第四章 指数函数与对数函数学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册单元测试卷

-2P+50,14≤P≤20， 代入①式得L 1-2p+40,20<P≤26， (-2P+50)·(P-14)×100-5600,14≤P≤20， 1(-2P+40）(P-14×100-560,20<P<26. (1)当14≤P≤20时，Lmx=450元，这时P=19.5元；当20< P≤26时，Lmax≈417元.故当P=19.5元时，月利润余额最 大，最大余额为450元 (2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450-50000 58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫. 第四章学习检测 -、1.A【解析：因为√反=三，所以VF=是，所以2 x是=x是=9，所以x=9号.故选A.】 2.C[解析：由x2-x>0,得x>1或x<0.故选C.1 3.C[解析：因为0<a<1,所以f(x)<0,即ar-2a-2> 1,解得a>3或a<-1(舍去)，所以x<log3.故选C.】 4.B[解析：由题意得x一1≥0，x≥1，令t=√x一1，则t≥0， y=(号)是诚函数，所以0<y=(传)厅≤（传）”-1.故 选B.】 5.C【解析：因为log23.4>1,log3.3<1,又y=5是增函数， 所以a>6因为c=(号)=5学>5=5=5 5=6,而1oe34>16g号>10g号所以o>c,所以o>c> 10 b.故选C.] 6.A【解析：由题意，当a>0时，函数f(x)=2一ax为单调递 减函数，若0<a<1时，函数f()=2-ax的零点=二>2，且 a 函数g(x)=log(x十2)在（一2，+oo)上为减函数；若a>1时，函 数f(x)=2-ax的零点x。=2<2,且函数g(x)=1og,(x十2) a 在(-2，十∞)上为增函数.故选A.】 7.A【解析：若a≤1，f(a)=2-1-2=-3,2-1=-1(无 解)；若a>1,f(a)=-log2(a十1)=-3，解得a=7.所以 22 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 f6-a)=f-10=2-2=-2=-子故选A】 8.A[解析：因为函数g(x)=f(x)一m有四个不同的零点 x1,x2,x8,x4,所以关于x的方程f(x)=m有四个不同的解 x1,x2,x,x4,因此直线y=m与函数f(x)的图象有四个不同 的交点，且交点的横坐标为x,x2,x3,x4.作直线y=m与函数 f(x)的图象如图，设x1<x2<x3<x4,由图象知：若直线y=m f(x) y=m 4 x1-2x231 第8题 与函数f(x)的图象有四个不同的交点，则x1十x2=一4， -2<x2<0.又因为|log2x3|=|1og2x4|,所以-log2x3= logx4,即x4=1,因此x23·x4=x2（-4-x2)=一x号- 4x2,而-2<x2<0,所以一x-4x2∈(0,4)，所以x1x2·x3x4的 取值范围是(0,4).故选A.] 二、9.AD[解析：A中，y=x3十x为奇函数，且存在零点x= 0,与题意相符；B中，y=logx为非奇非偶函数，与题意不符； C中，y=2x2-3为偶函数，与题意不符；D中，y=xx是奇函 数，且存在零点x=0,与题意相符.故选AD.】 10.ABc【解析a=21>2=1.0<c=lg3<gV瓜=合， 2<2六=1，g3<2g2=g41,1>W3)→ >号，30>2>公，所以6的所有可能是25,2g2, (W5)1.故选ABC.】 -lnx,0<x<1, 11.BCD[解析：因为f(x)=|lnx| 若 In z,x21, f(m)=f(n)(m>l>n>0),则lnm=-lnn,即lnm+lnn 0,所以mn=1,故B正确；m十n≥2√mn=2(当且仅当m= 2十 n=1时取等号)，但m>n,即等号不成立，故A不正确： >≥2儒-2，当且仅当m=2n=时等号成立，故C正 确日+异≥2盒=2，当且仅当a=2m=时等号皮 4x+8>0, x<2, 2x-1>0, 立，此时m=竖，不符合题意，由六十只=2m十 解得r>豆，所以y=loga-(-4x+8)的定 m m,令 2x-1≠1， x≠1. (x)=2x+子，x>1,任取五>>1，所以h(云) 义域为x合<x<2,且x≠1】 h()=2+子-2-六=2（函-）+= xII2 14.(1,4)【解析：因为函数f(x)=1og(-x2+2x+8),所以 -(-)=-(2） 一x2+2x+8>0,所以-2<x<4,故函数的定义域为 由于x> （一2,4)，由复合函数的单调性可知，即求y=一x2+2x十8在 x2>1,所以x1-x2>0,21x2-1>0,所以h(x)>h(x2), 定义域内的单调递减区间.再利用二次函数的性质可得y 则A()=2x十子，在x∈(1，十o)上为增函数，所以 一x2+2x十8在定义域内的单调递减区间为(1,4)，故函数 f(x)=log2(一x2+2x十8)的单调递减区间是(1,4).] h(m)>h(1),可得十2m>3,故D正确.故选BCD.】 12.ABC[解析：令t=f(x),则-2at+a2-1=0→t1 15{a号<a<号或。>1【解析：由题意知log,(3a-1D> a一1，t2=a十1，对于选项A,当a=0时，t1=一1，t2=1,由 0=log.1.当a>1时，y=logx是增函数，所以3a-1>1,解得 f(x)=一1有1解，f(x)=1有4解，故k=5,A对；对于选 a>号，所以>1，当0<a<1时，y=logx是减函数，所以 项B,当k=2时，则方程f(x)=a-1、f(x)=a十1各有一 3a-1<1 解，当x≤0时，f(x)=-x2-4x+1=-(x十2)2+5≤5，当 解得子<a<号所以<a<号综上所述，a的 3a-1>0 a-1<0, 且仅当x=一2时，等号成立，则 解得a<-l,B对； 取值范围是{a子<a<子或a>1小.】 a+1<0, 对于选项C,当k=8时，如图，由图象可知，点(x1,a一1)、 16.(3,+∞) 【解析：由已知得-名-6呢，因为 (x4,a一1)关于直线x=一2对称，则x1十x4=一4，由图可 y=a与y=10gx关于y=x对称y=子的图象关于y=x对 知，0<x6<1,x>1,由|lnx6|=nx|可得lnx=-lnx6, 所以西=名则6=1，因此西十名十名=-4十1=-3 称，所以点(，子)与点(，lg)关于y=x对称，所以 0<a-1<1, =x,且0<<1，>1，其中0<a<1,则y=2x+= x C对；对于选项D,当k=7时，有两种情况： 1≤a+1<5, 2+子在1，十∞)上单调递增，所以)>2+1=3，故2x+ 1≤a-1<5, 1<a<2或 →a=4,从而可得a的取值范围为 x2的取值范围是(3，十∞).] a+1=5, 四、17.解：(1)原式=3×号-2×3+3-2+1=9-4+3-2+1=7. (1,2)U{4},D错.故选ABC.】 (2)令t=2∈(0，+∞)，则原方程化为t2一4t+3=0,解得t= 1或t=3,则x=0或x=log:3,所以原方程的解为x=0或x= y=a+1 y=a-1 log2 3. -2-10x612x34 9-x2≥0， 18.解：选条件①，若p是真命题，则 解得0≤x≤ x≥0， 第12题 3;选条件②，若p是真命题，则1≤2≤8，解得0≤x≤3；选条 三、13.{3<<2，且≠1到 【解析：由题意，得 件③，若p是真命题，则2°≤x十1≤2，解得0≤x≤3.若q是真 命题，则(x一m)·[x一(m十5)]≤0，即m≤x≤m十5.因为p是g (m≤0， 的充分不必要条件，所以 解得一2≤m≤0. m+5≥3， 19.解：(1)因为f(3a-1)>f(a),①若0<a<1,则函数 f)=1bg,r单调递减，故0<3a-1<a,解得}<a<: ②若a>1,则函数f(x)=logx单调递增，故3a一1>a,解得 a>2,即a>l,综上可得号<a<号或a>1. (2)当a=3时，f)=1ogsx,所以f(2）·f3x)=(1og27 loga)(loga 3+logs)=(3-loga)(1+logs)=-5, 1ogx=4或1ogx=-2,解得x=81或x=号 20.解：(1)当0≤x<7时，y是x的二次函数，可设y=ax2+ bx十c(a≠0)，由x=0,y=-4可得c=-4,由x=2,y=8,得 4a十2b=12①，由x=6,y=8,得36a十6b=12②，联立①②解得 a=-1b=8,即有)-+8x-4:当≥7时，y=(兮）“， 由x=10,y=号，可得m=8,即有y=(仔)）.综上可得 -x2+8x-4,0≤x<7, V= (3)）≥7 (2)当0≤x<7时，y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,即当 x=4时，取得最大值12：当≥7时，y=(号)单调递减，可 得y≤3，即当x=7时，取得最大值3.综上可得当x=4时产品的 性能达到最佳， 21.解：)由f()=16e<1,有0<告<2，即 (1+x)(1-x)>0①， 由①得-1<x<1,由②得一1<x< -2<o@, 子，即不等式的解集为-1长<号}月 (2)因为告>0，所以-1<x<1,故的定义城为 (一1,1)，判断f(x)在（一1,1）上单调递增.证明：任取x1,x2∈ 1十一1og1一x2 (-1,1,且x<,则f()-f)=log- 1十2 (1+x1)(1-x2) 因为 (1十x1)(1-x2) 1og21-)(1+x2) (1-x1)(1+x2) 1-x十一x2,所以(1-x2十x-x1x)-(1十x2一1一 1+x2一x1一x1x2 x1x2)=2(x1-x2),因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,所 以(1-2+x1-x1x2)-(1十x2-x1-x1x2)<0,(1+x1) 1-)>0,1-)1+)>0,所以0<0±=）<1， (1-)(1十x2) 所Ue会高0，即).所以两数)在 (一1,1)上单调递增 22.解：(1)由题意，f(x)过点(-2,4)，即f(-2)=3+log3= 4,解得a=3,所以f(x)=log3(1-x)+3,x∈(-o,1). 2 (②)g(x)为R上的奇函数，心g(0)=b一3千=0，解得6= 1,即g(x)=1一3千，其定义域为R,关于原点对称，且 g-0=1-=1-=二8+2 2 1+3r 2 2 -1+1十3=一（1-中3）=一g(x),故此时g(x)为奇函 数.