精品解析：陕西商洛市山阳县2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试题

2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 (时间： 120分钟满分： 150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）, ∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 2. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 组合体 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥， 剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面数量积中向量垂直的坐标表示，列出等式计算即可. 【详解】由得， 即，解得. 故选：A 4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】， 故向量在向量方向上的投影向量为. 5. 若向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示和数量积的运算律列式求解. 【详解】由，得， 因此，所以. 故选：B 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得. 【详解】由正弦定理得，得． 故选：A. 7. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 8. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由 ，所以A不正确； 对于B中，由，，所以B正确； 对于C中，由，，可得，所以C不正确； 对于D中，由向量的夹角公式，可得，所以D正确． 故选：BD． 10. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助共轭复数与模长定义计算即可得A；虚数不能比较大小可得B；借助共轭复数定义计算可得C；借助共轭复数定义及复数乘法运算法则计算可得D. 【详解】对A：，则，故A正确； 对B：虚数不能比较大小，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，则，故D正确. 11. 在中，内角的对边分别为，下面判断正确的是（ ） A. 若，则中最大的角为 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则的外接圆面积为 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A，由锐角三角形可得，再由正弦函数的性质判断B，由正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断即可. 【详解】解：对于A：由余弦定理， 因为，所以，故A正确； 对于B：因为为锐角三角形，所以，即， 又在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：设的外接圆的半径为，则，所以， 所以的外接圆的面积为，故C正确； 对于D：由，所以，即， 所以，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确. 故选：ACD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12. 复数的虚部为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】因为复数， 所以该复数的虚部为5． 故答案为：5. 13. 已知在中，，，，是的平分线，则=_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 因为平分，所以， 设，则，， 因为，所以，解得，即. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可. 【详解】由题可得，， ， 所以 ， ， ， 所以， 故答案为: . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值； （2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可． 【小问1详解】 由复数为纯虚数，得，解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得， 即的取值范围为． 16. 已知向量与，，． （1）设与的夹角为，求的值； （2）若向量与互相平行，求的值． （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，，所以， . 【小问2详解】 ，， 因为向量与互相平行，所以， 化简可得，解得. 【小问3详解】 ， 因此. 17. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）20. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 18. 已知，， ． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积． 【答案】（1）；． （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 因此最小正周期， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 ，即， 因为，所以， 因此，即， 因为，两边平方可得， 即， 由余弦定理可得， 联立可得，解得， 所以. 19. 如图，在菱形中，． （1）用表示； （2）求； （3）若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）结合（1）中所得，利用转化法计算即可得解； （3）借助转化法可得，从而只需计算范围即可得解，由图可得与重合时，最小，此时，与重合时，最大，此时可借助余弦定理求出最大值，即可得解. 【小问1详解】 由， 则，； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 ， 因为，，则， 则， 故； 【小问3详解】 由题可知， 则． 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为， 当与重合时，最大，取得最大值． 如图连接，在中，由余弦定理， 得， 所以的最大值为， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 (时间： 120分钟满分： 150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 组合体 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 10. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角的对边分别为，下面判断正确的是（ ） A. 若，则中最大的角为 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则的外接圆面积为 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12. 复数的虚部为______． 13. 已知在中，，，，是的平分线，则=_____． 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 16. 已知向量与，，． （1）设与的夹角为，求的值； （2）若向量与互相平行，求的值． （3）若，求的最小值． 17. 设锐角的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若边，面积为，求的周长． 18. 已知，， ． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积． 19. 如图，在菱形中，． （1）用表示； （2）求； （3）若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $