专题06 条件概率4种常见考法归类讲义（36题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题06 条件概率4种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用定义求条件概率 考点二 缩小样本空间求条件概率 考点三 概率的乘法公式 考点四 条件概率的性质及应用 知识点1 条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 注：条件概率的3种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ . 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 知识点2　概率乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 知识点3　条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 注：1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． （5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． （6）求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解． 策略方法 1、利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 2、利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 3、概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想． (2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 4.条件概率的性质及应用 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 考点一 利用定义求条件概率 1．（2026高二·上海闵行·期中）投掷一颗骰子，记事件，，则__________. 【答案】/ 【分析】根据条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】投掷一颗骰子，样本空间为，则， 又，则， 所以 2．（2026高二·宁夏·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______. 【答案】/ 【详解】记事件“甲地下雨”，事件“乙地下雨”， 则由已知可得，， 由条件概率公式得， 解得. 3．（2026高二·海南·期中）海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】B 【详解】由题意，同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好足球”为事件，记“该同学爱好排球”为事件，则， 所以. 4．（2026高二·重庆江津·月考）甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为; 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为. 5．（2026高二·广东深圳·期中）甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，然后根据条件概率公式计算. 【详解】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则， ，， 所以. 6．（2026高二·江苏镇江·期中）在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设A事件为“经过3次摸球未能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”，求出，利用条件概率公式求解. 【详解】设A事件为“经过3次摸球没有能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”. 则 选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共种选法， 前4次摸球的情况数：这2个编号需至少各出现1次（否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编号”）， 因此前4次的情况数为（减去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况）， 第5次摸球：必须选第3个未被前4次摸到的编号，仅1种选法， 因此，事件B的情况数为，总摸球可能数为， 所以​，由题意， 所以. 7．（2026高二·重庆·期中）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】C 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 8．（2026高二·福建莆田·期中）盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的， 记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的， 则，， 由条件概率公式可得. 9．（2026高二·广东广州·期中）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．在至少抽到一名女生的情况下，恰好抽到一名男生的概率为___________． 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得. 【详解】设事件：至少抽到一名女生，事件：恰好抽到一名男生， 则，， 故所求概率为. 10．（2026高二·湖南长沙·月考）有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 【答案】/0.75 【分析】由题意求出同时报名两个项目的人数，根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】设事件A=“报名100米赛跑”，事件B=“报名200米赛跑”， 由题意得：40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑， 则同时报名两个项目的人数为：， 则 故，即某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为. 考点二 缩小样本空间求条件概率 11．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 12．（2026·广东湛江·模拟预测）在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法. 乙有2种选法，丙有3种选法，所以. 事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种. 丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以， 因此. 13．（2026高二·广东东莞·期中）一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”，分别得到和，根据条件概率公式求解即可. 【详解】在这2次摸球过程中，设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”， 则， ， 所以 14．（2026·广西贵港·模拟预测）从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出事件，分别计算出两事件的基本事件数，利用条件概率公式进行求解 【详解】设三数之和为3的倍数为事件，三个数可构成等差数列为事件， 中，除以3余数为0的有， 除以3余数为1的有，除以3余数为2的有， 要想三数之和为3的倍数，可以从中任选3个； 或中任选3个；或中任选3个； 或中选1个，中选1个，中选1个； 故， 若三个数构成等差数列，不妨设为，， 则，，所以三个数的和一定为3的倍数， 设公差为，则且为正整数，则， 又，故，所以且为正整数， 当时，为，共16种情况， 当时，为，共14种情况， 当时，为，共12种情况， 当时，为，共10种情况， 当时，为，共8种情况， 当时，为，共6种情况 当时，为，共4种情况， 当时，为，共2种情况， 所以， 故. 15．（2026高二·北京·期中）抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 【答案】/0.5 【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率. 【详解】甲投掷骰子可能出现的点数为：，乙投掷骰子可能出现的点数为：1，2， 3，4，5，6， 则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）： 一共有18种， 乙骰子的点数小于甲骰子点数的情况有： ，共有9种， 则甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为. 16．（2026·湖南岳阳·模拟预测）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 【答案】 【分析】设事件：“出现了正面朝上”，事件：“未出现连续3次正面朝上”，分别求出事件与事件可能的结果，利用条件的公式即可求解. 【详解】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，所有可能的结果共种； 设事件：“出现了正面朝上”，则可能的结果有种； 设事件：“未出现连续3次正面朝上”，包含以下种情况： (1)出现次正面朝上次反面朝上，可能的结果有种； (2)出现次正面朝上次反面朝上，可能的结果有种； (3)出现次正面朝上次反面朝上，且未出现连续3次正面朝上，可能的结果有种； (4)出现次正面朝上次反面朝上，且未出现连续3次正面朝上，可能的结果有种； (5)出现次反面朝上，可能的结果有种; 所以事件：“未出现连续3次正面朝上”，可能结果有种情况； 则事件可能的结果有种； 所以 17．（2026高二·山西晋中·期中）一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件为“两次掷骰子点数之和为4”，事件为“两次都是奇数点”， 事件（点数和为4）的所有等可能有序结果： 抛掷两次骰子，点数满足的结果为：，共3种， 事件的结果： 满足条件的结果为：，共2种， 由条件概率计算公式得：. 18．（2026高二·河北衡水·期中）鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件､2个中部件､2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，抽取的2个部件中至少有1个长部件的情况共有（种）， 其中2个部件均为长部件的情况有（种）， 故所求概率. 19．（2026高二·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲被安排两天值班有种情况， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班， 甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种． （2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种， 则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班， 故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种， 所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为． 