专题11 分式运算问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11分式运算问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的加减混合运算 类型二、已知分式恒等式，确定分子或分母 类型三、分式的乘除混合运算 类型四、分式的加减乘除混合运算 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 类型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式的加减混合运算 方法总结 1.统一分母：先通分，将异分母分式化为同分母分式。 2.分子相加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式或整式。 解题技巧 1.先化简再通分：若有公因式，先约分简化计算。 2.注意符号：减号后分子整体变号，避免符号错误。 例1.(25-26八年级下.全国课后作业)计算： ①，11 +1: a2-a a-1 22.23 x x-x2 x-1' 【变式1-1】(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： m44”4 1 1 ②)x-4x+4X-42x+4 【变式1-2】(25-26八年级上全国课后作业)计算： --x+y x+y (2)x+2-x2-2x x2-4x2-4r+4 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)m-1+ 2m-6,2m+2 m2-9m+3 【变式1-3】(24-25八年级下.全国课后作业)计算： +11 x 2x 4x ②)21 x+51-x x2-y 9-y x-33-x (4Q 1a-1. 类型二、已知分式恒等式，确定分子或分母 方法总结 1.通分对比：将恒等式两边通分，使分母相同，对比分子多项式恒等。 2.对应系数列方程：根据多项式恒等条件，对应项系数相等，列方程组求解未知数。 解题技巧 1.代特殊值：取使分母不为0的简单×值代入，直接求未知数，避免解方程组。 2.先化简再对比：若分式复杂，先因式分解化简，再通分对比。 3x-4A B 例2.(25-26八年级下河南周口月考)若x-1x-2x十x-2,则B= 4x+1=m 【变式21】(25-26七年级下全国周测)已知x-2x-x-5+x-2,则m+m= 【变式2-2】2526八年级上山东泰安期未)者常数“，N清足。+。本则WM2:门 【变式23】(25-26七年级上上海期未)对于代数式m,n,定义运算※”：m※n=m+n-4(m≠0)，若 mn (x-4)※(x+2)=A B 4x+2’ 则2026A-B= 类型三、分式的乘除混合运算 方法总结 1.除法化乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 2.约分计算：将分子、分母分别分解因式，约去公因式后相乘。 解题技巧 1.先分解后约分：将分子分母因式分解，再约分，避免直接乘开导致复杂。 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.注意符号：乘除时注意负号，确定最终结果的符号。 例3.(25-26八年级下，全国课后作业)计算： 【变式3-1】(2025八年级上·湖北武汉专题练习)计算： x+2 ，1x-3 (0x-6x+93-xx+2 【变式3-2】(25-26八年级上山东威海期中)计算： -o0-》 1， a2-1 【变式3-3】(25-26八年级上四川南充周测)计算： (3m'n 04a x-y 62x.5y10 3y26x21x2 x+2 1x-3 ④x-6x+93-xx+2 -jef】 m2-n2 n-m m+n (6 (m-n) mn m 类型四、分式的加减乘除混合运算 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括 号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全 平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可 以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例4.(25-26八年级上云南昆明·月考)计算： (a a @ 【变式4-1】(25-26八年级上全国课后作业)计算下列各式： 6j x+2x-1） .x-4 (2) x2-2xx2-4x+4Fx2· 【变式4-2】(25-26八年级上江苏镇江·月考)计算： (0+2 8x x-2x2-4 2x+1-3） x-2 x-1x2-2x+1 【变式4-3】(2025八年级上江苏泰州专题练习)计算： ( o-8+16 x-1 x+2 x2-6x+9 x2-4 x2-2x+1 2x+2 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计 算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循”先乘方，再乘除，最后算加减”的顺序。有括号的，要先算括 号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值 就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例5.(25-26八年级上陕西安康·月考)先化简，再求值： x-1 其中x=6. x+2 x-1 【变式5-1】(25-26八年级上甘肃金昌期末)先化简，再求值： ）.x-4 x2-2xx2-4x+4 ,其中 【变式5-2】(25-26八年级上浙江台州月考)先化简，再求值： 1-1）2-4x+4 x-1 x2-x 请从1,0，-1中选 取一个合适的数代入求值. 【变式5-3】(25-26八年级上陕西榆林·期末)先化简： x2+1-x-1 +2x+1,再从-1,0,1申选择 x2+x 一个合适的数代入求值， 类型六、分式的混合运算错解复原问题 1.顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或”小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后， 顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2.回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的 错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3.代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确 的最终答案。 例6.(25：26八年级上陕西榆林期末)下面是小明同学计算x÷(x-1)的过程： x-1 解：x÷(x-1 x-1 sr÷1 一i…第一步 =x÷1.第二步 =x..第三步 (1)上面的运算过程从第 步开始错误，错误原因是 (2)请写出正确的运算过程 【变式6-1】(2025九年级上·广东深圳专题练习)小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式= 2a-2)+1- 2(a-2) a-la+01(a-1a+)。-② 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2(a-2) 2(a-2)×(a-10③ (a-1)(a+1)(a-1)(a+1) … ()上述过程中，从第步开始出现错误 (2)请完成正确的完整解题过程，并在“-1,0,1”中选择一个合适的数代入求值. 【变式62】(2526八年级上河南新乡期末)下面是某同学化简分式2，÷+6r+9的部分运算过 x-3 x x2-3x 程： ()下面的解题过程从第步开始出现错误； 解：原式= 21）.(x+3 第一步 x-3xx(x-3) =2-1).xx-3) x-3x(x+3) 第二步 - x(x-3)1x(x-3 第三步 =2x x-3 (x+32(x+3)2 第四步 =2r-x-3 (x+3) 第五步 x-3 (x+32 第六步 (②)写出正确的化简运算过程； (3)从-3,0,3,1中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 【变式6-3】(24-25九年级上·吉林长春·月考)下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应 的问题， m2-4m+4 m-1 (m-2)2 「3 m-1m-m-) .第一步 (m-22「3m-102 m-1m-1m-1 第二步 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =m-22÷-m2+2m+2 第三步 m-1 m-1 =m-2)2 m-1 …第四步 m-1-m2+2m+2 (m-2)2 第五步 -m2+2m+2 问题解答： (1)从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)请写出正确的化简过程. 压轴专练 一、单选题 1.(2526九年级下河南周口开学考试)化简1，日-3的结果是（) a-22-a C.4-a a A.1 B.-1 D. a-2 2-a 2.(25-26八年级上·辽宁大连·期末)下列计算正确的是() A. a2+b2 =a+b B.1+-2 a+b a b ab 14 D.1+1=1+a a+2a-2a2-4 a 3.(25-26八年级上山东德州期末)如果A=- 3a-a+,那么代数式A与B之间的关系是（) 、2一，B=、、1 A.A+B=0 B.A·B=0 C.A=B D.A=2B 4.(25-26八年级下·全国·周测)化简 -4+4*(x+) x2-1 x2-3x+2 x-1 的结果为() A.x-1 B.x-1 C.x+1 D.+1 x-2 x+2 x-2 x+2 25-26八年级上四川凉山期末)对于正数x,规定∫八=：例如：f八3)=中3 +f(四+f(2)+…+f(2024)+f(2025)的值为() 1+ 3 A.2025 B.2024 C.2023.5 D.2024.5 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26八年级下广西南宁开学考试)化简：m-n m-n m-n 7.2026八年级下·全国专题练习)计算： 〔(( x+10 8.(25-26八年级上重庆期未)已知2x-x+3)2x-1x+3,则4+8- 9.(25-26九年级上四川成都期末)已知实数a满足a2-2a-4=0,则a+2-。a-】a-4 a2-2aa2-4a+4a-2 0(25-26八年级上江西南昌期未)已知：x是整数，M=2,W=:,:设 2+N,则所有符合要 求的y的正整数值为 三、解答题 11.(25-26八年级上·全国课后作业)计算下列各式： (①)+2x-2 x-2x+2 (2)ga+6a+13a+1 12.(2026八年级下·全国.专题练习)计算： x (2) --x+y; x+y (3)x+2x2-2x x2-4x2-4x+4 13.(25-26八年级下·重庆·开学考试)化简： (1) a2+a,1 a2-1a2+2a+1a-1 xx2+6x+9 (2) x-3x+2 r-2-5】 x+2 A B 3x+4 14.（25-26八年级下全国课后作业)已知x中1x+2x+x+2,求整数4，B的值. 15.（2425八年级下湖北武汉月考)先化简，再求值：-2xP-2y+少+2+9， x+y 3x+3+2-,其中 8/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=-7,y=6. 16.(25-26八年级下河南周口开学考试)先化简，再求值： /a-1-3）4-4a+4,请在-1,0,2中 a+1 a+1 选择一个合适的数代入求值， 17.(25-26九年级下·河南南阳·开学考试)化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： x2-1 x2+2x+1 之=+x+第一步 x+1x+1(x-1(x+1 =2-2-1(x+12 一第二步 x+1（x-1(x+ =-1.(x+1)2 第三步 x+1(x-1)(x+1 筑步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)任务二：请写出正确的化简过程 18.(25-26八年级上·湖南长沙期末)阅读下列解题过程： 知千行求的值。 已知x1 x4+1 解：由知0，所以1-3，即x3 所以2+=x+ =x+1 -2=32-2=7, 以上解法中，是先将已知等式的两边取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”. 利用上述方法解答下列问题： 0已知行·求r+的， @已知-31，求wt云的值 ”x+yy+z3'z+x 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10/10 专题11 分式运算问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的加减混合运算 类型二、已知分式恒等式，确定分子或分母 类型三、分式的乘除混合运算 类型四、分式的加减乘除混合运算 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 类型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴专练 类型一、分式的加减混合运算 方法总结 1. 统一分母：先通分，将异分母分式化为同分母分式。 2. 分子相加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式或整式。 解题技巧 1. 先化简再通分：若有公因式，先约分简化计算。 2. 注意符号：减号后分子整体变号，避免符号错误。 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型二、已知分式恒等式，确定分子或分母 方法总结 1. 通分对比：将恒等式两边通分，使分母相同，对比分子多项式恒等。 2. 对应系数列方程：根据多项式恒等条件，对应项系数相等，列方程组求解未知数。 解题技巧 1. 代特殊值：取使分母不为0的简单x值代入，直接求未知数，避免解方程组。 2. 先化简再对比：若分式复杂，先因式分解化简，再通分对比。 例2．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·周测）已知，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 类型三、分式的乘除混合运算 方法总结 1. 除法化乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 2. 约分计算：将分子、分母分别分解因式，约去公因式后相乘。 解题技巧 1. 先分解后约分：将分子分母因式分解，再约分，避免直接乘开导致复杂。 2. 注意符号：乘除时注意负号，确定最终结果的符号。 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法计算法则求解即可； （2）先把中括号内的式子变形为，进一步约分和通分得到，把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川南充·周测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 类型四、分式的加减乘除混合运算 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例4．（25-26八年级上·云南昆明·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）利用同分母分式加减法法则，进行计算即可解答； （2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键． （1）先计算括号内的同分母分式加减法，再计算分式的乘法即可； （2）先计算括号内的异分母分式加减法，再计算分式的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先通分，再计算减法； （2）先通分，计算括号里的减法，再将除法转化为乘法计算； （3）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式4-3】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 例5．（25-26八年级上·陕西安康·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式5-1】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算，因式分解，负整数指数幂的计算，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 先对原式中的分母进行因式分解并通分，将除法转化为乘法后约分得到最简形式，再代入计算出最终结果． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江台州·月考）先化简，再求值：，请从1，0，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为，运算结果为 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先进行小括号里的运算，同时将除号后的分式分子、分母分解因式，再将除法转化为乘法，然后化为最简，再根据分式有意义、运算过程有意义，确定未知数的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 要使原来的分式和运算过程有意义， 必须有，且，且， 所以，，， 所以从1，0，中，只能选， 所以， 原式． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简：，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关知识是解题的关键，先计算小括号里面的，通分，将异分母分式相减转化为同分母分式相减，再进行除法运算，将除法变乘法，化简后，选择使原式有意义的值，将代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 时，原分式无意义， ， 代入得，原式． 类型六、分式的混合运算错解复原问题 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 例6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下面是小明同学计算的过程： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面的运算过程从第________步开始错误，错误原因是_____________． (2)请写出正确的运算过程． 【答案】(1)一，运算顺序错误 (2)正确运算过程见详解 【分析】本题考查了分式乘除混合运算的运算顺序． （1）在分式乘除混合运算中，运算顺序是从左到右依次进行，观察小明同学的运算过程发现第一步开始错误，其先计算了后面的乘法，改变了运算顺序，所以从第一步开始错误； （2）先算，再将乘以，根据分式乘法法则即可得出结果． 【详解】（1）解：小明同学在运算的过程中，第一步出现了错误，导致后续步骤出现错误，而错误的原因是运算顺序出现错误，应先计算除法，再计算乘法， 故答案为：一，运算顺序错误． （2）解：． 【变式6-1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习） 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误，错误的原因是除法没有分配律，而题目中却使用了这个； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分化简，再从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ∴选择代入， 当时，原式． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)五 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴当时，． 【变式6-3】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： (1)从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的混合运算：先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； （2）解： ． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 4．（25-26八年级下·全国·周测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）化简：______． 【答案】 【分析】本题为分式化简题，利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知实数a满足，则______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 首先将原表达式中的分式进行因式分解和化简，然后利用已知条件即代入求值． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键． （1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可； （2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可． 【详解】（1） ； （2） 12．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子和分母分解因式，然后把除法变成乘法后进行约分，接着计算分式减法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵分母不能为0， ∴， ∴， ∴只能选， 把代入原式． 17．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：请写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是“－”号，去括号时未变号 (2)见解析 【详解】（1）解：二；括号前是“－”号，去括号时未变号； （2）解：原式＝ · · ． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $