期中学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册单元测试卷

数学 期中学习检测 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知集合A={2,4,6,8,10},B={4,8},则CAB等于 A.{4,8} B.{2,6) C.{2,6,10》 D.{2,4,6,10》 2.已知集合P={-1,2a十1，a2-1},若0∈P,则实数a的取值集合为 A{--1 B.{-1,1} D 2-1,1 3.已知a∈R,则“a>1”是“1<1"的 a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 故 4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A.y=x+1 B.y=-x2 C.y- D.y=x3 5.若x1,x2是一元二次方程2x2一6x十3=0的两个根，则x1一x2的值为 部 都 A号 B.3 C.3 D.√15 ▣ 6.已知一1和2是函数y=x2十bx十c的两个零点，则不等式x2十bx十c<0的解集为 A.(-1,2) B.(-2,1) 长 C.(-∞，-1) D.(2,+∞) 7.已知实数x,y满足1≤x一y≤2,2≤x十y≤4，则4x一2y的取值范围是 A.[3,12] B.[5,10 C.[6,12] D.[3,10] 8.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿 M A一B一C一M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y= f(x)的图象的形状大致是 ( 第8题 22.5 2.5 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.给出下列四个条件：①z>r,②x>:③.x2>y;④0<<.其中能成为x>y的充分条件 x y 的是 () A.① B.② C.③ D.④ 10.下列说法正确的是 () A若偶函数fx)的定义域为[2a-1,a],则a=号 B.一次函数f(x)满足f(f(x))=4x十3，则函数f(x)的解析式为f(x)=x十1 C.奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为-1，则2f(一4)+f(一2)=一15 D.若集合A={x|一ax2十4x十2=0}中至多有一个元素，则a≤一2 11.已知a,b∈R且a十b=1,那么下列不等式中恒成立的有 A.ab≤ &a6+品 C.√a+√b≤√2 D+元≥2 12.已知函数f(x)=x2十2x一a(a∈R),下列说法正确的是 A.当a=0时，f(x)为偶函数 B.存在实数a,使得f(x)为奇函数 C.当-1<a<1时，f(x)取得最小值a D.方程f(x)一m=0可能有三个实数根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知a<0,一1<b<0,那么a,ab,ab2的大小关系为 14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),满足f(2021)=2021,f(2022)=2022, f(2023)=2023,则f(2024)= 15.已知集合P={x|x2-2x一8>0}，Q={xx≥a},若PUQ=R,则实数a的取值范围是 ,若P∩Q=Q,则实数a的取值范围是 ·(本题第一空2分，第二空3分) 16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果 的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款 的80%. (1)当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大 值为 .[本题第(1)小题2分，第(2)小题3分)] 13 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知集合A={x2≤x≤8}，B={x|1<x<7},C={xx>a},U=R. (1)求(CuA)∩B: (2)若A∩C≠⑦，求实数a的取值范围. 18.(12分)(1)已知x>2,求x+2的最小值； (2)已知x>0,y>0,且1+9=1，求x十y的最小值. x y 19.(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)在区间[2a,a十1]上不单调，求实数a的取值范围； (3)在区间[一1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x十2m十1的图象上方，试确定实数m的取值 范围. 14无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 20.(12分)已知函数f(x)=x2-2(a-1)x十4. (1)若f(x)为偶函数，求f(x)在[一1,2]上的值域； (2)若f(x)在区间（一∞，2]上是减函数，求f(x)在[1，a]上的最大值. 21.(12分)某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长AM= 300米，宽AN=200米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生活 动中心，要求顶点C在地块的对角线MN上，B,D分别在边AM,AN上，假设AB长度为 x米. (1)要使矩形活动区域ABCD的面积不小于14400平方米，AB的长度 应在什么范围？ (2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形活动区域ABCD的面积 的 最大？最大值是多少平方米？ B 第21题 好 22.(12分)设二次函数f(x)=ax2十bx十c(a≠0)在区间[-一2,2]上的最大值、最小值分别是M,m, 集合A={x∈Rf(x)=x}. (1)若A={1,2}且f(0)=2,求M和m的值； (2)若A={1},且a∈[1，+∞)，记g(a)=M+m,求g(a)的表达式并求g(a)的最小值当m=2,即2m一1=m十1，B=⑦，满足题意.当m>2,即2m 1>m+1,B={xlm+1<x<2m-1},由(1)知A={x|1<x<4}, {2m-1≤4， 所以〈 则0≤m≤号，所以2<m≤号，当m<2,即 m+1>1, 2m-1<m+1,B={x|2m-1<x<m+1),所以 m+1≤4， 则1≤m≤3，所以1≤m<2.综上所述，实数m的 2m-1≥1， 取值范围是{ml1<m<号}， 22.解：(1)因为a=2,所以y=2f(x)= 32-2,(0<≤4) 8-x 0当0<≤4时，由g2一26，解得之 10-x,(4<x≤10). 4,所以此时x=4:②当4<x≤10时，由10一x>6,解得x≤4，所以 此时为空集.综上可得，一次投放2个单位的药剂，则有效治污时 间为1天 (2)当6<<10时，可得y=20-2x+a[8-90-1] 20-2x十0-a=214-)十-a-8,根据题意。 可得y≥6对于x∈[6,10]恒成立.因为14一x∈[4,8]，而 2a≤6，所以2va∈[4,4w5]由214-x)+0-a 822√214-)·4产-a-8=8V质-a-8,当且仅当 14-x=2/2a时，y有最小值为8√2a一a-8,令8√2a-a一 8≥6，解得2≤a≤6，所以实数a的最小值为2. 期中学习检测 -、1.C 2.C【解析：当2a+1=0时，a=-之，此时a2-1=-子，满 足题意；当a2-1=0时，a=1或a=一1；若a=1,则2a十1= 3,满足题意；若a=一1，则2a十1=一1，不满足集合中的元素 互异性，不合题意.∴实数a的取值集合为{-合1.故 选C.】 3.A【解折：a∈R,则a>1日<1，日<1a>1或 a 26 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 a<0”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件.故选A1 4.D【解析：A中函数不是奇函数；B中函数不是奇函数；C 中函数是奇函数，在定义域上不具有单调性；D中函数是奇函 数，并且在定义域上是增函数.故选D.] 5.B[解析：△=36一24=12>0，故方程必有两根，又根据一 3 元二次方程根与系数的关系，可得工十x=3,工1x=2,所 以|x1一x2|=√（十x2)2-4五=√9-6=√3.故选B.】 6.A【解析：b=-(-1+2)=-1,c=(-1)×2=一2，所以 x2一x-2<0,x∈(-1,2).故选A.】 7.B[解析：设4x-2y=入(x-y)+4(x+y)=(入+u)x+ 入十u=4, λ=3， (一λ十)y,则 解得因为1≤x-y≤2， 一λ十=一2， =1. 2≤x+y≤4，所以3≤3(x-y)≤6，所以5≤3(x-y)+ (x十y)≤10，即5≤4x-2y≤10.