第四章 指数函数与对数函数 单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第4章 指数函数与对数函数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2.函数y=lox,x∈(0,8]的值域是(　　) A.[-3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,3] 3.函数f(x)=的零点是(　　) A.1 B.-1 C.±1 D.0 4.若2<a<3,化简的结果是(　　) A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1 5.设f(x)=3x-x2,则下列区间中,使函数f(x)有零点的是(　　) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 6.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 7.(2024·天津卷,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 8.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(-1,3) B.(-1,3] C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C. D. 10.有一组实验数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型不适合的有(　　) A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 11.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(3-x),则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(-1,3)内单调递增 B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 D.f(x)的值域为R 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=　　　　　.  13.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则a的取值范围是　　　　　.  14.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　　,经过5 h,1个病毒能繁殖为　　　　　个(第一空2分,第二空3分).  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)计算:+(lg 5)0+; (2)解方程:log3(6x-9)=3. 16.(15分)已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足0<x1<1<x2<4,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知函数y=log4(2x+3-x2). (1)求函数的定义域; (2)求y的最大值,并求取得最大值时的x值. 18.(17分)直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式.据统计,某职业主播的粉丝量不低于2万人时,其商品销售利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如表所示: x/万人 2 3 5 y/万元 (1)根据表中数据,分别用模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R)和②y=c+d(c,n,d∈R)求y关于x的函数式; (2)已知该主播的粉丝量为9万人时,商品销售利润为3.3万元,你认为(1)中哪个函数模型更合理?说明理由.(参考数据:≈7.55) 19.(17分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)在R上为减函数; (3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 第4章 指数函数与对数函数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.C 由题意,可知x2-x>0,得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 2.A ∵函数y=lox在定义域内单调递减,又x∈(0,8],∴lox≥lo8,∴lox≥-3,∴y≥-3. 3.B 令f(x)=0,得=0, 即x+1=0,所以x=-1. 4.C ∵2<a<3, ∴=|2-a|=a-2,=|3-a|=3-a, ∴原式=a-2+3-a=1.故选C. 5.D ∵f(-1)=3-1-(-1)2=-1=-<0,f(0)=30-02=1>0, ∴f(-1)f(0)<0, ∴有零点的区间是[-1,0]. 6.C 令g(x)=y=log2(x+1),在同一直角坐标系中画出函数g(x)的图象如图所示. 易得线段BC在直线x+y=2上,由 结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 7.B ∵函数y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3, ∴0<4.2-0.3<4.20<4.20.3, 即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b. ∵函数y=log4.2x在区间(0,+∞)内单调递增,且0<0.2<1, ∴log4.20.2<log4.21=0,即c<0. ∴b>a>c.故选B. 8.A 由题意可知,函数y=f(x)-m有两个不同的零点,等价于函数f(x)=的图象与直线y=m有两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象,如图所示. 由图象可知,-1<m<3.故选A. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.AD 依题意设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k. 对于A,ab+bc=2ac,即=2. 因为=log69+log64=log636=2,故A中等式成立,B中等式不成立; 对于C,=2logk4+logk6=logk96≠=2logk9=logk81,故C中等式不成立; 对于D,=2logk6-logk4=logk=logk9=,故D中等式成立. 10.ABD 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变,故选ABD. 11.ACD f(x)的定义域是(-1,3),f(x)=ln,令t(x)=-1(x∈(-1,3)),则t(x)∈(0,+∞),且t(x)在区间(-1,3)内单调递增,所以f(x)=ln t(x)在区间(-1,3)内单调递增,且值域为R,故A,D正确; 又f(1+x)=ln,f(1-x)=ln,所以对定义域内的任意x,有f(1+x)=-f(1-x),而f(1+x)≠f(1-x)(只有当x=0时,才有f(1+x)=f(1-x)),故B不正确,C正确.故选ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.log32 当x∈(-∞,1]时,f(x)∈(0,3]; 当x∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,-1). ∵f(x)=2,∴3x=2⇒x=log32. 13.(-∞,2) 设f(x)=3x2-5x+a. 由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,得a<2. 14.2ln 2　1 024 当t=0.5时,y=2. 则2=,得k=2ln 2,于是y=e2tln 2. 故当t=5时,y=e10 ln 2=210=1 024. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) (1)原式=+(lg 5)0++1+=4. (2)由方程log3(6x-9)=3,得6x-9=33=27, 则6x=36=62,得x=2. 经检验,x=2是原方程的解. 故原方程的解为x=2. 16.(15分) 由题意可得 即 解得-<m<-. 故实数m的取值范围为(-,-). 17.(15分) 1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3, 所以函数的定义域为{x|-1<x<3}. (2)原函数为y=log4u,u=2x+3-x2(-1<x<3)两个函数的复合函数. 因为u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4, 所以y=log4(2x+3-x2)≤log44=1. 所以y的最大值为1,此时x=1. 18.(17分) (1)对于模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R), 由题意得解得 所以y=log2(x-1)+(x≥2). 对于模型②y=c+d(c,n,d∈R), 由题意得解得 所以y=(x≥2). (2)对于函数y=log2(x-1)+(x≥2),当x=9时,y==3.25. 对于函数y=(x≥2),当x=9时,y=. 因为|-3.3|≈0.225>|3.25-3.3|=0.05, 所以选择模型①更合理. 19.(17分) (1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1, 又f(-1)=-f(1),即=-,得a=1. 经检验a=1,b=1符合题意. (2)由(1)可知,f(x)=. 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=. 因为x1<x2,所以>0. 又(+1)(+1)>0,所以f(x1)>f(x2), 所以f(x)为R上的减函数. (3)因为t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k). 因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2). 因为f(x)为R上的减函数,所以t2-2t>k-2t2, 即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3(t-)2-≥-, 所以k<-,即k的取值范围为(-∞,-). 学科网（北京）股份有限公司 $