卷9 第三十章 直线与圆的位置关系 基础诊断卷（A卷）上分专题（三） 圆与辅助线（二）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材 河北专用）

该初中数学课件系统梳理圆与辅助线的四种核心类型，包括有切线连圆心与切点得垂直、连半径证垂直得切线等，通过母题提炼方法、子题变式训练，构建“方法-应用”的知识网络，体现辅助线添加的逻辑脉络。 其亮点在于采用“母题学方法-子题练变式”模式，如类型1通过连接OD构造直角三角形，培养几何直观和推理能力，子题结合中考真题变式，分层设计满足不同学生需求。助力学生巩固辅助线添加技巧，教师可精准开展针对性复习教学。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 上分专题（三） 圆与辅助线（二） 重难上分 攻克难点 4 类型1 有切线，连圆心与切点，得垂直 类型2 连半径，证垂直，得切线 类型3 作垂直，证半径，得切线 类型4 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 有切线，连圆心与切点，得垂直 母题学方法 上分攻略 有切线，结合切线的性质，想到连接圆心和切点，得到直角. 1.如图，在中， ，为边上一点，以为直径的半圆与 相切于点.若，，则半圆 的半径长为___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 【解析】连接，如图所示.与半圆相切于点，.设半圆 的半 径长为，则，.在中， ，解得 ， 半圆 的半径长为6. （第1题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 子题练变式 2.[2026河北石家庄月考,中]如图，是的直径，，为 上两 点，平分，交于点,过点作的切线交 的延长线于点 .求证： . （第2题图） 【证明】如图，连接，平分 ， ，. ， ， ， 是的切线，, ， ，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 类型2 连半径，证垂直，得切线 母题学方法 上分攻略 根据切线的判定定理，已知直线与圆的交点，连接圆心与交点得到半径，证明半 径垂直于直线，得证切线. 3.如图，在中，，以为直径的与交于点，过 作 ，交的延长线于，垂足为.求证：是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【证明】连接，如图.，， ， ， . ，为半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 子题练变式 4.[2026河北秦皇岛期末]如图所示，是 的内接三角 形，连接并延长至点，连接， ，求 证：是 的切线. 【证明】连接，如图. ， ， 是等边三角形， .又 ， , .又是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.[2026河北保定月考]如图，四边形内接于 ， ，点在的延长线上，连接， ， .求证：是 的切线. （第5题图） 【证明】连接，如图. ，是 的直径. ， ， , , ， ，即 ，为的直径，是 的 切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 类型3 作垂直，证半径，得切线 母题学方法 上分攻略 根据切线的判定定理，过圆心作直线的垂线与直线交于一点，证明圆心与这一点 的连线与半径相等，得证切线. 6.如图，在中， ，的平分线交于，以 为圆心， 长为半径作，求证：是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【证明】过点作于，如图所示. ， 平分 ，，， 点在上，是 的切线. （第6题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 子题练变式 7.如图，在中， ，，，以点 为圆心，为半径作.求证：是 的切线. 【证明】过点作于点，如图. ， ， ， ， 的半径为，为的半径.又， 是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 类型4 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 母题学方法 上分攻略 根据三角形内心的性质，经常过内心作边的垂线，连接内心与三角形的顶点，构 造直角三角形以及全等的直角三角形. 8.［偏难］如图，点为的内心， ，点， 分别为，上的点，，且，则 的 度数是( ) A A. B. C. D.无法判断 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【解析】连接，过点作于，于 ，如图. 点为的内心，是的平分线.又 ， ，.在和中， ，.在四边形 中， ， .又 ， ，即 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 子题练变式 9.［难］如图，在中， ，，，点， 分别是 的内心和外心，则 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】连接，，，过点作于点 ，作 于点，作于点，如图. ， ，，为 的外 心，为 的内心， ， ， ，， 四边形 为正方形，，， ， ，， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 $