故选B.】 8A【解析：当点P在AB上时：=XxX1=,0<x<1: 当点P在BC上时：y=SE方形ABCD一S△ADM一S△ABP一S△PCM= AB-7AD·DM-AB·BD-2CP·CM=I-号X 1x3-3×1x(x-1)-3×(2-x)×3=-十x+, 1<x<2:当点P在AB上时：y=号×（号-x)X1=-号x十 号，2<<号，由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时 是减函数.故选A.】 二、9.AD【解析：①由xt>y可知>0，所以x>y,故 xt>yt→x>y;②当t>0时，x>y;当t<0时，x<y,故xt> yt,不能推出x>y;③由x2>y2,得|x|>|y|,但不能推出 x>y,故r>yY不能推出>y:④0<<→x>y.故 x y 选AD.] 10.AC[解析：A中，因为偶函数f(x)的定义域为[2a一1，a], 所以2a-1=-a,解得a=子，故A正确：B中，设一次函数 f(x)=kx十b(k≠0)，则f(f(x)=f(kx十b)=k(kx十b)+b= k2=4, 2x+b+b,因为f(f(x)=4x十3，所以 解得 k6+6=3; k=2,k=一2， (一1，十∞)上单调递增，方程f(x)一m=0最多有两个根，若 或 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2x十1 b=1,b=-3, a≥1时，函数在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递 或f(x)=一2x一3，故B不正确；C中，因为奇函数f(x)在 增，方程f(x)一m=0最多有两个根，所以方程f(x)一m=0 [2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为一1，所以f(2)= 不可能有三个实数根，D错误.故选AC.] -1,f(4)=8,所以f(-2)=-f(2)=1,f(-4)=-f(4)= 三、l3.a<ab<ab[解析：由a<0,-1<b<0,则ab>0, -8,所以2f(-4)+f(-2)=2×(-8)十1=-15，故C正 ab2<0,0<b<1,又ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab>a,所 确；D中，因为集合A={x-ax2+4x十2=0)中至多有一个 以a<ab<ab.] 元素，所以方程一ax2十4x十2=0至多有一个解，当a=0时， 14.2030 [解析：构造函数g(x)=f(x)一x,依题意 方程4x十2=0只有一个解-之，符合题意，当a≠0时，由方 8(2021)=g(2022)=g(2023)=0,所以g(x)= (x-2021)(x-2022)(x-2023),所以g(2024)=f(2024) 程-ax2+4x十2=0至多有一个解，可得△=16+8a≤0，解得 -2024=3×2×1=6,所以f(2024)=2030.】 a≤-2，所以a=0或a≤-2，故D不正确.故选AC.】 15.(-∞，-2](4，十∞)【解析：P={x2-2x-8>0}= 1ABc【解析：a,b∈R*,a十6=1，ab≤(e生) {xx>4或x<-2},Q={x|x>≥a},若PUQ=R,则a≤ 十（当且仅当a=b=之时取得等号），“选项A正确；由选项 -2,若P∩Q=Q,则P2Q,所以a>4.】 16.(1)130[解析：x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒， A有长子，设y=十上，则y=x十子在(0，]上单润递 需要支付(60十80)-10=130（元）.】 孩ab+品≥号+4=是选项B正确：6w6+6- (2)15[解析：设顾客一次购买水果的促销前总价为y元， y<120元时，李明得到的金额为y×80%,符合要求.y≥120 a+6什2v瓜<a十b十a十6=2（当且仅当a=6=合时取得等 元时，有(y一x)×80%≥y×70%恒成立，即8(y-x)≥7y, 号)后+6<巨选顶C正确：日十六-店+宏 x≤含，即x≤（告）=15.所以x的最大值为15.】 26 四、17.解：(1)：全集U=R,集合A={x|2≤x≤8}，B= 是+名+元>号+2√会·易=号+E(当且仅当=2弥 {x1<x<7},.CuA={xx<2或x>8},.(CuA)∩ 时等号成立)，∴选项D不正确.故选ABC.】 B={x1<x<2}. 12.AC【解析：函数f(x)=x2+2|x-a(a∈R),当a=0时， (2):A∩C≠财，C={x|x>a},.a在小于等于8的范围 f(x)=x2+2|x|,f(-x)=(-x)2+2|-x|=x2+2|x|= 内，即a≤8，当a=8时可得C={x|x>8},此时不满足题意， f(x),故f(x)为偶函数，故A正确；当a≠0时，由f(a)=a, ∴.a<8.故实数a的取值范围是{a|a<8}. f(-a)=a2+4|al,则f(a)+f(-a)=2a2+4|a|≠0，函数 18.解：>2x-2>0,x+2=(x-2)十2 4 不可能为奇函数，故B错误；f(x)=x2十2|x一a| x2+2x-2a,x≥a,(x+1)2-1-2a,x≥a, 2≥2√x-2)·马气+2=6，当且仅当x-2=42时取等 当-1<a<1 x2-2x+2a,x<a(x-1)2-1+2a,x<a, 号，即x=4时，x十2的最小值为6， 时，x≥a时，函数单调递增，所以最小值为f(a)=a2,x<a时， 函数单调递减，所以f(x)>f(a)=a2,所以函数的最小值为 (2x>0>0,+号=1…x+y=x+0(+号） x y f(a)=a2,故C正确；若一1<a<1时，函数在（一∞，a)上单调 之+号+10≥2V2·竖+10=16.当且仅当之-号时，等 递减，在(a,十o∞)上单调递增，方程f(x)一m=0最多有两个 根，若a≤一1时，函数在（一∞，一1）上单调递减，在 号成立又+号 9=1,x=4,y=12时，(x+y)m=16, 19.解：(1)由题意，函数f(x)是二次函数，且f(0)=f(2), 可得函数f(x)的对称轴为x=1,又由最小值为1，可设 f(x)=a(x-1)2+1,又f(0)=3,即a×(0-1)2+1=3,解 得a=2,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2十1= 2x2-4x+3. (2)由(1)可得函数f(x)=2x2一4x+3的对称轴为x=1,要使 f(x)在区间[2a,a十1]上不单调，则满足2a<1<a十1，解得 0<a<分，即实数a的取值范围是(0，)， (3)由在区间[-1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1 的图象上方，可得2x2一4x+3>2x+2m+1在区间[一1,1]上 恒成立，化简得m<x2-3x十1在区间[一1,1]上恒成立，设函 数g(x)=x2一3x十1，则g(x)在区间[一1,1]上单调递减， 所以g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,所以 m<-1. 20.解：(1)根据题意，函数f(x)=x2一2(a一1)x+4为二次函 数，其对称轴为x=a-1,若f(x)为偶函数，则a-1=0,解得 a=1,则f(x)=x2+4,又由-1≤x≤2，则有4≤f(x)≤8，即 函数f(x)在[一1,2]上的值域为[4,8] (2)根据题意，函数f(x)=x2一2(a一1)x十4为二次函数，其 对称轴为x=a一1，若f(x)在区间（一∞，2]上是减函数，则 a-1≥2，则a≥3；又由1<a-1<a,则f(x)在区间[1，a-1] 上单调递减，在[a-1,a]上单调递增，且f(1)=7一2a,f(a) -a2+2a+4,f(1)-f(a)=(7-2a)-(-a2+2a+4)=a2 4a十3=(a一2)2一1，又由a≥3，则f(1)≥f(a),则f(x)在 [1,a]上的最大值为f(1)=7-2a 21.解：(1)因为CD//AB,由图可知，△NDC∽△NAM,即 品-没即品-品所以，ND=号，所以AD=AN ND=20-号，其中0<x<30,矩形ABCD的面积为 f(x)=AB·AD=r·(200-号)=-号+20，其中 0<x<300,由f(x)= 号r+200≥1400，整理可得- 300x+21600≤0，解得120≤x≤180，因此，当120≤x≤180 时，矩形活动区域ABCD的面积不小于14400平方米. (2)由1)知，f()=-号r+200x=-号(x-150)+ 15000,其中0<x<300,故当x=150时，函数f(x)取最大 值，即f(x)max=f(150)=15000,因此，当AB=150米， AD=100米时，矩形活动区域ABCD的面积最大，且最大值 为15000平方米。 22.