精品解析：陕西省商洛市山阳中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

陕西省山阳中学2024－2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题：张涛 校对：朱进华 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示直接得解. 【详解】由已知，， 则， 故选：C. 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为 A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为选C 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】向量，则， 由，得，解得， 所以实数的值为1. 故选：A 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式化简可得解. 【详解】， 故选：D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式及诱导公式可得解. 【详解】由已知， 则， 故选：B. 6. 若已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和的正切公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 又因，则，则. 故选：A. 7. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出即可得答案. 【详解】令，因为， 所以， 得， 所以与的夹角为. 故选：B. 8. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 非等边等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解. 【详解】由已知在中，， 则， 又在中，， 则， 所以，即， 又， 所以， 由中，， 即， 所以， 由， 所以，即， 所以，即为等边三角形， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确； 对于B：当时，为最小值， 故图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数： 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等实数根时， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD 11. 已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若为线段的中点，则 C. D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用转化法表示向量数量积，即可得，进而可得，再利用转化法表示各向量数量积，即可判断各选项. 【详解】由，则， 即，所以， 又，所以，且，即，A选项正确； 若为中点，则，， 则，B选项错误； ，C选项正确； 设，，则， 所以， 所以，D选项错误； 故选：AC. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算直接得解. 【详解】由， 得， 故答案为：. 13. 设，若函数的最小正周期为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简，再结合三角函数性质可得解. 【详解】由， 则函数的最小正周期，即， 又，所以， 故答案为：. 14. 已知海岛在海岛北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 【答案】 【解析】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可表示，即可得； （2）利用坐标法表示，再根据向量垂直的坐标表示可得解. 【小问1详解】 由已知向量，，且与垂直， 则，即， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 解得. 16. 如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． （1）请用和表示； （2）求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算分别得解. 【小问1详解】 由已知， 即， 所以； 【小问2详解】 为线段的中点， ， 又，, , 又， 所以， 即. 17. 设，图象一条对称轴是直线 （1）求，并求函数的对称中心； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的对称轴可得，进而可得对称中心； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间； （3）利用整体法判断函数值域/ 【小问1详解】 由函数，图象的一条对称轴是直线， 则，， 所以，， 又， 则， 所以， 令，，解得，， 即函数的对称中心为； 【小问2详解】 令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由，则， 则， 即函数在上的值域为. 18. 在中，角，，的对应边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解； （2）根据余弦定理可得，进而可得面积. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，， 所以，即， 又，则； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可知， 即，化简可得， 解得或（舍）， 则的面积. 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简即可； （2）结合同角三角函数关系式及两角差的正弦公式化简可得解； （3）根据函数解析式可得，再由正弦定理及三角函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 由，， 则函数； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 即， 又，所以， 所以， 则； 【小问3详解】 由（1），即， 又，， 所以，即， 又在中，由正弦定理可知， 即，， 则三角形的周长为， 又，即， 所以， 则， 即， 即周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $