精品解析：广东云浮市罗定中学城东学校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

广东省云浮罗定中学城东学校 2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 考试范围：《必修一第五章》至《必修二》第七章 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3、考试结束后，请将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数的共轭复数 10. 已知非零平面向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，满足，且，同向，则 B. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 C. 若存在非零向量使得，则 D. 若向量和满足，与的夹角为60°，则 11. 如图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______. 13. 已知复数是纯虚数，则实数______． 14. 如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 已知平面向量，满足，，. （1）求； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向． 18. 已知函数. （1）求的对称中心； （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求. 19. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省云浮罗定中学城东学校 2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 考试范围：《必修一第五章》至《必修二》第七章 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3、考试结束后，请将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得. 【详解】， 所以，其虚部为. 故选：A. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 3. 设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可. 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用表示向量，再借助共线向量定理的推论求解作答. 【详解】因，则，又，于是得， 而不共线，点在直线上，因此，解得， 所以实数的值为. 故选：D 5. 如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而结合余弦定理计算得. 【详解】解：由正弦定理，，即，故， 所以，所以， 所以由余弦定理，. 故选：D． 6. 已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以． 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 8. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作答. 【详解】设，在中，，， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 在中，， 即 ， 由，得， 于是，解得， 所以滕王阁的高度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数的共轭复数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数乘法运算，复数相关的概念，复数对应点的坐标的特性，复数模的计算公式和共轭复数的概念逐项分析即可. 【详解】因为，且复数的实部为， 所以，解得：，所以， 对于A，由，所以复数的虚部为，故A正确； 对于B，由复数在复平面内对应的点为，该点位于第三象限，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，由复数的共轭复数，故D错误. 10. 已知非零平面向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，满足，且，同向，则 B. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 C. 若存在非零向量使得，则 D. 若向量和满足，与的夹角为60°，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A：由向量不能比较大小，则的说法有误，故A错误， B：若不是基底，则且，而是一组基底， 所以，则或，即，故B正确， C：若，则，但不一定有，故C错误， D：由题设，故，故D正确. 11. 如图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，，则， 不妨令，当时，， ，解得：， 即函数的解析式为：，故A错误； 又，故B正确； 又，故C正确； 而，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用向量垂直以及数量积的运算法则，可得，在结合题目所给的模，代入即可求得. 【详解】， 即，又 故答案为：4 13. 已知复数是纯虚数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得. 【详解】， 又为纯虚数，，解得：. 故答案为：. 14. 如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案. 【详解】海轮向北航行后到达点，则 由题意，在中， 又则, 由正弦定理可得：,即 在中， ， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，则，由为纯虚数可得； （2），根据其在复平面对应的点在第一象限可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意可知，， 故， 由题意，得. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 由题意可得得，故实数的取值范围为. 16. 已知平面向量，满足，，. （1）求； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解； (2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答. 【详解】（1）依题意，，得， ， 所以； （2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得， 而当向量与同向时，可知， 综上所述的取值范围为. 17. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】（1）缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 （2）缉毒船的行驶方向为北偏东 【解析】 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【小问1详解】 设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 18. 已知函数. （1）求的对称中心； （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数进行化简，再根据正弦函数的对称中心性质求解. （2）先根据函数图象的变换规律求出的表达式，再根据三角函数的定义求出和的值，最后代入进行计算. 【小问1详解】 根据二倍角公式可得：， 即，根据正弦函数的对称中心性质可得： ， 解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 因为为角终边上的一点， 根据三角函数的定义可得：， 所以，， 又因为函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 由三角函数的图象变换性质可得， ， 又因为，， 所以， . 19. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $