第一次月考检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册单元测试卷

号∈[1，号]，所以1C2a<号即宁<a<品故实数a的最小 值为分，最大值为品 第一次月考检测 一、1.B[解析：依题意U={0,1,2,3},CuB={1,3},阴影 部分为(CuB)∩A={1).故选B.] 2.A[解析：当(a一b)a2>0时，显然a≠0，a2>0,所以a> b.当a>b时，若a=0,则(a一b)a2=0.所以“(a-b)a2>0” 是“a>b”的充分不必要条件.故选A.】 3.C[解析：先变量词，再否结论，而“2023r十x224>0”的否 定是“2023+x224≤0”，故p的否定是：3x∈R,2023+ x224≤0.故选C.】 4.C【解析：命题“Hx<0,x十1<一2”为全称命题，该命题 的香定为“3x<0,x+>-2”.故选C.】 5.C[解析：由全集U=R,集合B={x|x>2},可得CoB= {xx≤2.又由A={xx>1},所以A∩(CuB)={x|1<x≤ 2}.故选C.] 6C【解析：方程马=1十名气整理得-1，当1-=0 时，方程的解集为空集，显然成立；当1一≠0时，有≠1，解 方程得x=2一k≠1，显然不符合题意.综上k=1.故选C.] 7.B【解析：当a=-时，此时的方程为2+lx+=0, 即(lx+号）=0无解，所以a>-子1x+2=a有实 数解；因为x≥0，所以a=|x+2=(1x+之）-> 0,即a≥0→a>-子，所以方程|z十2=a有实数解→a≥ 一子，所以>-子是“方程1z十2=a有实数解”的必要 不充分条件.故选B.】 8.D[解析：因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x2,都有 f)一f)<0成立，所以函数f(x)在R上递减，所以 x2-x1 >1, 1a>0, 解得2≤a≤3.故选D.】 -a+6≥a, 二、9.BD[解析：对于A选项，由B一A={xx∈B且xA}, 故B-A={3,8),故A错误；对于B选项，由A一B={xx∈A 且x￠B},若A一B=⑦，则A二B,故B正确；对于C选项，由 韦恩图知：B一A如图阴影部分，所以B一AC CoA,故C错误； 对于D选项，CuB={xx<-2或x>≥4)，则A-B=A∩CuB= {x|x<一2或x≥4}，故D正确.故选BD.】 第9题 10.BC[解析：选项A,当c=0,ac2=bc2,故选项A错误；选 项B,因为a>b,c<d,所以一c>一d,由不等式性质知，a-c> b一d,故选项B正确；选项C,1≤a≤4，一2≤b≤1，所以一1≤ 一b≤2，由不等式性质知，0≤a一b≤6，故选项C正确；选项D, 因为。>1a+日≥2石=2，当且仅当a=1时取等号， 所以等号取不到，选项D错误.故选BC】 11.AC[解析：对于A选项，因为x>0,y>0,所以x十 y≥2√xy,当且仅当x=y时取等号.由x十y+xy-3=0→ 3-xy=x+y,即3-xy≥2√xy,解得0<√xy≤1，即0< xy≤1，A正确；对于B选项，由x>0,y>0,3一(x十y)=xy≤ ()）,当且仅当x=y时取等号，得(x+)+4(x+)- 12≥0，所以x+y≥2.又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3, 即2≤x十y<3,故B错误；对于C选项，因为x>0,y>0,x十 y十xy=3=0,则x(y+1)=一y+3,得x=y十1= 二+4-1+片>0，结合>0，则0<3，所以 y+1 x+2y=-1 +y市+2y=y+2(y+1)-3≥42-3，当且 4 4 仅当4 当十=2(y十1)，即y=2-1时等号成立，C正确：对 于D选项+5y=-1+有+5y=克+5y+1)-6≥ 45-6,当且仅当弄=5(y+1)时等号成立，即(+1=号 单调递减，由f(x十1)>f(2x),可得|x十1一3|<|2x一3 时等号成立，但由于y十1>1，因此等号不成立，故D不正确， 整理得3x2-8x+5>0,解得x<1或x>号，即不等式 故选AC.】 f(x+1)>f(2x)的解集为(-0,1)U(号，+∞】 12.ACD[解析：A选项，二次函数图象开口向上，故a>0,对 四、17.解：(1)当m=3时，B={xx<3},所以CwB={xx≥3. 称轴为z=一名-1，故6=一2a<0,图象与y轴交点在y轴 因为A={x|-2≤x≤4}，所以A∩(CuB)={x|3≤x≤4}. 正半轴，故c>0,所以abc<0,故abc+abc=-abc+abc=0, (2)由A∩B=A得，A二B,因为A={x|-2≤x≤4}，B= A正确；B选项，因为b=-2a,故y=ax2-2ax十c.因为a> {xlx<m},所以m>4. 0,所以1一a<1,当a≤x≤1一a<1时，y=ax2-2ax十c随着 18.解：(1)当b=4时，可得A={x|x2一3x+4=0},因为△= x的增大而减小，所以x=a时，y取得最大值，最大值为y= (-3)2-4×4<0,所以A=☑，又由B={x|(x-2)(x2+3x a3-2a2十c,B错误；C选项，因为b=-2a,所以ax+bx2= 4)=0}={-4,1,2},义因为AM军B,所以这样的集合M共 a.x4-2ax2,a(x2-2)2+b(x2-2)=ax4-4ax2+4a- 有如下6个：{一4}，{1}，{2}，{-4,1}，{-4,2}，{1,2}. 2a(x2-2)=ax-6ax2+8a,故不等式ax十bx2> (2)能；由(CuB)∩A=☑，可得A二B,若A=☑时，此时满足 a(x2-2)2十b(x2-2)变形为4ax2-8a>0.因为a>0,x2> A是B的一个子集，此时△=9-46<0，解得6>号；若A≠ 2,解得x>√2或x<一√2，故C正确；D选项，t=x2+bx十1= ⑦时，由(1)知B={一4,1,2}，当一4∈A时，b=一28，此时 (红+名)广+1-午，当x=一名时，取得最小值，最小值为 A={4,7},此时A不是B的一个子集；当1∈A时，b=2,此 1-冬=+a+1=(+)》'+1-安当=-合时y取 时A=1,2},此时A是B的一个子集；当2∈A时，b=2,此时 A={1,2},此时A是B的一个子集，综上可得，当A=⑦或 得最小值，最小值为1一答，所以-合≥1-冬，即公-26 A={1,2}时，满足(CuB)∩A=☑，此时实数b的取值范围为 4≥0，所以(b一1)2≥5，即b-1≥√5，故D正确.故选 (,+o)U(2). ACD. 19.证明：因为x1,x2∈M,所以存在a1,b,a2,b∈Z,使得 三、13.充分不必要[解析：由x2>1可得x>1或x<一1，故 x1=a1十bV瓦，x2=a2+bW2,则x1x2=a1a2十2bb2十 “x2>1”的充分不必要条件是“x>1”.] (ab+a2b)2,+=a1十a2+(b+b)√2.因为M= 14.[2,十o)[解析：“3x∈[-1,2]，x-a>0”是假命题， {x|x=a+b√2，a,b∈Z},所以x1x2∈M,x1+x2∈M. 则它的否定命题：“Vx∈[一1,2]，x-a≤0”是真命题，所以 20.解：(1)P-Q=2a(a-2)+3-[(a-1)(a-3)]=2a2 x∈[一1,2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围 4a+3-(a2-4a+3)=a2.a2≥0，.p-Q>≥0，.P≥Q. 是[2，十o).1 15.①③⑤[解析：空集是任何集合的子集，故①正确；由元 2a>b>0,-c>-d>0,a-c>6=d>0,a。 素与集合的关系可知，a∈{a},a∈{a,b,c},故②错误，⑤正 a又e0a>64 e 确；由集合与集合的关系可知，{a}二{a},{a)三{a,b}, 21.解：(1)因为4x2十4kx>8x一k对一切实数x恒成立，所以 ⑦二{a,b},故③正确，④⑥错误.] △=16(k-2)2-4×4k=16(k-5k+4)=16(k-1)(k-4)<0, 16.(-o,1)U(号，+∞）【解析：”f(x+3)为偶函数， 则1<k<4,所以集合A={k|1<k<4}. ∴f(-x十3)=f(x十3)，即函数f(x)关于x=3对称.又函 (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，则B二A.因为x2一3mx十 数f(x)在(-o,3]上单调递增，∴.函数f(x)在[3，十∞)上 (2m-1)(m+1)<0,所以[x-(2m-1)][x-(m+1)]<0. 25 当m=2,即2m一1=m十1，B=⑦，满足题意.当m>2,即2m 1>m+1,B={xlm+1<x<2m-1},由(1)知A={x|1<x<4}, {2m-1≤4， 所以〈 则0≤m≤号，所以2<m≤号，当m<2,即 m+1>1, 2m-1<m+1,B={x|2m-1<x<m+1),所以 m+1≤4， 则1≤m≤3，所以1≤m<2.综上所述，实数m的 2m-1≥1， 取值范围是{ml1<m<号}， 22.解：(1)因为a=2,所以y=2f(x)= 32-2,(0<≤4) 8-x 0当0<≤4时，由g2一26，解得之 10-x,(4<x≤10). 4,所以此时x=4:②当4<x≤10时，由10一x>6,解得x≤4，所以 此时为空集.综上可得，一次投放2个单位的药剂，则有效治污时 间为1天 (2)当6<<10时，可得y=20-2x+a[8-90-1] 20-2x十0-a=214-)十-a-8,根据题意。 可得y≥6对于x∈[6,10]恒成立.因为14一x∈[4,8]，而 2a≤6，所以2va∈[4,4w5]由214-x)+0-a 822√214-)·4产-a-8=8V质-a-8,当且仅当 14-x=2/2a时，y有最小值为8√2a一a-8,令8√2a-a一 8≥6，解得2≤a≤6，所以实数a的最小值为2. 