又F(）=g(x)+3-2,令F(x)=0,则3-1一3 2 0,(3+1)(3-1)=2,即9=3，解得x=之 (3)由m+1og:(±)<f(x)在区间(-1,0)上恒成立，得 m<3+be1-)-lbe告用m<3+6马，令 t=1+x,∈(0,1)，则m<3+10g(+4-4),令y=3+ 1og(+兰-4)e(0,D.设m=+4-4,e(0,1D,根据对 勾函数单调性知n=1十4一4在(0,1)上单调递减，而y=3十 log3n为单调增函数，则根据复合函数单调性知：y=3十 1og(+4-4)在t∈(0,1)上单调递减，y=3+ 1og(+4-4)>3+1g:(1+4-4)=3.若关于x的不等 式m+1og(告)<)在区间(-1.0)上恒成立，则m≤3， 又m为正实数，m∈(0,3]. 广0sx在(0，x)上为减函数，om(一号)-as号=os吾， 第五章学习检测 cas(-）=cs=as于，因为0<开<<，则osξ< 一、1.A【解析：cos585°=cos(360°+225)=cos225°= cos千，即cos(-)<cos(-1),B选项正确对于C选 c0s(180°+45)=-c0s45°=-号.故选A.】 项，当一90°<x<0°时，正切函数y=tanx单调递增，因为 2.D[解析：65°=一655°+2×360°，故选D.] -90°<-52°<-47°<0°，所以tan(-52°)<tan(-47°)，C选 3A【解析：S=号×受×2=等故选A1 项错误；对于D选项，因为正弦函数y=sinx在(-乏，0)上 4.B[解析：由题意，函数f(x)=sin(x十牙)+1=cosx十1，则 单调递增，因为一受<一吾<一无<0，所以sim(-无)> f(一x)=cos(一x)+1=cosx十1=f(x),所以f(x)是偶函数；又 sin(-号)，D选项正确，故选ABD.】 由y=cosx的最大值为1，∴f(x)的最大值为2.故选B.】 10.AC[解析：观察图象得A=2,函数f(x)的周期T= 5.B【解析：sincos a=in-mg=tana,又tana= 1-sin'a cosa cos a 2(答-吾）=，则。=祭=2.由2×号十g=x(k∈2)，得 3,sin acos0=3.故选B.】 1-sin'a =-餐+x(∈z,而-<g<0,则g=-,因此)= 6.C 【解析：设地心为O,依题意可得，∠AOB=7.2°，AB= 2sin(2x-).对于A选项，由于f（-) 80,设地球的周长为C,半径为R,则品-吧-器所以 C 2sn[2x(-）-子]=0，则函数f()的图象关于点 R=800X360≈6369km.故选C.】 2πX7.21 (-,0)对称，A正确：对于B选项，由于f(-) 7.D[解析：因为m(2-m2)=(2sin18°)[2-(2sin18°)2]= 2sin[2×(-7)-号]=0，则函数f(x)的图象关于直线 4sin 18(1-2 sin8)-4sin 18'cos 36-4sin 18'cos 18'cos36 Cos18° x=-晋不对称，B错误：对于C选项，当x∈[受，受]时， 2sin 36'cos 36"sin 72sin (9018)cos 18 cos18° cos 185 cos18° cos18=1,所以 2x-号∈[-吾，晋]则函数f(x)在[冬，受]上单调递 m(2-m2)=1.故选D.] 8.C[解析：因为对于Hx∈R,f(x)≤f(π)，可得f(x)在 增，C正确：对于D选项，当x∈[0，受]时，2x-号∈ x=x时取得最大值，即sin(ox十子)=l,可得wm十号=受十 [-,晋]，则sim(2x-)∈[-1，]，因此x)- 2kx,k∈Z,所以。=日+2k,k∈Z.又因为f(x)在[0，否]上 2sin(2x-要)∈[-2，W5],D错误.故选AC.】 单调递增，所以w>0且管+音≤受，解得0<w<3,当=1 11.AD[解析：由题得f(x)=sin wx十cos wx=√2sin(wx+ 时，w=号，所以w的最大值为号故选C.】 平).：0<r≤2，心要<x十至<2wm十平，k∈Z.:函数在 二、9.ABD[解析：对于A选项，因为正弦函数y=sinx在 2m+≥3， [0,2π]上有且仅有3个零点，∴. 贵<w< (0,受)上单调递增，且0<受-1<1<受，则sin1> 2ox+<x sin(受-1)=cos1,A选项正确；对于B选项，因为余弦函数 号，则。的取值范围是[号，号)，所以选项D正确：对于选项 8 23数学 第四章学习检测 (满分150分，时间120分钟) 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.当x>0时，若√x=3,则x等于 A.9号 B.3号 C.9 D.3 2.函数f(x)=ln(x2一x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1 C.(-∞，0)U(1,+∞) D.(-o∞，0]U[1,+∞) 製 3.设0<a<1,函数f(x)=log(a2z一2a-2),则使f(x)<0的x的取值范围是 A.(-∞，0) B.(0,+∞) C.(-∞，loga3) D.(loga3,+∞) 4.函数y= (3 的值域是 h 剂 A.(-∞，0) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(-∞，1] 南 ▣ 5.已知a=5og3.4,b=5o83.3,c= )，则 器 A.ab>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 6.在同一直角坐标系中，函数f(x)=2-ax,g(x)=log.(x十2)(a>0,且a≠1)的图象大致为 2x-1-2,x≤1， 7.已知函数f(x) 且f(a)=-3,则f(6-a)等于 -1og2(x+1),x>1, A.一4 C.3 4 D.- log2x,>0, 8.已知函数f(x) 若函数g(x)=f(x)一m有四个不同的零点x1,x2,x3, -x2-4x+4,x<0. x4,则x1x2x3x4的取值范围是 A.(0,4) B.(4,8) C.(0,8) D.(0,+∞) 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.下列函数中，是奇函数且存在零点的是 A.y=x3+x B.y=log2x C.y=2x2-3 D.y=xx 10.若a=2.o1,c=lg3,且a>b>c,则b可能是 A.2-0.5 B.21g 2 C.(3) D.30.02 11.已知函数f(x)=lnx,若m>n>0,且f(m)=f(n),则 A.m+n=2 B.mn=1 c.2+≥22 m (In x,x>0, 12.已知函数f(x)= 1-x2-4x+1,x≤0， 若关于x的方程f2(x)-2af(x)+a2-1=0有 k(k∈N)个不等的实根x1,x2,…,x且x1<x2<…<x,则下列判断正确的是 () A.当a=0时，k=5 B.当k=2时，a的取值范围为（一oo,一1） C.当k=8时，x1十x4十x6x7=一3 D.当k=7时，a的取值范围为(1,2) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 13.y=1og2x-1)(-4x+8)的定义域是 14.函数f(x)=1og2(一x2+2x+8)的单调递减区间是 15.已知log.(3a一1)恒为正，则a的取值范围是 16.已知x1,x2分别是函数f(x)=xa2-1和g(x)=x logax-1的零点（其中0<a<1),则2x1十 x2的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)计算. (1)求值：27子-(16)3+eh3-log23·logs2+(-2019)°； (2)解方程：42一2x+2十3=0. 18.(12分)在条件①f(x)=√9-x2+x÷的定义域；②0≤2-1≤7；③0≤1og2(x+1)≤2中任选 一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 已知p: ,q:x2一(2m十5)x十m2+5m≤0(m为常数)，若p是g的充分不必要条件，求 实数m的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 19.(12分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1). (1)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围； (2)当a=3时，求方程f（2)·f3)=-5的解. 20.(12分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种， 其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都” 的美称.攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测 得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的 关系为：当0≤x<7时心是x的二次函数：当≥7时y=(得)“，测得部分数据如下表。 x/克 0 2 6 10 -4 8 8 日 (1)求y关于x的函数关系式y=f(x); (2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳. 8 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 21.(12分)已知函数f(x)=log1-元 1十x (1)求不等式f(x)<1的解集； (2)判断并证明f(x)的单调性， 22.(12分)已知函数f(x)=loga(1-x)+3(a>0且a≠1)的图象经过点P(-2,4),函数g(x)= 胡 2 b一3-十1为奇函数. 烯 (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数F(x)=g(x)十3r-2的零点； (3)若关于x的不等式m十1og:(告引)<f(x)在区间(-1,0)上恒成立，求正实数m的取值 范围