得即解得 或 点的坐标为或.综上所述，点的坐标为 或 或 . 上分技巧 平行四边形的存在性问题 平行四边形的存在性问题一般以对角线为标准，分三种情况讨论. 1 2 3 4 5 21 $