精品解析：湖北咸宁市崇阳县第二高级中学等校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】由于集合， 所以的子集个数为． 2. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解. 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 3. 设，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式化为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为9. 故选：B 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增. 【详解】当时，，显然为增函数， 当时，，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴， 即即可， 当时，， 故的取值范围是， 故选：B. 5. 在的展开式中，的系数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项的展开式的通项为，进而可求得展开式的的系数，得到答案. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 所以的展开式中，的系数为：,故选B. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知条件，结合椭圆的定义得， 然后在中，利用余弦定理构造齐次式，从而得到. 【详解】，，， 设，则，， ，，，，，， ，， ，，， 在中，，，， ， ，，， 的离心率为. 故选：D. 7. 若函数，则的零点个数为（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数. 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 8. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ） A. 25 B. 24 C. 27 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求得，进而求得及，最后对分奇偶数分类求和即可. 【详解】设的公比为，由， 得， 则，令，因此， 记， 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，因此的最小值为27. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小值为，且过点，其部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数的解析式，再根据函数的最值求参数，再根据函数图象，代入点求，判断AB选项，根据平移规律求函数的解析式，判断CD选项. 【详解】． 又最小值为，则，故， 即，解得或，由图知， 故，故． 所以， 又，则，且点在递减区间内， 所以，解得，又，则，且，故． 所以，则．故A错误，B正确； 为奇函数． 又． 所以为偶函数，故CD正确． 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的周长是10 B. 若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C. 若，则点的轨迹方程是 D. 若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据条件，分别求得A、、坐标，根据两点间距离公式，可求得的周长，即可判断A的正误；先求得双曲线C的渐近线方程，进而可设出双曲线E的方程，根据条件，求得c值，可求得双曲线E的方程，即可判断B的正误；根据椭圆的定义，计算求解，可判断C的正误；根据三点共线时，距离最短，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意圆心，，则， 所以，， 所以三角形的周长等于，故A错误； 选项B：双曲线C的渐近线方程为， 所以设双曲线E的方程为， 因为双曲线的焦距为4，即，解得， 所以，解得， 所以双曲线E的方程为，即，故B错误； 选项C：因为， 所以Q的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以长轴，即，焦距，即， 又， 所以的轨迹方程是，故C正确； 选项D：因为是双曲线右支上一动点， 所以，故D正确. 故选：CD 11. 如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若平面为直角三角形，且，则为常数 D. 若，则球面的体积V满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等边的面积，得到，结合，求得，可得判定A错误；由，求得，可判定B正确；由余弦定理，列出方程组，结合，化简得到，可判定C正确；由，得到，结合正弦定理，求得的外接圆半径，以及点O到平面的距离，得到三棱锥的体积，结合球面的体积，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为等边的面积为，可得， 又因为，故，则，所以A错误； 对于B中，由，可得，可得，所以B正确； 对于C中，由余弦定理可得， 因为，可得，即，化简得，所以C正确； 对于D中，由，可得，故， 由正弦定理，可得的外接圆半径为， 点O到平面的距离， 则三棱锥的体积， 又由球面的体积， 所以球面的体积应小于以R为高的正四面体体积，所以故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的虚部是______． 【答案】4 【解析】 【详解】依题意，故，故的虚部是4． 13. 若函数是奇函数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解. 【详解】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 14. 在中，的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合基本不等式计算结合换元法计算得出最小值. 【详解】由余弦定理及均值不等式，，所以. 于是由正弦定理，原式. 令，则. 当且仅当，即时等号成立， 故原式的最小值为. 故答案为：3. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； 【小问2详解】 由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，已知抛物线C：（p＞0）过点，直线l经过抛物线C的焦点F，且l与C在第一象限的交点为A．以F为圆心，为半径的圆与y轴负半轴交于点B． （1）求C的方程； （2）若坐标原点O到直线l的距离为，求直线l的方程； （3）试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明． 【答案】（1） （2） （3）直线AB与抛物线C相切，证明：直线AB与抛物线C相切．证明如下：设， ， 则．由，得，解得， 即，所以直线AB的方程为． 由消去y得， 所以． 因为，所以， 所以直线AB与抛物线C相切． 【解析】 【分析】（1）点代入抛物线C，求出，从而可得C的方程； （2）设出直线l的方程，利用点到直线l的距离公式即可求解； （3）设， ，则．由，得，可得直线AB的方程为，再与抛物线联立方程组，消元后解得即可证明． 【小问1详解】 因为点 在抛物线C：（p＞0）上， 所以，解得，所以C的方程为． 【小问2详解】 易知，设直线l的方程为 ，即 ， 因为坐标原点O到直线l的距离为，所以， 解得 ，所以直线l的方程为． 【小问3详解】 略 18. 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 （1）根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． （2）据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1）① 理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好． 令，则，， 所以， 因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为． （2）①；②，． 【解析】 【分析】（1）根据残差可选模型①，再根据题设中的数据和公式可求回归方程； （2）①根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；②利用二项分布可求期望和方差. 【小问1详解】 ①理由略；； 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 令，得， 故当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以取得最大值时对应的概率． ②由①知，当时，，即每年需要人工防治的概率为， 且服从二项分布．所以， ． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，定义数列满足：， （i）证明：； （ii）结合（i）的结论，证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3）（i）当时，， 由（1）知在上单调递增，且， 因为，所以，所以. 于是. 设，则，要证：， 只需证：， 即证：，两边乘以， 整理为， 令，容易验证， ， 令， 所以在上单调递增， 又，故， 所以在上单调递增， 所以，得证. （ii）当时，满足， 当时， 由（i）得， 所以， 所以，因此， 又由， 于是， 所以当时，， 综上：. 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）若，不成立，因此，由（1）知，，令，则，只需，由导数求出进行求解； （3）（i）当时，，由（1）知.设，则，要证：,只需证：，令，利用导数求解； （ii）由（i）得，所以，又由，于是，即可证明． 【小问1详解】 ， ①当在上单调递增； ②当，令，解得 当在上单调递增； 当在上单调递减． 综上知： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 若，当时，，显然不满足恒小于等于0， 因此，由（1）知，， 令，则，只需， 令，则， 由，得，由，得， 得函数在上单调递减，在上单调递增， 可知在处取到最小值0，于是，故， 所以，实数的取值范围为． 【小问3详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数是 A. B. C. D. 6. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，则的零点个数为（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ） A. 25 B. 24 C. 27 D. 26 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小值为，且过点，其部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的周长是10 B. 若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C. 若，则点的轨迹方程是 D. 若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 11. 如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若平面为直角三角形，且，则为常数 D. 若，则球面的体积V满足 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的虚部是______． 13. 若函数是奇函数，则实数__________. 14. 在中，的最小值为_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 16. 如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. （1）证明：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，已知抛物线C：（p＞0）过点，直线l经过抛物线C的焦点F，且l与C在第一象限的交点为A．以F为圆心，为半径的圆与y轴负半轴交于点B． （1）求C的方程； （2）若坐标原点O到直线l的距离为，求直线l的方程； （3）试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明． 18. 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 （1）根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． （2）据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，定义数列满足：， （i）证明：； （ii）结合（i）的结论，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $