精品解析：广东省云浮市罗定市2023-2024学年高一下学期期中检测数学试题

罗定市2023~2024学年度第二学期期中检测 高一数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．答案须做在答题卡上；选择题填涂需用2B铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答．考试结束后只需交答题卡． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 6. 已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ） A 8 B. 7 C. 6 D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 11. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是锐角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________ 13. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 14. 已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为． （1）求下部分正四棱台的侧面积； （2）求奖杯体积．（结果取整数，取3） 17. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G． （1）设，求t的值； （2）求的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形． （1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点．求证：平面． （2）设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 19. 如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 罗定市2023~2024学年度第二学期期中检测 高一数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．答案须做在答题卡上；选择题填涂需用2B铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答．考试结束后只需交答题卡． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解. 【详解】由题意可知：， 由，可得. 故选：B. 2. 已知向量．若与平行，则实数λ值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示计算得解. 【详解】由，得，而，与平行， 因此，解得， 所以实数λ的值为. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断. 【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形， 所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误； 对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确； 对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥， 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体， 故C错误； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误； 故选：B. 4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案. 【详解】解： . 故选：C. 5. 如图，四边形斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D 6. 已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的定义，由可得，再以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，设，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】∵，，， ∴， 即，即， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， ∴，，，， 设， ∴， ∴， 设，∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，， 则的取值范围是. 故选：A. 7. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过做辅助线把平移到，得到为异面直线和所成的角或其补角．在中求出三边的长度，再用余弦定理即可得到的余弦值. 【详解】如图， 延长到点，使得，连接，由，得，即， 所以为异面直线和所成的角或其补角． 设正方体的棱长为2， 则， 所以. 故选：A 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，，设，则， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ，又，则，故， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点线、点面关系，结合平面基本性质判断A、C；由面面、线面位置关系判断B、D. 【详解】A：，则或相交，错； B：如下图，过作平面与与交于，又，则， ，，则，而，，则， 所以，对； C：，则，但不一定成立，错； D：，则或异面，错. 故选：ACD 10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断. 【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第二象限，故A项正确； 对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误； 对于C项：由题意可得：， 则，故C项正确； 对于D项：由题意可得：， 则的共轭复数为，故D项正确； 故选：ACD. 11. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等边三角形 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，则一定是锐角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出、的关系，可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；由和角的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得， 则， 因为至少有两个锐角，从而可得， 故为锐角三角形， 因为正切函数在上为增函数，故， 所以，为等边三角形，A对； 对于B选项，因为，由正弦定理可得，即， 因为、，所以，，, 又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角， 所以，、，所以，或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，B错； 对于C选项，时，由余弦定理可得， 即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证， 因此不一定是锐角三角形，C错； 对于D选项，因为， 所以， 由、、，所以、、均为锐角， 所以为锐角三角形，所以D正确． 故选：AD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 14. 已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，的角平分线交于点，且， 因为，即， 即，即，所以，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【小问1详解】 由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. 【小问2详解】 依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 16. 如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为． （1）求下部分正四棱台的侧面积； （2）求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出斜率，再由梯形面积公式计算可得； （2）根据球、柱体、台体的体积公式计算可得. 【小问1详解】 因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，， 则该四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积为； 【小问2详解】 因为， ，， 所以这个奖杯的体积. 所以这个奖杯的体积约为. 17. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G． （1）设，求t的值； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得； （2）取作为平面一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案. 【小问1详解】 ， 又D，G，E三点共线，则， 则， 因为，不共线，由平面向量基本定理，得且， 解得. 【小问2详解】 取，作为平面的一组基底， 则， 则， . ， ， ． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形． （1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点．求证：平面． （2）设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）在上是存在中点，使平面成立，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取上靠近的三等分点，连接，可得进而证明平面，同理证明平面，得出面平面即可证明； （2）存在中点，连，使，连，得出即可证明. 【详解】（1）如图，取上靠近的三等分点，连接， 中，， 则又平面，平面， 平面，同理，平面，又， ∴平面平面，又平面， ∴平面． （2）存在中点，使平面成立． 取中点，连，使，连． 是矩形，是的中点， 又是上靠近点的一个三等分点，且是中点， 是的中点， 中，， 又平面，平面， 平面， 故在上是存在中点，使平面成立． 【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的证明，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理以及面面平行的性质. 19. 如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解； （2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （3）设，其中，根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理 ， 所以， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，则， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得， 所以表示为的函数为. 【小问3详解】 设，其中， 由题意可得， 则， ， 即，解得， 又，所以， 可得 ，其中， 构建 ，其中， 当，即时，取到最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键是设，其中，再结合（2）的结论用的式子表示出，最后再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$