期中学习检测 -、1.C 2.C【解析：当2a+1=0时，a=-之，此时a2-1=-子，满 足题意；当a2-1=0时，a=1或a=一1；若a=1,则2a十1= 3,满足题意；若a=一1，则2a十1=一1，不满足集合中的元素 互异性，不合题意.∴实数a的取值集合为{-合1.故 选C.】 3.A【解折：a∈R,则a>1日<1，日<1a>1或 a 26 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 a<0”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件.故选A1 4.D【解析：A中函数不是奇函数；B中函数不是奇函数；C 中函数是奇函数，在定义域上不具有单调性；D中函数是奇函 数，并且在定义域上是增函数.故选D.] 5.B[解析：△=36一24=12>0，故方程必有两根，又根据一 3 元二次方程根与系数的关系，可得工十x=3,工1x=2,所 以|x1一x2|=√（十x2)2-4五=√9-6=√3.故选B.】 6.A【解析：b=-(-1+2)=-1,c=(-1)×2=一2，所以 x2一x-2<0,x∈(-1,2).故选A.】 7.B[解析：设4x-2y=入(x-y)+4(x+y)=(入+u)x+ 入十u=4, λ=3， (一λ十)y,则 解得因为1≤x-y≤2， 一λ十=一2， =1. 2≤x+y≤4，所以3≤3(x-y)≤6，所以5≤3(x-y)+ (x十y)≤10，即5≤4x-2y≤10.故选B.】 8A【解析：当点P在AB上时：=XxX1=,0<x<1: 当点P在BC上时：y=SE方形ABCD一S△ADM一S△ABP一S△PCM= AB-7AD·DM-AB·BD-2CP·CM=I-号X 1x3-3×1x(x-1)-3×(2-x)×3=-十x+, 1<x<2:当点P在AB上时：y=号×（号-x)X1=-号x十 号，2<<号，由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时 是减函数.故选A.】 二、9.AD【解析：①由xt>y可知>0，所以x>y,故 xt>yt→x>y;②当t>0时，x>y;当t<0时，x<y,故xt> yt,不能推出x>y;③由x2>y2,得|x|>|y|,但不能推出 x>y,故r>yY不能推出>y:④0<<→x>y.故 x y 选AD.] 10.AC[解析：A中，因为偶函数f(x)的定义域为[2a一1，a], 所以2a-1=-a,解得a=子，故A正确：B中，设一次函数 f(x)=kx十b(k≠0)，则f(f(x)=f(kx十b)=k(kx十b)+b= k2=4, 2x+b+b,因为f(f(x)=4x十3，所以 解得 k6+6=3; k=2,k=一2， (一1，十∞)上单调递增，方程f(x)一m=0最多有两个根，若 或 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2x十1 b=1,b=-3, a≥1时，函数在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递 或f(x)=一2x一3，故B不正确；C中，因为奇函数f(x)在 增，方程f(x)一m=0最多有两个根，所以方程f(x)一m=0 [2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为一1，所以f(2)= 不可能有三个实数根，D错误.故选AC.] -1,f(4)=8,所以f(-2)=-f(2)=1,f(-4)=-f(4)= 三、l3.a<ab<ab[解析：由a<0,-1<b<0,则ab>0, -8,所以2f(-4)+f(-2)=2×(-8)十1=-15，故C正 ab2<0,0<b<1,又ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab>a,所 确；D中，因为集合A={x-ax2+4x十2=0)中至多有一个 以a<ab<ab.] 元素，所以方程一ax2十4x十2=0至多有一个解，当a=0时， 14.2030 [解析：构造函数g(x)=f(x)一x,依题意 方程4x十2=0只有一个解-之，符合题意，当a≠0时，由方 8(2021)=g(2022)=g(2023)=0,所以g(x)= (x-2021)(x-2022)(x-2023),所以g(2024)=f(2024) 程-ax2+4x十2=0至多有一个解，可得△=16+8a≤0，解得 -2024=3×2×1=6,所以f(2024)=2030.】 a≤-2，所以a=0或a≤-2，故D不正确.故选AC.】 15.(-∞，-2](4，十∞)【解析：P={x2-2x-8>0}= 1ABc【解析：a,b∈R*,a十6=1，ab≤(e生) {xx>4或x<-2},Q={x|x>≥a},若PUQ=R,则a≤ 十（当且仅当a=b=之时取得等号），“选项A正确；由选项 -2,若P∩Q=Q,则P2Q,所以a>4.】 16.(1)130[解析：x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒， A有长子，设y=十上，则y=x十子在(0，]上单润递 需要支付(60十80)-10=130（元）.】 孩ab+品≥号+4=是选项B正确：6w6+6- (2)15[解析：设顾客一次购买水果的促销前总价为y元， y<120元时，李明得到的金额为y×80%,符合要求.y≥120 a+6什2v瓜<a十b十a十6=2（当且仅当a=6=合时取得等 元时，有(y一x)×80%≥y×70%恒成立，即8(y-x)≥7y, 号)后+6<巨选顶C正确：日十六-店+宏 x≤含，即x≤（告）=15.所以x的最大值为15.】 26 四、17.解：(1)：全集U=R,集合A={x|2≤x≤8}，B= 是+名+元>号+2√会·易=号+E(当且仅当=2弥 {x1<x<7},.CuA={xx<2或x>8},.(CuA)∩ 时等号成立)，∴选项D不正确.故选ABC.】 B={x1<x<2}. 12.AC【解析：函数f(x)=x2+2|x-a(a∈R),当a=0时， (2):A∩C≠财，C={x|x>a},.a在小于等于8的范围 f(x)=x2+2|x|,f(-x)=(-x)2+2|-x|=x2+2|x|= 内，即a≤8，当a=8时可得C={x|x>8},此时不满足题意， f(x),故f(x)为偶函数，故A正确；当a≠0时，由f(a)=a, ∴.a<8.故实数a的取值范围是{a|a<8}. f(-a)=a2+4|al,则f(a)+f(-a)=2a2+4|a|≠0，函数 18.解：>2x-2>0,x+2=(x-2)十2 4 不可能为奇函数，故B错误；f(x)=x2十2|x一a| x2+2x-2a,x≥a,(x+1)2-1-2a,x≥a, 2≥2√x-2)·马气+2=6，当且仅当x-2=42时取等 当-1<a<1 x2-2x+2a,x<a(x-1)2-1+2a,x<a, 号，即x=4时，x十2的最小值为6， 时，x≥a时，函数单调递增，所以最小值为f(a)=a2,x<a时， 函数单调递减，所以f(x)>f(a)=a2,所以函数的最小值为 (2x>0>0,+号=1…x+y=x+0(+号） x y f(a)=a2,故C正确；若一1<a<1时，函数在（一∞，a)上单调 之+号+10≥2V2·竖+10=16.当且仅当之-号时，等 递减，在(a,十o∞)上单调递增，方程f(x)一m=0最多有两个 根，若a≤一1时，函数在（一∞，一1）上单调递减，在 号成立又+号 9=1,x=4,y=12时，(x+y)m=16,数学 第一次月考检测 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 目要求的. 1.设全集U={x∈Nx<4},A={1,2},B={0,2},则图中阴影部分表示的集合为 U 第1题 A.0 B.{1} C.{2} D.{1,2} 2.若a,b∈R,则“(a-b)a2>0”是“a>b”的 故 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知命题p:Hx∈R,2023r+x224>0,则p的否定是 地 A.Hx∈R,2023x+x2024≤0 B.3x∈R,2023x+x2o24<0 n C.3x∈R,2023x+x2024≤0 D.3x∈R,2023+x2024≠0 ▣ 4.命题：Vx<0,x十1<-2的否定是 盟 A.Hx<0,x+1≥-2 B.]x≥0，x+1≥-2 长 1 C.]x<0,x+≥-2 D.3x≥0，x+1<-2 x x 5.已知全集U=R,设集合A={x|x>1},集合B={x|x>2},则A∩(CuB)等于 A.{x|1≤x≤2} B.{x|1<x<2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x<2} 6.若关于x的方程】 7=1+ x一的解集是空集，则k的值是 A.-1 B.0 C.1 D.5 7.“a≥- ”是“方程引x十x2=a有实数解”的 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2-a.x+5,(x≤1) 8.已知函数f(x) a 满足对任意实数1≠，都有)二f)<0成 ,(x>1), x2-x1 x a的取值范围是 A.0<a≤3 B.a≥2 C.a>0 D.2≤a≤3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.我们知道，如果集合A二S,那么S的子集A的补集为CsA={x|x∈S且xA},类似地，对于集 合A,B,我们把集合{x|x∈A且x庄B},叫做集合A和B的差集，记作A一B,例如：A= 合题 {1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A一B={1,2,3},B一A={6,7,8},下列解析正确的是 ( ) U ) A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8}》 B.如果A一B=⑦，那么A二B C.已知全集、集合A、集合B关系如图所示，则B一A二CuB 第9题 D.已知A={x|x<-1或x>3},B={x|-2≤x<4},则A一B={x|x<一2或x≥4} 10.对实数a,b,c,d,下列命题中正确的是 ( A.若a<b,则ac2<bc2 B.若a>b,c<d,则a-c>b-d ) C.若1≤a≤4，-2≤b≤1，则0≤a-b≤6D.若a>1,则a十二的最小值是2 11.已知x>0,y>0,且x十y十xy一3=0，则下列结论正确的是 ( A.xy的取值范围是(0,1] B.x+y的取值范围是[2,3] C.x十2y的最小值是4√2-3 D.x+5y的最小值为45-6 12.已知二次函数y=ax2十bx十c(a≠0，a,b,c为常数)的对称轴为x=1,其图象如图所示，则下列 选项正确的有 () x=1 ) 第12题 A.abc+abc=0 B.当a≤x≤1一a时，函数的最大值为c一a2 ) C.关于x的不等式ax4+bx2>a(x2-2)2十b(x2-2)的解为x>√2或x<-√2 D.若关于x的函数t=x2十bx十1与关于t的函数y=t+bt十1有相同的最小值，则 1b-1≥5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.“x2>1”的 条件是“x>1”.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分 也不必要”) 14.若命题“3xo∈[一1,2]，xo一a>0”为假命题，则实数a的取值范围是 ,则 15.下面六个关系式：①☑二{a};②a二{a};③{a}三{a};④{a}∈{a,b};⑤a∈{a,b,c};⑥⑦∈ {a,b},其中正确的是 ) 16.已知定义在R上的函数f(x)在（一0,3]上单调递增，且f(x十3）是偶函数，则不等式f(x十1)> f(2x)的解集为 11 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知全集U=R,若集合A={x|-2≤x≤4}，B={xx-m<0}. (1)若m=3,求A∩(CwB); (2)若A∩B=A,求实数m的取值范围. 18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x十b=0},B={x|(x-2)(x2+3x-4)=0}. (1)若b=4时，存在集合M使得AM手B,求出所有这样的集合M; (2)集合A,B能否满足(CuB)∩A=⑦？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由. 19.(12分)若x1,x2∈M={x|x=a+b√2，a,b∈Z},证明：x1x2∈M,x1+x2∈M. 20.(12分)(1)设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,试比较P与Q的大小； （2已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证a二之-7 12无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 21.(12分)使不等式4x2+4kx>8x一k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A,不等式 x2-3m.x十(2m-1)(m+1)<0的解集为B. (1)求集合A; (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围. 22.(12分)一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片 海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a(2≤a≤6，a∈R)个单位的药 为 梁 剂，它在海水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y=a·f(x) í16 -1,(0≤x≤4)， 0 8-x (投放当天x=0),其中f(x)= 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓 】 5-7,4<x≤10)， 以 度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当海水中药剂的浓度不低于 6(克/升)时，它才能起到有效治污的作用 (1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）a个单位的药剂，要使第二次投 放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求α的最小值.