第二章 一元二次函数、方程和不等式学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册单元测试卷

参芳答案 第一章学习枪测 -、1B[解析：因为A={x‖x|<2)={x|-2<x<2}, B={x|x-1>0》={x|x>1},所以AUB={x|x>-2. 故选B.1 2.D[解析：选项A,元素0与集合之间为∈或￠的关系，A 错误；选项B,集合{0}与集合A之间为二或二的关系，B错误； 选项C,⑦与集合A之间为二或三的关系，C错误；选项D,集 合{0}是集合A的子集，故{0二A正确.故选D.】 3.A[解析：{6,8}二CuA,.6年A,8EA,|a-6=4 或|a-6|=a解得a=2(舍)，a=10(舍)，a=3.故选A.】 4.B[解析：由a>b不一定能推出a一b>1,如当a=2,b=1 时，a>b,但是a一b=1.由a一b>1>0,可以推出a>b,所以 “a>b”是“a-b>1”的必要不充分条件.故选B.】 5.B【解析：由二>≥1得>0，不等式解集为(0,2]，充分 不必要条件需要找解集的真子集，只有B选项符合，即 (0,2)二(0,2].故选B.] 6.C[解析：由题易知A=(1,4),又AUB={0,1,4},所以集 合B可以是{0}，{0,1}，{0,4}，{0,1,4}.故选C.] 7.A[解析：若a=2,则|a=2,不符合集合元素的互异性，则 a≠2；若|a=2,则a=2或a=一2，可知a=2舍去，而当a= 一2时，a-2=-4,符合题意；若a-2=2,则a=4,|a=4,不 符合集合元素的互异性，则a一2≠2.综上，可知a=一2.故选A.】 8.C[解析：因为A=MUN={x|-1≤x<4),B=M∩N= {x0<x≤3)，根据差集定义可知A-B={x|-1≤x≤0)U {x|3<x<4}.故选C.] 二、9.BCD[解析：由U={2,3,4,5,6,7),M=(3,4,5,7, N={2,4,5,6},知CwM={2,6},CuN={3,7},MUN=U, (CeN)UM=M,(CM)∩N=CM.故选BCD.】 10.ACD[解析：对于A选项，A∩B=,Cu(A∩B)=U,即 (CuA)U(CuB)=U,所以该选项正确；对于B选项，若A= {1,2},B={3,4},A∩B=心，则该选项不正确；对于C选项， AUB=U,Cu(AUB)=d,即(CuA)∩(CuB)=,所以该 选项正确；对于D选项，根据集合关系AUB=⑦，则A=B= ☑显然正确.故选ACD.】 11.AB[解析：(CRT)∩S={x|一2≤x≤0或4≤x≤8}.故 选AB.] 12.AD[解析：对于A,利用反证法，假设x≤1和y≤1，则 x十y≤2，故与x十y>2矛盾，故A正确；当x=2时，2x=x2, 故B错误；当a=b=0时，满足a十b=0,但分=-1不成立，故 C错误；若m>0,则x2十m>0,若3x∈R,x2+m≤0，则m的 取值范围是{mm≤O},故D正确.故选AD.】 三、13.②③【解析：对于①，当m=0时，mx2+2x一1=0是 一元一次方程，①错误；对于②，令y=0,则2x-1=0,x=2, 所以函数y=2x一1的图象与x轴有一个交点，②正确；对于 ③，互相包含的两个集合相等，③正确；对于④，空集不是本身 的真子集，④错误.] 14.(m合≤m≤【解析：由题意不等式x一2m<1的 解为2m一1<x<2m+1,且1<x<2是2m-1<x2m+1的 2m-1≤1， 充分不必要条件，所以 且等号不能同时取得，则 2m+1≥2， 合<m<1.】 15.{mm>1}[解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不 m+1>-1, 必要条件，得A军B,即 即m>1.】 m+1>2, 16.{(x,y)x≠2或y≠3}{(x,y)|x=2,y=3}[解析：根 据题意，分析可得集合M可变形为M={(x,y)|y=x十1，x≠ 2},即直线y=x+1中除(2,3)之外的所有点，P= {(x,y)|y≠x十1}，为平面直角坐标系中除直线y=x十1外 的所有点；MUP={(x,y)x≠2，y≠3}，即平面直角坐标系 中除点(2,3)之外的所有点，所以C。(MUP)={(x,y)|x 2,y=3}.] 四、17.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称 量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，一p:存 21.证明：因为>号，所以函数)=一d2+ax十c的图象的对称 在一个x∈R,使x2+x十1≠0成立，即“3x∈R,使x2十x十 a 1≠0成立”. 轴方程为x=六且0<六1，当x=六时，y=子+6先 (2)由于“了x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量 证必要性：对于任意的x∈{z0<x≤1)，均有y≤1，即+ 词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否 定为“任意一个”，因此，p:对任意一个x都有x2十2x十5≤ c<1,所以≤子.即必要性成立.再证充分性：因为c≤子，当 0,即“Hx∈R,x2+2x+5≤0” x云时，y的最大值为子十≤+是-1，所以对于任意 18.解：(1)因为CuB={x|x<1或x>6},A={x|-3<x< x∈{x0≤x≤1}，y=-a2x2+ax十c≤1，即y≤1.即充分性 2},所以A∩CB={x|-3<x<1}. 成立 (2)AUB={x|-3<x≤6}.①当2a+1<a-1即a<-2时， 22.