期末学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册单元测试卷

数学 期末学习检测 (满分150分，时间120分钟) 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有1个元素，则实数k的值是 A.±2或-1 B.-2或-1 C.2或-1 D.-2 2.半径为1cm,圆心角为120°的扇形的弧长为 1 A.cm B号em c.ξcm 3.已知角a的终边经过点P(3a一6，a十1)，且sina>0,cosa≤0，则实数a的取值范围是 A.[-1,2] B.[1,2] C.(-1,2] D.(1,2) 製 4.已知tan0=2,则sin0+sin0cos0-2cos20等于 A-首 B号 c.- D 5.已知三个函数f(x)=2x十x,g(x)=x-1,h(x)=log2x十x的零点依次为a,b,c,则 ( h 剂 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 城 6.设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)=f(b)一f(b一1)的取值 ▣ 范围为 盟 长 Ao,号 D.(o) 7.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓 清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入 太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB) 与声强x(单位：W/m)满足关系式：d(x)=10lg10.若某人交谈时的声强级约为60dB,且火 箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为10？8，则火箭发射时的声强级约为 A.125 dB B.132 dB C.138 dB D.156 dB -x2+4x-3,x≤2， 8.已知函数f(x)= 则不等式f(2x一1)<2的解集是 1og2x,x>2, A(, B[2,2) c(2 D.(-, 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=Asin(wx十p)(其中A>0,w>0,p<π)的部分图象如图所示，则下列结论正 确的是 A.函数f(x)的图象关于直线x=对称 B.函数f(x)的图象关于点（一0）对称 C函数f(x)在区间[-子，晋]上单调递蜡 D.直线y=1与图象y=f()(一≤<)的所有交点的横坐标之 -2 和为晋 第9题 10.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十1)=f(1一x),f(x)十f(4-x)=0,f(2023)= -2023,则 () A.f(0)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的一个周期T=4 D.骂f)=-2023 11.关于函数f(x)=2sin(wx+p)(w>0,0<<x),f(）-2,f()=0,且f(x)在(0，x)上单 调，有下列命题：(1)y=f(x)的图象向右平移π个单位长度后关于y轴对称；(2)f(0)=√3； (3)y=f(x)的图象关于点(，0)对称：(4)y=f(x)在[一元，一]上单调递增.其中正确的命 题有 () A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 12.设函数y=f(x)和y=f(一x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相同，则把区间[m,n]叫做 y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1,2020]为函数y= (侵)厂+a的“稳定区间”，则实数a的 可能取值是 () A-号 R号 C.0 D.32 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若“x>a”是“x≥3”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 14.1988年3月14日，Larry Shaw在I旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以π为主题的活 动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成了国际圆周率日（π日）.历史上，求圆周率π 的方法有多种，其中的一种方法：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正10边形的周长 和外切正10n边形的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照这种方法，π的近似值 的表达式是 15若coo+sna2号则cos后-2a-— 16.已知函数f2)=16g(十证+2x)十，若fx在区间[-4]>0)上的最大值和最小值 分别为M,N,则函数g(x)=(M+N)x+[(M+N)x一1]-3的图象的对称中心为 17 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知a是三角形的一个内角，sina十cosa= 51 (1)求sina-cosa的值； sin(x-a)+2sin(2- (2)求 sina+cos(2π-a) 一的值 18.12分)已知集合A=z2≤2‘<4，集合B={zlog:1+2x)>2. (1)求AUB: (2)已知C={xx2-2mx十m2-1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值 范围. 1912分已知a∈0，到c0,爱》m。192 (1)求证：2a+B=受： (2)若关于a的方程sina十sinB十m=0有两个不相等的实根，求实数m的取值范围. 20.(12分)某企业生产A,B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设 比例系数为k1,其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为k2, 其关系如图2.（注：利润与投资额的单位都是万元） y 3.75 0.45 2.5 0.25 0 1 1.8 0 4 图1 图2 第20题 18 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出1，k2的值，写出它们的函数关 系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A,B两种产品的生产，怎样分配这10万元投资 额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？ 21.(12分)已知f(x)=2 sin xeos+23cos(x-T)os(x+F) (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)若关于x的函数g(x)=f(x)一2(2+sin2x)在区间臣，受]上有唯一零点，求实数及的取 值范围 22.(12分)已知函数f(x)=(logax)2-logx-2(a>0,a≠1). (1)当a=2时，求f(2); (2)求解关于x的不等式f(x)>0: (3)若Hx∈[2,4]，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围.0,22一4t+16>0,解得t∈(4,5)，故函数g(x)=f(2x)一 21f(x)十18有四个不同的零点时，t的取值范围是(4,5). 期未学习检测 一1.A【解析：①当+2=0，即飞=-2时，x=二 {}符合题意：@当k+2≠0，即k≠一2时，关于x的方程 (k+2)x2+2kx+1=0只有一个根，则△=4k2-4(k十2)=0， 解得k=2或k=一1.综上所述，实数k的值是士2或一1.故选 A.1 2.D【解析：圆心角120化为弧度为经，则孤长为经×1= 经(cm.故选D.】 3.C【解析：，sina>0,cosa≤0，∴.角a的终边落在第二象 3a-60, 限或y轴的正半轴上，. 解得一1<a≤2.故 a+1>0, 选C.】 4.D【解析：sir0叶sin cos-2cos0=sin0叶+sino0-2cos0 sin'0+cos20 m0叶am0-2-4-÷放选D.】 tan20+1 4+1 5.D[解析：函数f(x)=2十x在R上单调递增，又f(一1)= -合<0，f0)=1>0,故f(x)的零点a∈(-1,0，令g) x-1=0,解得x=1,即b=1;由h(x)=log2x+x在(0，+0) 上单调递增，得A(号)=-1+号<0，h(1)=1>0,因此h() 的零点c∈（分，1），则a<c<6,故选D.】 6.A【解析：由函数f(x)=3十b的图象经过第一、三、四象 限，可得b<-1,所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3-3-1= 3*…(1-子)=号·3<号·31=-号又因为号·3*>0，所 以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(0，号)故选A.】 7.C[解析：设人交谈时的声强为xW/m,则火箭发射时的 声强为102x,且60=101g0,得=10，则火箭发射时 的声强约为10.8×106=108W/m2,将其代入d(x)= 101.8 10lg10中，得d(10)=10lg0元-=138dB,故火箭发射 时的声强级约为138dB.故选C.】 8.D[解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数 f(x)在R上单调递增，因为f(4)=log24=2,所以f(2x-1)< 2等价于f2x-1)<f(4),即2x-1<4,解得x<号，所以不 等式f(2x-1)<2的解集是(-o,号）故选D.】 0 234x -1 2 -3 第8题 二9.BCD【解析：由题意得A=2,T=4×(-)=元，所 以w-2红=2，又2sin(2×ξ+p）=-2,5+p=2km-受， k∈Z,又|p<π，所以p=石，所以f(x)=2sin(2x+否).因 为2×受+吾=石，所以直线x=受不是对称轴，A错误， sin2×(-音)+吾]=0，所以(-受，0）是对称中心，B正 确x∈[-号，晋]时，2x+晋∈[-受，受]，所以f(x)在 [-号，若]上单调递增，C正确；2sim(2x+晋)=1， sin(2x+晋）=号，2x+若=2km+否或2x+否=2km+晋 k∈乙，即x=m或x=m十晋，k∈乙，又-亚<x<,所以 x=0,子，x,钙，和为，D正确.故选BCD.】 10.AC[解析：对于A选项，由f(x十1)=f(1-x),得 f(x)=f(2-x),由f(x)+f(4-x)=0,得f(x+2)= -f(2-x),又f(x+2)=f(-x),所以f(x)=-f(-x), 所以f(0)=0,因此A选项正确；对于B选项，因为f(x) 一f(一x),所以函数f(x)为奇函数，因此B选项错误；对于 C选项，因为f(x十2)=f(一x),所以f(x十2)= 以-2a≤-子若同减则 (3）广+a≥0 在区间[1,2020] -f(x+4),即f(x)=-f(x+2),所以f(x)=f(x+4), 22+a≤0 所以函数f(x)的周期T=4,因此C选项正确；对于D选项， 将x=2代入f(x)+f(4-x)=0,得f(2)=0,f(4)= 上恒成立，即 ≥-（号） 无解，所以A,B选项符合题 f(0)=0,而f(2023)=f(506T-1)=f(-1)=-2023,将 (a≤-22020， x=2代入f(x+1)=f(1-x),得f(3)=f(-1)=-2023, 意.故选AB.】 将x=3代入f(x)十f(4-x)=0,得f(1)=-f(3)= 三、13.[3，十∞)【解析：因为“x>a”是“x≥3”的充分而不 202,所以营)=0[/1)+2)+3)+/)]+ 必要条件，所以(a,十∞)是[3，十c∞)的真子集，所以a≥3.】 f(1)+f(2)+f(3)=f(1)+f(2)+f(3)=0,因此D选 14.10(sn1g+an只)【懈析：单位圆的内接正10a边形 项错误.故选AC.】 的边长为2sn1g,则其内接正10m边形的周长为20asm1g 1山.BD【解析：“f(g）=2,f(受）=0，心f(）== 单位圆的外切正10m边形的边长为2am贤，则其外切正10m边形 2sin(gw+p,f(受）=2sin(受a+g）=0,小受w+9- 的周长为20amg,则有x=合（(20rsng+20 Detan)- n x(k∈D,吾aw十g=年+2元或否u十g=3+2kx(k1∈D, 10asn1g+10 ontan s】 ∴9=号+8跳或9=x十86匹(，k∈D.0< 3 3 15.-号 【解析：由5cosa十sin。=29可以得到 <,p=号或g=w=2张-号（∈0或w=2k 2停osa+方sin)=29,所以sm(e+音）=停，设0= 号（e.f(x在(0，)上单调，骨≥>≥w> +吾，则a=0-号，则号-2a=号-2(0-吾）=元-20，所 0,∴0<w≤2.w-号或aw-号，f(x)-2sin(号x+吾)（验 以cos(号-2a）=cos(x-20)=-c0s20=2sim0-1=号- 证舍去)或f(x)=2sin(号x+受)y=f(x)的图象向右平 11 移x个单位长度后得f(x)=2sn[号x一+号]=2n号x 16.(分，1）【解析：由题意可知f(-x)=log[V1十4（一可+ 不关于y轴对称，(1)错；f(0)=2sin牙=5，(2)对： 2(-0]+2-e(1+证-2)+。是所以f)十 f(）=2sin(号×经+)=-1，(3)错：当x< 1-)=lg:+4+2x)+2华+16(V1+47- [-,-受]时，号x+号∈[0，号]，所以y=f(x)在 2)十子=2，放函数f()在定义域内为非奇非偶函数，令 [-,-受]上单调递增，(4)对.故选BD.】 h(x)=f(x)-1,则h(x)+h(-x)=f(x)-1+f(-x) 1=0,所以h(x)在定义域内为奇函数.设h(x)在[一t,t]上 12.AB【解析：由题意得f(x)=(分）广+a与f(-x)= 的最大值为k,则最小值为一k,所以∫(x)在[一t,门上的最 |2十a在区间[1,2020]上同增或同减.若同增，则 大值为M=k+1,最小值为N=-k+1,所以M+N=k+1+ (2）广'+a≤o (-k)+1=2.g(x)=(M+N)x+[(M+N)x-1]-3= 在区间[1,2020]上恒成立，即 2+a>0 a≥-2， 2x+2可（≠号）.因为8(x)+g1-)=2x+ 29 1 1 2z-1D+2X(1-x0+2x1-)-1T=2+2z-7 Q-2)=2,所以g(x)的图象的对称中心为（分，1）】 四、17.解：1由Sna十6sa-怎，得(sne十6ase=1十 2 sin acos=5,所以sin acos= 号，放(sna-coso= 1-2 2sin s=9,所以sna-cosa=±35.又因为n= 5 51 -号<0，且a是三角形的内角，所以s。>0,则c0s。<0,所 以sina-cosa=35 5 (2)(方法-)因为sina+csa=5 5,sin a-cos a= 5,所以 5 cosa=- 2 5 sin a= 5 ,tana=-2,则原式=sina十2cose sin a+cos a 儡-二2将-0 tan a+1 （方法二)同方法一可得@s。=一气，血。-25，则原式 5 25+2x5 sin a+2cos a 5 5 =0. sin a+cos a 25+-5 5 18.解：(1)A={x|3≤x6},B={x|x>4),AUB={x|x≥3}. (2)C={x|m-1≤x≤m+1},由题意可知C二B,所以m- 1>4,即m>5. 19.解：(1)由tama=sin,得sine=sin里，所以 cos B cos a cos B sin acosB+cos asin B=cosa,即sin(a十B)=cosa.因为a∈ (o,受)e(o,受)，所以a+月=受-a或a+B=受+a,解 得B-受-2a或B=(舍去)，所以2a+B=受 (2)由(1)知，方程sina十sinB+m=0可化为sina+ sin（交-2a）+m=0,即cos2a+sina+m=0,则1-2sin2a+ sina十m=0,所以m=2sina-sina-1.因为a=年-号，8< (0,受)，所以ae(0,平)，则=sina∈(o,号)，在同一坐标 系中作出y=m,y=20-1-1=2(-）-号的图象如图， 30 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 因为关于a的方程sina十sinB十m=0有两个不相等的实数 9 根，由图象知一8<m<一1 y V2 0 第19题 20.解：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)=kx,g(x)=kW反.由 图知f)=子，所以=子，又g(④)=号，所以：=是所 以f)=子x(x≥0)，g(x)=F(>0. (2)设A产品投人x万元，则B产品投入(10一x)万元，设企业 的利润为y万元.=)十g10-)=子x+号10- .1 0≤x≤10).令10-7=，则y=0,+号：- -}(-号)'+铝0≤长V而).所以当=号时， ,此时x=10-空-安=3.75，所以当A产品投人3.75万 元，B产品投人6.25万元时，企业获得最大利润万元，即 4.0625万元 21.解：1)f(x)=2 sin+23cos(x-年)cos(x+开）= sin2z+V5cos2x=2sin(2x+号).令2kr+艺≤2x+号≤ 2十经k∈Z解得音十6≤x≤径+kx,k∈Z.所以fx)的 单调递减区间为[音十x,登+kx](k∈Z). (2)由(1)知函数f(x)=2sin(2x+牙）g(x)在[是，受]有 零点等价于f(x)=2(2k+sm2x)在[臣·受]有唯一根，所以 可得2=血(2z+晋）-m2z=-n2z+停s2z cos(2x+若).设h(x)=os(2x+晋)x∈[臣，受]，则2x+ 吾∈[吾，号]，根据函数k(x)在x∈[臣，受]上的图象，因 为y-26与y=A()有唯一交点，所以实数及应满足-< 2≤号或2=-1，所以-<k<号或k=-之故实数长的 取值施阳是女个-停<宁或=一号》 22.解：(1)当a=2时，f(x)=(log2x)2-log2x-2, ∴.f(2)=1-1-2=-2. (2）由f(x)>0得(logx)2-logx-2= (logx-2)(log+1)>0,.'.log<-1log>2.a> 1时，解不等式可得0<<合或x>d,当0<a<1时，解不等 式可得>或0<x<a2.综上所述，当a>1时f(x)>0 的解集为(0，)U(c,十∞)：当0<a<1时，f(x)>0的 解集为(0，a)U(合，+∞)】 (3)由f(x)≥4得(logx)2-logx-6=(logx-3)· (logax+2)≥0，∴.logx≤-2或logax≥3.①当a>1时， (logax)max loga4,(logax min loga2,..loga4-2- logaa-2或log.2≥3=log.a3,解得1<a≤√2；②当0<a<1时， (logx)mx=log.2,(logx)min=log。4,∴.log。2≤-2= 1oga产或1og4≥3=1oga,解得号≤a<1.综上所述a的取 值范强为[停.U(1]