精品解析：广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. 15 B. C. 2 D. 3 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 6. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（ ）米 A. B. C. D. 8. 已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 的实部为 C. D. 若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 10. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 11. 已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 13. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________． 14. 如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. （1）求五面体的体积； （2）若在线段上，平面，求的长度. 16. 是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且． （1）用，来表示和； （2）若的面积为3，求的面积； （3）若，求的值． 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角的值． （2）若的面积为，求线段长度的最小值． 18. 几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形. （1）当时， ①求三角形的面积. ②若，求m、n. （2）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. 15 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和模长公式计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故选：D. 3. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可. 【详解】以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 4. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据正方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 由题知，所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 5. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 6. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意转化为两圆锥的体积比，进而求得相似比，得到高的关系式，解之即可得解. 【详解】根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高分别为3， 设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为， 因为沙子体积占该沙漏容积的，即，可得， 设沙子堆积成的圆台的高为，所以，解得， 所以沙子堆积成的圆台的高为. 故选：A. 7. 如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将实际问题抽象出几何图形，在多个三角形中解三角形，从而得出实际问题的解. 【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为. 由题意可知，，，，， ， 在中，， 即， ； 在中，， 且， 由正弦定理得，， 即，即， 在中，， 又，. 由余弦定理得，， 解得. 8. 已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD， 则四边形AEDF为所求的截面，后由几何知识可得截面面积. 【详解】解析：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面. 在中，由，，得. 在中，由，，得. 因为为的中点，所以由平面几何知识可知，. 所以，，即为AG的中点，所以. 又由，可得， 又，，所以. 在中，由，，得，所以. 所以在中，有，，， 即，所以.又注意到， ， 则四边形AEDF的面积为. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 的实部为 C. D. 若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，利用复数的运算及模长的计算公式，即可判断正误；对B，根据题设定义可得的实部为，即可求解；对C利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解；对D，根据题设可得，再分取奇和偶，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 10. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意结合圆台与球的表面积、体积公式逐项分析判断. 【详解】由切线长定理易得，A正确； 由勾股定理知，解得，B正确； 因为， ， 所以正确； 因为，当且仅当时，等号成立， 这与圆台的定义矛盾，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】把平方，利用向量的运算法则可得答案. 【详解】由于 ， ，  均为单位向量，故 ， ， . 给定 ，对两边取模的平方得： 代入 ，得： ， 解得： ，. 故答案为： 13. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先设边长应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出即可求解． 【详解】在中，， 又，则， 设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即， 又，解得，则. 14. 如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________． 【答案】222 【解析】 【分析】根据给定条件，利用有孔立方体的表面积的意义，结合棱柱侧面积公式计算得解. 【详解】依题意，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积， 6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为， 所以这个有孔立方体的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. （1）求五面体的体积； （2）若在线段上，平面，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【小问1详解】 解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. 【小问2详解】 解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 16. 是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且． （1）用，来表示和； （2）若的面积为3，求的面积； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由已知， 为重心，所以. . 【小问2详解】 由（1），所以， 所以. 【小问3详解】 为的外心，设中点，则， . 17. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角的值． （2）若的面积为，求线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得，可求； （2）由三角形面积公式可求得，利用向量数量积的运算律可求得，结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为， 所以， 所以， 所以， 即， 即. 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为的面积为，即， 所以. 因为， 所以， 所以 ． 当且仅当，即时，等号成立， 所以线段长度的最小值为. 18. 几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 【答案】（1） 证明：记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面 所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又为等腰三角形，，所以, 所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面； （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知，，得， 故，又因为，所以， 则有，故. 19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形. （1）当时， ①求三角形的面积. ②若，求m、n. （2）若，求的最小值. 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】（1）依据已知条件先求出、和，进而求出，则①由即可求解；②法一（坐标法）：作于点M，由得，依次求出和进而求出，则以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出、和即可由求出；法二（向量法）：先求得，，作于点M，接着又由数量积定义公式和投影几何意义得，，进而得，，再利用和求出和即可求解. （2）设与相交于点Q，得，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，有，设，，由余弦定理以及等面积法，结合三角恒等变换可得关于的表达式，再利用基本不等式可求得最值. 【小问1详解】 当时，由条件知，，， 所以，， 所以 ， ①三角形的面积为. ②方法一（坐标法）：作交于点M， 由①知，同理， 所以， ， 所以， 以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以， 所以，. 方法二（向量法）：因为，，，， 所以，， 作于点M，则，， 所以， ， 所以，. 由①知，同理， 所以， ， 所以， 所以，. 【小问2详解】 设与相交于点Q，则且， 所以， 又，所以， 所以， 所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E， 则，设，， 由余弦定理知， 又在中由等面积法知， 所以，所以， 又正三角形的高为，所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即，即时，取得最小值为. 【点睛】思路点睛：对于求最小值，可先设与相交于点Q，由三点共线结合得，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交与点E，于是有，设，，接着由余弦定理得及在中由等面积法得，再由即可得，结合三角恒等变换公式可得关于的表达式，再利用基本不等式即可得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $