专题12 正态分布7种常见考法归类讲义（78题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题12 正态分布7种常见考法归类（78题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 正态密度函数 考点二 正态曲线及其性质 考点三 正态分布的简单概率计算 考点四 根据正态曲线的对称性求参数 考点五 正态分布的实际应用 考点六 标准正态分布 考点七 正态分布的综合应用 知识点1 正态曲线与正态分布 1．连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态的曲线的定义 我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 3．正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 注：1、正态曲线f(x)＝，x∈R中的参数μ，σ有何意义？ μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R. 2、若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？ 若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量． 知识点2　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 策略方法 一、正态密度函数的识别与参数理解 1.正态密度函数解析式 （1）表达式： （2）参数含义： ：均值（数学期望），决定对称轴位置； ：标准差，决定曲线胖瘦，； ：常数，。 2.识别步骤 （1）对照标准式，找到指数部分 ，得 ； （2）找到分母 与指数分母 ，确定 ； （3）写出对应正态分布：。 3.标准正态分布 （1）定义：，记作 ； （2）表达式：； （3）性质：偶函数，图象关于 对称。 二、正态曲线的性质与图像判断 1.核心性质 （1）非负性：曲线在 轴上方，； （2）对称性：关于直线 对称； （3）单峰性：在 处达到峰值 ； （4）面积为1：曲线与 轴围成面积为 1； （5）渐近线：向左右无限延伸，无限接近 轴。 2.参数对图像的影响 （1） 变化：曲线左右平移，形状不变； （2） 变化： 越小 → 曲线越瘦高 → 数据越集中； 越大 → 曲线越矮胖 → 数据越分散。 3.图像判断题思路 （1）看对称轴 → 定 大小； （2）看胖瘦 → 定 大小； （3）看峰值高低 → 峰值越高 越小。 三、正态分布的概率计算（最核心） 1.解题总思路 （1）确定 ，写出 ； （2）利用对称性将所求区间转化为已知特殊区间； （3）代入 概率值计算。 2.三个核心概率（必背） （1） （2） （3） 3.对称概率公式 （1） （2） （3） 4.单侧概率计算 （1） （2） 四、利用对称性求参数 1.适用题型 （1）给出 ，求 ； （2）给出区间对称概率关系，求均值。 2.通用公式 （1）若 ，则对称轴 ； （2）若 且对称，则 。 3.解题步骤 （1）列出对称条件； （2）代入中点公式求 ； （3）验证是否符合正态分布。 五、正态分布的实际应用 1.常见场景 （1）成绩分布、身高、体重、寿命、误差、质量指标； （2）生产质检、标准线划定、人数估计。 2.解题步骤 （1）由题意确定 ； （2）计算目标区间概率； （3）总人数 × 概率 = 估计人数。 3. 原则应用 （1）几乎所有数据落在 ； （2）超出此区间视为异常值； （3）实际生产中用于质量控制、故障检测。 六、标准正态分布与标准化变换 1.标准化公式 （1）若 ，令 ，则 ； （2）作用：统一转化为标准正态分布查表计算。 2.概率转化 （1） （2） 3.应用场景 （1）不同正态分布之间比较； （2）分数等级划分、选才分数线确定。 七、正态分布的综合应用 1.与二项分布结合 （1）先由正态分布求单次概率 ； （2）再判定 ，求分布列、期望、方差。 2.与全概率、条件概率结合 （1）多批次、多设备生产； （2）先算总合格概率，再算条件概率。 3.与最值、不等式结合 （1）利用对称性求概率最值； （2）结合均值、方差进行方案优选。 八、高频易错点 1.混淆 与 ：方差是 ，不是 ； 2.记错三个特殊区间概率数值； 3.对称性用反，左右区间搞混； 4.标准化变换时符号、分母出错； 5.实际问题中忘记“总概率=1”； 6.综合题未先求 直接计算。 考点一 正态密度函数 1．（2026高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 2．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 3．（2026高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 4．（2026高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 5．（2026高二·全国·课后作业）若随机变量的概率分布密度函数是偶函数，且该函数的最大值为．求函数的解析式． 【答案】 【分析】由是偶函数，求出；由函数的最大值为求出，即可得到的解析式． 【详解】因为是偶函数，所以其图像关于轴对称，即． 由，得．故． 6．（2026高二·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 【答案】①②③ 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故答案为：①②③ 7．【多选】（2026高二·山东·月考）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【答案】ACD 【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解. 【详解】对于A，根据正态密度曲线可知，， ，故，所以曲线关于直线对称正确； 对于B，当时，的峰值为，故不正确； 对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确； 对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确. 故选：ACD 8．（2026高三·全国·课后作业）在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 【答案】①③ 【分析】根据题意可得：，根据正态分布的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，其中，即正态分布的对称轴为， 对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确； 对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误． 故答案为：①③. 9．（2026高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 考点二 正态曲线及其性质 10．（2026高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 【答案】273 【分析】由图知：，利用原则可求出成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 故答案为：273. 11．（2026高三·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 【答案】B 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 12．（2026高二·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【详解】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 13．（2026高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 14．（2026高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【详解】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D 15．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 16．（2026高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 17．