解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B”是 C=⑦二AUB;②当2a+1≥a-1即a≥-2时，要使CCAU 2m≥-1， a>-2, “x∈A”的充分条件，所以BCA,故 或2m≥1，解得 （a-1>-3, 2m<1 B,有 所以 又a≥-2，所以-2<a≤ 2a+1≤6， a 2 m≥- 综上可知，实数m的取值范围为mm心-之》。 2 号，所以实数a的取值范围是{aa<-2或-2<a≤号} 51 (2)因为A={x|一1≤x≤2}，所以CRA={x|x<一1或x 19.解：由已知得B={x|x≥-3} 2},又B∩(CRA)中只有一个整数，故B≠⑦，即2m<1,解得 (1)A∩B={x|-3≤x≤-2}. m<号，又这个整数必定是-2，故-3<2m<-2,所以-号≤ (2)AUB={x|x≥-4. m<-1,所以实数m的取值范围为-多≤m<-1: (3)CR(A∩B)={x|x<-3或x>-2}. 20.解：若选择①A∩B=心，则当A=⑦时，即a一1>2a+3,即 a≤一4时，满足题意；当A≠⑦时，即a一1≤2a十3，即a>一4 第二章学习检测 a>-4, a>-4, 时，A∩B=心时应满足 或 解得a≥5. 2a+3≤-7(a-1>4, 一、1.B[解析：由x2一2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为 x2一4x一5=0的两根为一1,5，故x2一4x一5>0的解集为 综上可知，实数a的取值范围是{aa≤-4或a≥5. {x|x<-1或x>5}.故选B.] 若选择②A∩(CRB)=A,则A是CRB的子集，CRB=(一∞， 2.B[解析：因为x-y=a2+b2十20一4(2b-a)=(a+2)2+ -7)U(4,十∞).当a-1≥2a十3，即a≤-4时，A=,满足 (b-4)2≥0，所以x≥y.故选B.] 题意；当a-1<2a十3，即a>-4时，A≠⑦，此时 3.A[解析：(1-2x)(x+1)<0化为(2x-1)(x+1)>0,解 a>-4, 「a>-4, 或 解得a≥5.综上知，a的取值范围是 2a+3≤-7a-1≥4， 得>号或x<-1.所以“x>号”是1-2)(x+1)<0的 {aa≤-4或a≥5} 充分不必要条件.故选A.】 若选择③A∩B=A,则A三B.当a-1<2a十3，即a≤一4时， 4.B[解析：因为一6≤a≤≤3，所以3-a≥0，a+6≥0，则由基 A=☑，满足题意；当a一1<2a十3，即a>一4时，A≠☑，应满 本不等式可知vV8-aa+<8-a士a+D=号，当且 2 a-1>-7, 足 解得-6≤a≤号.综上知，实数a的取值范围 2a+3≤4， 仅当3-a=a十6，即a=-号时，等号成立，故选B】 是{aa<} 5.B【解析：由题意可知正数a,b满足a十b=2,所以a+1十b+1_ 4 19 1,所以+希=(h+杀)+11-1+4叶 4 号+≥×6+2国)=是，当且仅当-+兰， a+1b+1 a+1b+1 即a=子，b=号时取等号.故选B】 6.B[解析：当x=0时，x2十ax+1=1≥0成立.当x≠0 时，ax≥-(r+1),a≥-(Ix+)恒成立.因为x+ ☆>2当且仅当1=1时，等号成立)，所以-(+问)≤ 一2.所以a>-2.故选B.】 7.A[解析：当0<ab<1时，若b>0,则a>0,此时有0<a< 六，若a<0,则<0，此时有合<b<0,所以，若0<ab<1,则 0<a<6或日<b<0,即0<ab<1→a<方或6>日：当a< 六或>2时，若a<方，不妨取a=-2,6=-1,则ab>1:若 b>日，不妨取6=2，a=1,则a6>1.所以0<ab<1<右或 b>。因此，0<ab<1”是a<名或6>日的充分不必要条 件.故选A.】 8B【解析：的+中1=x+1+士>≥1+22·子=3. x 当x=1时，y2取得最小值3，所以y1=(x一1)2+3.所以当 x=2时，(y)mx=4.故选B.] 二、9.CD[解析：因为△=(-1)2-4×2=-7<0，所以不等 式x2一x十2>0的解集为R,逐一验证可知，选项CD中的不 等式解集为R.故选CD.] 10.CD【解析：若a>0,0时，>6，则日>石，A错误若 c=0,则有ac2=bc2,B错误；若ac2>bc2,c2>0,则a>b,C正 确；由不等式的性质可知D正确.故选CD.】 1.AD【解析：由a+6=1,知3a+2十6T2 1 82+28+号-a10又因为ab≤(2生)'=子（当且 3b+2+3a+2 7 仅当a=b=之时，等号成立)，所以9b+10≤望，所以 9ab+0≥号.故选AD.1 7 20 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 12.ABC[解析：不等式x2一4ax十3a2<0(a<0)的解集为 {x|x1<x<x2〉，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 xx2=3a2,x1+x2=4a,xx2+x1十x2<0可化为3a2+4a< 0,解得-专<a<0,所以A正确；xx十x十x=3a2+4a= 3(a+号)广-号>≥-合，所以B正确：十+=4a+ 六因为a<0,所以-4a->2√一4a)·(一)=5， 即a十品≤一S,故十十的最大值为一9所以 C正确，D错误.故选ABC.】 三、13.8[解析：设矩形的一组邻边长为a,b,则该矩形的周 长为2(a+60),且。+6=8由不等式得生≤√号F √=2，当且仅当a=6=2时取等号，所以a十6≤4，所以 2(a十b)≤8，即该矩形周长的最大值为8.】 14.2[解析：不等式x2+2ax-8a2<0即(x-2a)(x十4a)< 0,结合a>0可得不等式的解集为-4a<x<2a,又x2一= 12,可得2a-(-4a)=12,解得a=2.] 15{a含<a<2【解折：A=-3<r<4,B=zx< -4或x>2},所以A∩B={x|2<x<4},x2-4ax+3a2= (x-3a)(x一a),若a<0,则3a<a,不等式x2-4ax+3a2<0 3a2, 的解集为{xl3a<x<a),要使C2(A∩B),则 无解； a≥4， 若a>0,则a<3a,不等式x2一4ax+3a2<0的解集为{xla< a≤2， x<3a},要使C口(A∩B),则 解得号<a<2.】 4≤3a, 16.a+b≤1 于6（a>0,b>0)a=b【解析：正方形的 2 边长为a十b(a>0,b>0),由勾股定理可得OA=√2(a十b), OB=BA=a2+b..OA≤OB+BA,∴.√2(a+b)≤ V@+不+V@+不，整理得a+,当且仅当a=6 时取等号.】 四、17.证明：因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab+b=2+3ab(a+ b)<2+3a+b.(a+0=2+3(a+b)°，所以(a+b)≤8，因 4 此a+b≤2 (x-4)>0.①若=4，即a=,则y=a(x-）: 18.证明：(a+)+(b+方)+(c+)= (x-4)>0的解集为xx≠4)：②若是<4，即>时，解 (a+中)+(0)+(c+)=4+(合+号)+ 得{<或x>4:回若日>4，即0<a<子时，解 (:+8)+(6+名)≥4+2+2+2=10，当且仅当a=b=c= 得{>或x<4 子时取等号，所以(e+日)+（计石）+(e+2)≥10 22.解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度y可表 19.解：(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，今年度用 示为：当0≤<4时=84，一4：当4K≤10时=20 电量增至，.十a,电力部门的收益为)=（一0.十a)(x 2z,则当0≤≤4时，由g4立一4>4，解得0≤x<8,所以此时 0.3)(0.55≤x≤0.75). 0≤x≤4.当4<x≤10时，由20一2x≥4，解得x≤≤8，所以此时 (2)依题意，有(92+a）x-0.3)≥[ax(0.8-0.3门· 4<x≤8.综合得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂， (1+20%)(0.55≤x≤0.75)，整理得x2-1.1x+0.3≥ 则有效净化时间可达8天。 0(0.55≤x≤0.75)，解此不等式，得0.60≤x≤0.75.所以当电 (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度y2= 价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比 2(6-7）+a[8-66-1]=10-x+0,-a 上年度至少增长20%. 20.解：(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由 14-0)+-a-4因为4长14-8，而1<a<4,所以 a2x=400,得a=20①.则S=(a十8)(ar+20)=a2x十 4≤4Va≤8，故2≥8va-a-4.当且仅当14-x=4va时，2 √x 有最小值为8va-a-4.令8Va-a-4≥4，解得24-16V2≤ (8x+20)a+160=400+(8x+20).20yD+160= 金 a≤4，所以a的最小值为24一162≈1.6. ）+4160(x>1). 第三章学习检测 280而(2t是）+4160≥80而X2√是 [2x+1≥0 4160=160+4160=5760.当且仅当2号，即z月 一、1.B[解析：由 3-4x≥0 解得一≤<子，所以函数 2.5时，等号成立，此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面 y=Vz+V3-的定义域为[-]，故选B】 积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米 2.A[解析：当x=-1时，y=0,排除D;当x=0时，y=1,排 21.解：(1)由y≥b得ax2-(4a十1)x+4-b>0,因为y≥b的 除C;当x=1时，y=2,排除B故选A.] 解集为(x1≤x≤2，放满足1+2=+中，1×2=4二b,解得 a a 3.C【解析：令受-1=1，则x=21+2.将x=21+2代入 a=-1,b=6. f(受-1)=2x+3,得f)=2(2+2)+3=41+7.所以 (2)原式因式分解可得y=a(x-是)(x一4)，当a=0时，y f(x)=4x+7,所以f(6)=4×6+7=31.故选C.】 -z+>0,解得<4当a<0时ya(x-日)(x-4)>0 4.C【解析：设幂函数y=r,则2=子，解得a=一2，所以 的解集为{日<<4，当a>0时y=a(-日)： y=x2,故函数y=x的单调递增区间是(-∞，0).故选C.】数学 第二章学习检测 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.不等式x2一2x-5>2x的解集是 A.{x|x≥5或x≤-1} B.{x|x>5或x<-1} C.{x|-1<x<5} D.{x|-1≤x≤5} 2.已知a,b满足等式x=a2十b2十20，y=4(2b一a),则x,y的大小关系是 A.x≤y B.x≥y C.x<y D.x>y 3.设x∈R,则“x>号”是(1-2z)(x十1D<0”的 製 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.√(3-a)(a十6)(-6≤a≤3)的最大值为 h 剂 城 A.9 C.3 ▣ 5.若正数a,6满足a+6=2,则2中十产7的最小值是 4 盟 A.1 R C.9 D.16 液 6.对一切实数x,不等式x2+ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是 A.{ala<-2} B.{aa≥-2} C.{a-2≤a≤2} D.{aa≥0} 7.若a,b为实数，则0<a1”是“a<云或>”的 丝 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知2<x≤2时y=2十6r十c(6,cER)与为=++1在同一点处取得相同的最小值，那 么当号≤x≤2时，n=x2十bx十c的最大值是 A号 B.4 C.8 D号 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.与不等式x2一x+2>0的解集相同的不等式是 A.x2+x-2>0 B.-x2+x-2>0C.-x2+x-2<0D.2x2-3x+2>0 10.对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中的真命题有 () A若a>6,则是君 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd 山.若正数a,6清足a十b=1,则十2十动十的可能取值为 A号 c D.9 12.已知关于x的不等式x2-4ax十3a<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2},则 A十十<0的解集为a-音<a<0 B十十的最小值为一青 C.十十a的最大值为-4y3 3 D十十的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角 形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为2√2， 则该矩形周长的最大值为 14.关于x的不等式x2+2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x=12,则a= 15.已知集合A={x|x2-x-12<0},集合B={x|x2+2x-8>0},集合C={x|x2-4ax+3a2< 0,a≠0}，若C口(A∩B),则实数a的取值范围是 16.如图，正方形的边长为a十b(a>0,b>0),请利用OA≤OB+BA,写出 一个简练优美的含有a,b的不等式： ,其中“=”成立的条 件为 .(本题第一空3分，第二空2分) 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 B 步骤。 17.(10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,求证：a十b≤2. 第16题 18.12分)已知a,6c都为正实数，且a+十c=l.求证：(a+)十(b+方)十(c+)≥l0, 19.(12分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到 0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算，下调电价 后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区电力的成本价 为0.3元/千瓦时. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k=0.2,当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？ 20.(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B,CD 的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成.已知休闲区A1B1CD1的面积为4000平方米，人行 道的宽分别为4米和10米（如图所示）. D )若设休闲区的长和宽的比B,C=z(x>1D,写出公园ABCD所占 D 正4米 面积S与x的关系式； A B4米 (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何 A可 B 10米 10米 设计？ 第20题 无敌原创·单元测试卷数学·必修第一册 21.(12分)已知函数y=ax2一(4a+1)x+4(a∈R). (1)若关于x的不等式ax2一(4a十1)x十4≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a,b的值； (2)解关于x的不等式ax2-（4a+1)x+4>0. 22.(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空 气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时， 816,一1：当4<x<10时，y=5一，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次 y=8-x 投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。 蜗 牛 (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？ (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来 的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值.（精确到0.1，参考数据：√2取1.4） IIIII1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111