解：(1)f(0)=2,.c=2,又，A={1,2},∴.1,2为ax2+ 1+2=1-6 a (b-1)x十c=0的两个根， 解得a=1,b= 1×2=c a, -2,∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2]，当x=1 时，f(x)m=f(1)=1,即m=1,当x=-2时，f(x)mx= f(-2)=10,即M=10. (2)由题意可知，方程ax2十(b一1)x十c=0有两个相等实数根x=1, 1+1=-6- a’fb=1-2a, 即 ∴.f(x)=ax2+(1-2a)x+ 1X1=c」 (c=a, a,x[-2,2],其对称轴为x-20=1-六又：a≥1， 2a 1-a∈[合1)M=-2)=9a-2m=1(2a)- 1-右，g(a)=M+m=9a一a-1,又“g@)在区间[1，+o） 上单调递增，a=1时，ga)m=头 第二次月考检测 -、1.A[解析：M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2一 2a十3=(a-1)2+2>0,所以M>N.故选A.】 2.B【解析：当|a|=|bl时，a=b或a=-b,当a2+b=2ab 时，a2+b-2ab=0,得(a-b)2=0,所以a=b,所以a|= |b|时，a2+b=2ab不一定成立，而a2+=2ab时，|a|= |b|一定成立，所以“|a|=|b|”是“a2+=2ab”的必要不充 分条件.故选B.】 3.A【解析：因为函数y=2,y=-二在(0，十0)上单调递 增，所以函数f(x)=2一2一a在(0，十0)上单调递增.由函 x 数f)=”-是-a的一个零点在区间1,2)内得ff2) 2a= -x+a,<1与lnx+1=-x+a,>1各有-个 1 (2-2-a)(4-1-a)=(-a)×(3-a)=a(a-3)<0,解得 实根，或t-2ar+2a=-}x+a,x≤1无实根且nr十1 0<a<3.故选A.] 4.D[解析：因为a为第二象限角，则2n·180°十90°<a< 4x+a,x>1有两个不同的实根.当x>1时，lnx十1= 2n·180°+180°，n∈Z,因此(2n十k)·180°十90°<k·180°+ -a+子x+1-a=0,函数g)=lhx+子x+ a<(2n十k)·180°+180°，n,k∈Z,而2m为偶数，当k为奇数 1一a,x>1为增函数，则函数g(x)在(1，十o)上最多有一个零 时，2n十k为奇数，则k·180°十a(k∈Z)为第四象限角.当k为 偶数时，2n十k为偶数，则k·180°十a(k∈Z)为第二象限角，所 点，nx十子x+1一a=0,>1有两个不同的实根不成立，当 以k·180°十α(k∈Z)的终边所在的象限是第二、四象限.故 函数g)在1，十四)上有一个零点时，必有8D=号-a< 选D.] 5.C[解析：令t=3x2-2x-1,由t=3x2-2x-1>0,可得 0,即a>号，此时，g(4a)=lh4a+1>ln5+1>0,因此，当a> x<-号或x>1,所以1=3r2-2x-1=3(x-号)）-专在 号时，函数g()在1，十w)上确有一个零点，方程1nx+1= (一0，一3)上单调递减，在(1，十o)上单调递增.又y=1ogt .1 z十a,>1必有-个实根.当a>号，x<1时，2-2ax+ 单调递增，由复合函数“同增异减”可得f(x)= 2a=-子x+a台x2-(2a-子）x+a=0,函数h(x)=x2- 1og(3r2-2x-1)在(-，-子）上单调递减.故选C.】 (2a-士)x十a,<1,面函数()对称轴x=a-日>1，即 6.A【解析：0=log1<1og2=1og<1og5=号，由于 A()在（一，1上单调递减：又h1)=号-a<0,即A()在 g子=-g4=g4,g4=gV6>gV而=合 (一0,1门上必有-个零点，因此，方程2-2ax十2a=-子计 g4=lg6<g0=子，所以号<g4<号，ogs10 a,<1必有一个实根，于是得当a>号时，2-2ax+2a= 1oge10o0>logn625=号，所以0<lbg,2<lg4 <logs10. 子x十a,≤1与nx+1=-寻x十a,>1各有一个实根. 因为函数f(x)=31x|在(0，十0)上为增函数，则f(1og2)< f1g4)<1ogs10,所以f(1og2)<f(1g）<1ogs10.故 若方程1hx十1=-子x十a,>1无实根.必有a<号，此时方 选A.】 程x2-2ax十2a=- 子x十a,r<1有两个不同的实根，函数 0 7.A [解析：因为 a 即 2a2-1×3<1×a h(x)在（一o,1]上有两个零点，当且仅当 fa-g<1, 4×0,即2a2-a一3<0，即(2a-3)(a+1)<0,解得-1< a<名，所以实数a的取值范围为(-1，名)故选A】 4-(2a-)广-4a>0,解得a<5-5,于是得当a< 8.D[解析：因为关于x的方程f(x)= 1 年x十a恰有两个 A1)=-a≥0， 互异的实数解，则有2-2ax+2a=-十x十a,x<1有两个 5-5时，r-2ax+2a=-子x十a,x<1有两个不同的实 8 不同的实根且hx十1=一子x十a,>1无实根，或2一2ax十 根且mx+1=一子x十a,x>1无实根，综上得当a<5=26 27