（2026高三·广东佛山·月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 18．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】C 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】由随机变量均服从正态分布，，， 结合正态概率密度函数的图象，可得，， 即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值， 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性. 故选：C. 20．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 21．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 22．【多选】（2026高二·浙江嘉兴·期中）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由图可知，由此可判断A； 由图可知Y分布更集中，有，由此可判断B； 由计算可判断C； 由可知，，可判断D． 【详解】对A，由图可知，所以A错误； 对B，由图可知Y分布更集中，所以，则，所以B错误； 对C，由正态分布，， 则，故C正确； 对D，由图可知，，所以，故D正确． 故选：CD. 23．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A：因为，所以，故A正确； 对B：，所以，又，所以，故B正确； 对C：因为， ， 所以，故C正确； 对D：根据正态分布的概念可知，故D错误. 考点三 正态分布的简单概率计算 24．（2026高二·山东济宁·期中）已知随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.7 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【详解】由正态分布性质，均值，根据正态分布对称性， ∴，∴. 25．（2026高二·江苏泰州·期中）若随机变量，且，则（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 【答案】B 【分析】借助正态分布概率的对称性计算即可得. 【详解】 . 26．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】/ 【分析】借助正态分布对称性计算即可得. 【详解】由题意可得. 27．（2026高二·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 28．（2026高二·浙江·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为随机变量，且， 所以， 所以. 29．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 30．【多选】（2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择. 【详解】对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 对B：因为，且， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误． 故选：AC. 31．【多选】（2026高二·河北沧州·月考）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质判断A、B；由对称性及特殊区间的性质判断C、D. 【详解】由题设，则，，A对，B错； ，C对；，D对. 故选：ACD 32．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （2）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （3）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率； （4）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率. 【详解】（1），． 所以． （2）∵该正态曲线关于直线对称， 所以． （3）∵该正态曲线关于直线对称， ， . （4）因为该正态曲线关于直线对称， ， ． 33．（2026高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正态分布的性质逐一求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，故. 考点四 根据正态曲线的对称性求参数 34．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以和的平均数为，即，解得. 35．（2026高二·湖南邵阳·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，解得. 36．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 37．（2026高二·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解本题. 【详解】已知随机变量，实数满足， 所以，解得. 38．（2026·四川自贡·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，可得. 因为，且. 39．（2026高二·广西柳州·期中）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________． 【答案】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数． 【详解】由题可知正态分布曲线关于对称， 又，所以，所以． 40．（2026高二·浙江宁波·期中）已知随机变量服从正态分布，，则________. 【答案】1 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，根据正态分布的对称性得 41．（2026·江西新余·模拟预测）已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 42．（2026高二·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 43．（2026·广西贵港·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布得到的关系式，从而消元，变形，利用基本不等式求出最值 【详解】，， 由正态分布的对称性可知，故， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 44．（2026·河北衡水·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 45．（2026·安徽池州·模拟预测）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 考点五 正态分布的实际应用 46．（2026高二·广西柳州·期中）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则， 则，所以分数在之间的考生约有1359人. 47．（2026高二·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 48．（2026高二·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解. 【详解】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. 49．（2026高三·全国·一轮复习）某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可得. 【详解】由题意知， ． 故选：B. 50．（2026高二·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】求出耗电量大于14kW·h/100km的汽车的概率，结合汽车总量1000即可得解. 【详解】由正态曲线的对称性知，， 于是耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有. 51．（2026高三·广东广州·专题练习）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 【答案】C 【分析】结合正态分布的对称性，依据已知概率区间确定A等级对应的分位数，计算得分数线. 【详解】已知成绩服从正态分布，则均值，标准差. A等级为成绩由高到低的前， 由，得. 计算，即A等级的分数线约为94. 故选：C 52．（2026高二·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 53．【多选】（2026·重庆渝中·模拟预测）芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 【答案】ACD 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】A，由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率， 即，故A正确； B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； C， ，故C正确； D，， 设， ， 解得，， 由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确. 54．【多选】（2026高二·湖南长沙·阶段检测）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】BCD 【分析】根据概率的性质以及条件概率的计算公式，即可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解C，利用二项分布，结合单调性即可求解D. 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A错误； 对于B，由A中结论可得，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设， 由， 解得，， 由，解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 55．【多选】（2026高三·河南·月考）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 56．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，则， ，所以A错误， 又，则， 所以，所以B正确， 又因为，所以C正确，D错误. 57．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 58．（2026高二·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 考点六 标准正态分布 59．（2026高二·全国·课后作业）已知，那么下列变量服从标准正态分布的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，计算，从而判断得，可得答案. 【详解】由题意， 设，则， . ∴ 故选：D 60．（2026高二·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则______． 【答案】0.7/ 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 61．（2026高三·山东济南·月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案． 【详解】解：因为随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 因为， 所以根据正态曲线的对称性可得，故选项B正确； 因为，，所以选项A错误； ，故选项C错误； 或，故选项D错误． 故选：B． 62．【多选】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 63．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】由可判断①，根据正态分布曲线的对称性可得可判断②③，由可判断④. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 因为，所以①不正确； 因为 ， 所以②正确，③不正确； 因为， 所以，所以④正确． 所以结论正确的是②④. 故选：D. 64．（2026·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 65．（2026高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 66．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 67．（2026高二·全国·寒假作业）产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，参考列方程即可求得； （2）根据对立事件的概率可得，从而可知指标在之内的件数服从二项分布，进而可求解. 【详解】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，即， 解得， 又，则，解得. （2）因为，所以，， 记指标在之内的件数为，则， 所以. 68．（2026·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】（1）根据表格由古典概型求解即可； （2）列出得7分的互斥事件，根据相互独立事件乘法公式及互斥事件和的概率公式求解; （3）由二项分布及正态分布的性质及所给结论建立不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 考点七 正态分布的综合应用 69．（2026高三·全国·专题练习）中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）（参考数据：） A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 【答案】B 【分析】设向上的点数为偶数的次数为X，易得，满足且，可得，，，进而结合正态分布的对称性求解. 【详解】投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，设向上的点数为偶数的次数为X， 则，，， 由于且，由中心极限定理可知， 且，， 因为， 故， 所以利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于1300的概率为. 故选：B. 70．（2026高三·云南·月考）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布对称性可得，，再结合二项分布运算求解． 【详解】由知， 则， ， 可知10名学生的成绩在65分以上的人数， 所以， 故选：C． 71．【多选】（2026·广东广州·模拟预测）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 72．【多选】（2026高三·福建龙岩·月考）随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差，再分析正态分布与二项分布的基本参数和性质，然后逐一验证选项的正确性. 【详解】对于正态分布，其期望和方差分别为3和1， 对于二项分布，有，， 选项A： ，，因此成立，故A正确； 选项B： ，，因此，故B错误； 选项C： 由于正态分布具有对称性，若，则，故C正确； 选项D： 对于二项分布，其概率公式为 ， ， 而，故D正确. 故选：ACD. 73．（2026高二·山西长治·期中）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先应用正态分布求解概率再应用全概率公式计算求解； （2）应用二项分布得出概率及分布列，最后应用二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为 ， 乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为 从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为， 由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是 （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P 所以 74．（2026·上海·模拟预测）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 75．（2026·河南开封·模拟预测）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 76．（2026高三·江苏扬州·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 77．（2026·江西萍乡·模拟预测）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【答案】(1)9545件 (2) Y 0 1 2 3 4 P ． 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 故为“特等品”，即“特等品”的概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 78．（2026·上海嘉定·模拟预测）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【答案】(1) (2)，判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守. (3)，元 【分析】（1）根据转化公式化为标准正态分布，根据参考数据利用对称性求解； （2）由题意转化为二项分布，根据二项分布求概率，由结果分析规则的合理性即可； （3）根据二项分布求出对应概率，再由二项分布求期望即可. 【详解】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题12 正态分布7种常见考法归类（78题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 正态密度函数 考点二 正态曲线及其性质 考点三 正态分布的简单概率计算 考点四 根据正态曲线的对称性求参数 考点五 正态分布的实际应用 考点六 标准正态分布 考点七 正态分布的综合应用 知识点1 正态曲线与正态分布 1．连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态的曲线的定义 我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 3．正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 注：1、正态曲线f(x)＝，x∈R中的参数μ，σ有何意义？ μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R. 2、若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？ 若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量． 知识点2　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 策略方法 一、正态密度函数的识别与参数理解 1.正态密度函数解析式 （1）表达式： （2）参数含义： ：均值（数学期望），决定对称轴位置； ：标准差，决定曲线胖瘦，； ：常数，。 2.识别步骤 （1）对照标准式，找到指数部分 ，得 ； （2）找到分母 与指数分母 ，确定 ； （3）写出对应正态分布：。 3.标准正态分布 （1）定义：，记作 ； （2）表达式：； （3）性质：偶函数，图象关于 对称。 二、正态曲线的性质与图像判断 1.核心性质 （1）非负性：曲线在 轴上方，； （2）对称性：关于直线 对称； （3）单峰性：在 处达到峰值 ； （4）面积为1：曲线与 轴围成面积为 1； （5）渐近线：向左右无限延伸，无限接近 轴。 2.参数对图像的影响 （1） 变化：曲线左右平移，形状不变； （2） 变化： 越小 → 曲线越瘦高 → 数据越集中； 越大 → 曲线越矮胖 → 数据越分散。 3.图像判断题思路 （1）看对称轴 → 定 大小； （2）看胖瘦 → 定 大小； （3）看峰值高低 → 峰值越高 越小。 三、正态分布的概率计算（最核心） 1.解题总思路 （1）确定 ，写出 ； （2）利用对称性将所求区间转化为已知特殊区间； （3）代入 概率值计算。 2.三个核心概率（必背） （1） （2） （3） 3.对称概率公式 （1） （2） （3） 4.单侧概率计算 （1） （2） 四、利用对称性求参数 1.适用题型 （1）给出 ，求 ； （2）给出区间对称概率关系，求均值。 2.通用公式 （1）若 ，则对称轴 ； （2）若 且对称，则 。 3.解题步骤 （1）列出对称条件； （2）代入中点公式求 ； （3）验证是否符合正态分布。 五、正态分布的实际应用 1.常见场景 （1）成绩分布、身高、体重、寿命、误差、质量指标； （2）生产质检、标准线划定、人数估计。 2.解题步骤 （1）由题意确定 ； （2）计算目标区间概率； （3）总人数 × 概率 = 估计人数。 3. 原则应用 （1）几乎所有数据落在 ； （2）超出此区间视为异常值； （3）实际生产中用于质量控制、故障检测。 六、标准正态分布与标准化变换 1.标准化公式 （1）若 ，令 ，则 ； （2）作用：统一转化为标准正态分布查表计算。 2.概率转化 （1） （2） 3.应用场景 （1）不同正态分布之间比较； （2）分数等级划分、选才分数线确定。 七、正态分布的综合应用 1.与二项分布结合 （1）先由正态分布求单次概率 ； （2）再判定 ，求分布列、期望、方差。 2.与全概率、条件概率结合 （1）多批次、多设备生产； （2）先算总合格概率，再算条件概率。 3.与最值、不等式结合 （1）利用对称性求概率最值； （2）结合均值、方差进行方案优选。 八、高频易错点 1.混淆 与 ：方差是 ，不是 ； 2.记错三个特殊区间概率数值； 3.对称性用反，左右区间搞混； 4.标准化变换时符号、分母出错； 5.实际问题中忘记“总概率=1”； 6.综合题未先求 直接计算。 考点一 正态密度函数 1．（2026高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 2．（2026·上海浦东新·模拟预测）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 3．（2026高二·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．   C．   D．   5．（2026高二·全国·课后作业）若随机变量的概率分布密度函数是偶函数，且该函数的最大值为．求函数的解析式． 6．（2026高二·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 7．【多选】（2026高二·山东·月考）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 8．（2026高三·全国·课后作业）在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 9．（2026高二·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 考点二 正态曲线及其性质 10．（2026高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 11．（2026高三·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 12．（2026高二·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 13．（2026高二·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（2026高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 16．（2026高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 17．（2026高三·广东佛山·月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 19．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 20．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 21．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 22．【多选】（2026高二·浙江嘉兴·期中）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 23．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三 正态分布的简单概率计算 24．（2026高二·山东济宁·期中）已知随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.7 C．0.6 D．0.8 25．（2026高二·江苏泰州·期中）若随机变量，且，则（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 26．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 27．（2026高二·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 28．（2026高二·浙江·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8 29．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 30．【多选】（2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 31．【多选】（2026高二·河北沧州·月考）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（2026高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 考点四 根据正态曲线的对称性求参数 34．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 35．（2026高二·湖南邵阳·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 36．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 37．（2026高二·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 38．（2026·四川自贡·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 39．（2026高二·广西柳州·期中）设随机变量服从正态分布，且，若，则__________． 40．（2026高二·浙江宁波·期中）已知随机变量服从正态分布，，则________. 41．（2026·江西新余·模拟预测）已知随机变量，且，则___________ 42．（2026高二·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 43．（2026·广西贵港·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 44．（2026·河北衡水·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 45．（2026·安徽池州·模拟预测）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 考点五 正态分布的实际应用 46．（2026高二·广西柳州·期中）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有， A．1359人 B．1569人 C．2719人 D．3409人 47．（2026高二·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 48．（2026高二·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 49．（2026高三·全国·一轮复习）某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 50．（2026高二·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 51．（2026高三·广东广州·专题练习）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 52．（2026高二·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 53．【多选】（2026·重庆渝中·模拟预测）芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 54．【多选】（2026高二·湖南长沙·阶段检测）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 55．【多选】（2026高三·河南·月考）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 56．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 57．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 58．（2026高二·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 考点六 标准正态分布 59．（2026高二·全国·课后作业）已知，那么下列变量服从标准正态分布的是（    ） A． B． C． D． 60．（2026高二·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则______． 61．（2026高三·山东济南·月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 62．【多选】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 63．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 64．（2026·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 65．（2026高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 66．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 67．（2026高二·全国·寒假作业）产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 68．（2026·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 考点七 正态分布的综合应用 69．（2026高三·全国·专题练习）中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）（参考数据：） A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 70．（2026高三·云南·月考）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 71．【多选】（2026·广东广州·模拟预测）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 72．【多选】（2026高三·福建龙岩·月考）随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，则（    ） A． B． C． D． 73．（2026高二·山西长治·期中）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 74．（2026·上海·模拟预测）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 75．（2026·河南开封·模拟预测）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 76．（2026高三·江苏扬州·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 77．（2026·江西萍乡·模拟预测）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 78．（2026·上海嘉定·模拟预测）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. $