卷2 第二十六章 二次函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的定义、图像性质、平移规律及实际应用，通过“上分技巧”“上分警示”等模块将顶点式、对称轴、增减性等核心内容串联，帮助学生构建完整的二次函数知识网络。 其亮点在于融入新情境（如机器人轨迹、DeepSeek程序）和传统文化（投壶游戏），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过基础诊断与分层题目（基础、中、偏难）设计，锻炼数学思维与推理能力，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 卷2 第二十六章基础诊断卷（A卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1. 2026马年春晚我们共同见证了机器人“智造”领域的技术飞跃.机器人 某些运动轨迹可抽象为抛物线，在初中数学中我们通过二次函数研究抛物线.下列 函数中，是关于 的二次函数的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】A选项， 是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B选项，当 时，不是二次函数，不符合题意；C选项， 不是二次函数， 不符合题意；D选项， 是二次函数，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分技巧 识别二次函数 识别一个函数是不是二次函数要看它是否同时满足三个条件： （1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量最高次数是2；（3）二次项系数不 为0.若满足，则该函数是二次函数，否则不是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.[2026安徽合肥月考]抛物线 的顶点坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分警示 根据顶点式写出抛物线的顶点坐标 顶点式，，是常数，，其中 为顶点坐标，注意 不要写成 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 3.[2026福建厦门思明区月考]若抛物线的对称轴是直线 ， 则 的值为( ) C A.2 B.1 C. D.0.5 【解析】 抛物线的对称轴是直线 ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 4.新情境 [2026河南郑州一中月考]小明用 编写了一个程序来探索一元二次方程 的根，作出如图所示的图象， 并求得一个近似根 ，则方程的另一个 近似根（精确到 ）为( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线与轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为 ，即方程的另一个近似根为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分技巧 二次函数图象的对称性 只要二次函数图象的对称轴确定，此二次函数图象上任意一点关于对称轴对称的 点的坐标就能确定，不需要知道此二次函数的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 5.[2026河北承德月考]二次函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象( ) A A.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【解析】， 二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得到函数 的图象.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 上分点拨 二次函数图象的平移规律 上加下减常数项，左加右减自变量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 6.[2026浙江杭州建兰中学月考]若点，， 都在二次函数 的图象上，则，， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】 点，，都在二次函数 的图象上， ， ， ， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 上分心得 二次函数的增减性 ①图象开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随 的 增大而增大.②图象开口向下时，在对称轴左边，随 的增大而增大；在对称轴右 边，随 的增大而减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 7.[2026山东淄博淄川区月考]在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二 次函数为常数，且 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】A选项，根据二次函数图象可得，由此判断直线 需经过 第二、三、四象限，故本选项不符合题意；B选项，根据图象可得一次函数 中，则二次函数 的图象应开口向上，故本选项不符合 题意；C选项，根据图象可得一次函数中 ，则二次函数 的图象应开口向下，故本选项不符合题意；D选项，根据图象可得一 次函数中，则二次函数的图象应开口向上，且与 轴 交于负半轴，故本选项符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 8.[2026江苏南京鼓楼区月考，中]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以 后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 ，则该厂今年第一季度新产品的 研发资金（万元）与 的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 该厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资 金与上月相比增长率都是， 该厂今年二月份新产品的研发资金为 万元， 三月份新产品的研发资金为 万元.根据题意得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 9.[2026广东广州天河区月考，中]二次函数在 的范围内有最小值为，则 的值为( ) A A.3或 B. C. 或1 D.3 【解析】， 抛物线开口向 下，对称轴为直线， 在 的范围内， 时， 为函数最小值， ，解得或 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 10.[2026北京西城区月考，偏难]已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论： ；；； ； .其中结论正确的是( ) B A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】 对称轴在轴的右侧，.由图象可知， ，故 ①不正确.②当时，，，故②正确. 对称轴为 直线, ， ， ， ，，故③正确， , ，，故④不正确.⑤当时， 的值最大，此时 ，而当时， ， ，故，即 ，故 ⑤正确.综上，②③⑤正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.开放性问题 [2026湖南长沙月考]抛物线与轴交于点， ，则该抛物 线解析式可以为__________________________.（填一个即可） （答案不唯一） 【解析】 抛物线过点，， 可设此二次函数的解析式为 .把代入，得.故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 上分警示 开放性问题 做开放性问题时，得出的答案可以代入题干检查一遍，看是否符合题目的每个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第12题图） 12.[2026安徽合肥月考]如图，在同一平面直角坐标系中，作出 ，， 的图象，则从里到外的三条 抛物线对应的函数依次是________（填序号）. ①③② 【解析】，， 中，二次项系数分 别为3,,， 抛物线的开口最大，抛物线 的开 口最小.故答案为①③②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第13题图） 13.[2026陕西西安月考]如图，已知抛物线 与直 线交于，两点，则关于 的不等式 的解集是____________. 【解析】由图象可知，当 时，抛物线位于直线上方， 不等式的解集是 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第14题图） 14.[2026吉林长春月考，中]如图，， 为二次函数 图象上的两点，且直线垂直于 轴，若 ，则点 的纵坐标为___. 1 【解析】抛物线 的对称轴为直线 ， 点横坐标为.将 代入 得， 点 的纵坐标为1.故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第15题图） 15.传统文化 [2026江西南昌月考，中]投壶是中国古代宴饮时 的一种投掷游戏.游戏规则：游戏者轮流站在离壶一定距离的地 方，用手把箭投向壶中并计算得分，其中箭头的运动轨迹可以 看作一条抛物线.如图是小西投壶时箭头行进高度 与水平 距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度 0.3 为，当箭头行进的水平距离为时，箭头行进至最高点处.已知 是壶的 最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且 .若小西投壶恰 好投中，则的长为____ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】由题意知，抛物线的顶点坐标为，，， .设抛物线解析式为 ，把点坐标代入解析式得，解得 ， 抛物线解析式为.当时，， 若 小西投壶恰好投中，则 的长为0.3米，故答案为0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 16.新定义 [2026广东广州越秀区月考，偏难]对于一个函数，当自变量取 时， 其函数值等于，我们称为这个函数的“三倍数”.若二次函数 有且只有一个“三倍数”，则 的值为___. 2 【解析】设二次函数的“三倍数”为，则 ， ， 二次函数 有 且只有一个“三倍数”，，解得 ，故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026重庆綦江区月考]（8分）二次函数 的图象经过点 ， . （1）求, 的值.（4分） 【解】二次函数的图象经过点， ， …………（2分） 解得 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）求二次函数图象与轴、 轴的交点坐标.（4分） 【解】由（1）知，.令，则， 二次函数 的图象与轴的交点坐标为 .…………（6分） 令，则，解得， 二次函数的图象与 轴的交 点坐标为， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 18.[2026浙江湖州南浔区月考]（10分）已知抛物线上有 ， 两点. （1）通过计算判断点 是否在该抛物线上.（3分） 【解】当时，， 点 不在该抛物线上.………… （3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）判断和 的大小关系，并说明理由.（7分） 【解】 .…………（4分） 理由： 抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而增大.…………（7分） 又 抛物线上有，，两点，且 ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 19.[2026辽宁沈阳七中月考]（10分）如图，利用 的墙角修建一个梯形 的储料场，其中，且 .如果新建墙 （墙上的门算作墙的一部 分，未在图中显示）总长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （1）设储料场面积为，的长为，求与 之间满足的函数关系式.（6分） 【解】由题意可得的长为.如图，过作 于 ，, .又 ， 四 边形是矩形，， . ， ， ， ， ，…………（4分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）当 取何值时，才能使储料场的面积最大？最大面积为多少？（4分） 【解】由（1）可知.抛物线 的对称轴为直线 .…………（8分） 抛物线开口向下， 当 时，储料场的面积最大，最大面积为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.[2026天津新华中学月考]（12分）已知抛物线 . （1）求证：不论取何值，该抛物线与 轴总有两个公共点.（5分） 【证明】由题意得方程 ，则 ， ，即， 不论取何值，该抛物线与 轴总有两个公共 点.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）［中］若该抛物线与轴交于点，求当时， 的取值范围.（7分） 【解】把代入得，解得， 该 抛物线的解析式为 .…………（8分） 令，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为 ， 抛物线开口向上， 当时，的取值范围为或 .………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 21.[2026山西太原月考]（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件的进货 价为50元.规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与售 价 （元/件）满足一次函数关系.部分数据如表： 售价 （元/件） 60 65 70 销售量 （件） 1 400 1 300 1 200 （1）求出关于的函数解析式.（不需要写自变量 的取值范围）（3分） 【解】根据题意设函数解析式为时， ， 时，，，， ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］若该衬衫每件的利润不允许高于进货价的 ，这种衬衫每月的总利 润为 （元），那么售价定为多少可获得最大利润？最大利润是多少？（5分） 【解】由题意得，衬衫的最高售价为 （元/件），最低售价为 50元/件， ， 时，有最大值，为 ，即当售价定为75元/件时可获得最大利润， 最大利润是27 500元.…………（8分） （3）［中］若该批发市场每月想从这种衬衫的销售中获利24 000元，该如何给这 种衬衫定价？（4分） 【解】令，解得或 . 答：可给这种衬衫定价为70元/件或110元/件.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 22.探究性问题[2026山东滨州模拟]（14分）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，与轴交于，两点，与 轴交于点 . （1）若直线经过，两点，求直线 和抛物线的解析式.（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【解】由题意得 解得 抛物线的解析式为 .…………（2分） 由对称轴为直线，且抛物线经过，得 . 把，代入 ， 得解得 直线的解析式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）［中］在抛物线的对称轴直线上找一点，使 的值最小，求 点 的坐标.（5分） 【解】根据轴对称的性质和两点之间线段最短，易得当点为直线 与抛物线的 对称轴直线的交点时， 的值最小.…………（5分） 把代入直线得，故，即当点的坐标为 时， 的值最小.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （3）［偏难］设为直线上的一个动点，求使为直角三角形的点 的坐标.（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解】设，， ， ， .…………（10分） 若为直角顶点，则，即 ，解得 ,, ；…………（11分） 若为直角顶点，则，即，解得 , ；…………（12分） 若为直角顶点，则，即 ，解得 ，,或, . 综上，点的坐标为或或，或， .………… （14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 $