考点三 概率的乘法公式 20．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 21．（2026高一·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 【答案】/0.125 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 22．（2026高二·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率乘法公式与随机事件的概率加法公式求出，再由对立事件的概率公式计算即得. 【详解】因为， 又由可得，即， 故. 23．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 24．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6/ 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 25．（2026高二·全国·课后作业）已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，求两次均取到不合格球的概率． 【答案】 【分析】法一：根据分步乘法计数原理及古典概型的概率公式求解即可； 法二：根据条件概率公式求解即可. 【详解】法一：所求事件的概率． 法二：用表示第次取到不合格球，． 则，， ． 26．（2026·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 【答案】 0.24/ 0.36/ 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得0分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 考点四 条件概率的性质及应用 27．（2026高二·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【答案】/0.5 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 28．（2026高二·河北承德·月考）已知事件A，B满足：，则__________． 【答案】 【详解】，, 所以. 29．（2026高二·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【详解】已知， ， ， ． 30．（2026高二·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率公式可得出的值，分析可知，且与互斥，利用互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 31．（2026高三·贵州贵阳·月考）对于随机事件，若，，，则_________. 【答案】 【分析】利用条件概率公式得到，从而. 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 32．（2026高二·江苏常州·期中）已知随机事件，则______.______. 【答案】 / / 【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果. 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 33．（2026高二·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则______________. 【答案】 【分析】根据条件概率的性质即可求解. 【详解】由可得，故, 故答案为：, 34．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 35．【多选】（2026高二·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 36．【多选】（2026高二·安徽滁州·期中）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】ACD 【详解】有限样本空间中，，且与相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为与互斥，所以，， 所以，所以C正确； 若，则， 所以，所以，所以与互斥，所以D正确. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题06 条件概率4种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用定义求条件概率 考点二 缩小样本空间求条件概率 考点三 概率的乘法公式 考点四 条件概率的性质及应用 知识点1 条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 注：条件概率的3种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ . 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 知识点2　概率乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 知识点3　条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 注：1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． （5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． （6）求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解． 策略方法 1、利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 2、利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 3、概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想． (2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 4.条件概率的性质及应用 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 考点一 利用定义求条件概率 1．（2026高二·上海闵行·期中）投掷一颗骰子，记事件，，则__________. 2．（2026高二·宁夏·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______. 3．（2026高二·海南·期中）海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 4．（2026高二·重庆江津·月考）甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高二·广东深圳·期中）甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·江苏镇江·期中）在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·重庆·期中）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 8．（2026高二·福建莆田·期中）盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·广东广州·期中）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．在至少抽到一名女生的情况下，恰好抽到一名男生的概率为___________． 10．（2026高二·湖南长沙·月考）有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 考点二 缩小样本空间求条件概率 11．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东湛江·模拟预测）在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二·广东东莞·期中）一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·广西贵港·模拟预测）从集合中任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·北京·期中）抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 16．（2026·湖南岳阳·模拟预测）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 17．（2026高二·山西晋中·期中）一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·河北衡水·期中）鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件､2个中部件､2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 考点三 概率的乘法公式 20．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 21．（2026高一·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 22．（2026高二·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 24．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 25．（2026高二·全国·课后作业）已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，求两次均取到不合格球的概率． 26．（2026·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 考点四 条件概率的性质及应用 27．（2026高二·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 28．（2026高二·河北承德·月考）已知事件A，B满足：，则__________． 29．（2026高二·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 30．（2026高二·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026高三·贵州贵阳·月考）对于随机事件，若，，，则_________. 32．（2026高二·江苏常州·期中）已知随机事件，则______.______. 33．（2026高二·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则______________. 34．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 35．【多选】（2026高二·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 36．【多选】（2026高二·安徽滁州·期中）在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 $