题号猜押05安徽中考数学21～23题（解答题）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押05 安徽中考数学21-23题（解答题） 考点1 统计与概率 1．（2026•安徽模拟）为了解安徽五个地区的游客自驾到黄山景区的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地（皖A—合肥、皖B—芜湖、皖C—蚌埠、皖D—淮南、其他安徽地区）的不同，绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）小桐共调查了　200　 辆车，“其他安徽地区”对应扇形的圆心角为　118.8°　 °； （2）依据相关数据，补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有600辆安徽地区自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖A—合肥”的车有多少辆． 【解答】解：（1）∵24÷12%＝200（辆）， ∴“其他安徽地区”车辆数为：200﹣（80+24+18+12）＝66（辆）， ∴， 故答案为：200，118.8°； （2）补全条形统计图如图所示． （3）（辆）， 答：估计其中车牌号归属地为“皖A—合肥”的车有240辆． 2．（2026•萧县一模）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如图的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）扇形统计图中的m＝　45　 ，补全条形统计图． （2）求这个班的学生投中次数的平均数、中位数． （3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率． 【解答】解：（1）九年级（1）班人数为：12÷30%＝40（人）， 投中2次的人数为40﹣2﹣12﹣8＝18（人）， 投中2次所占的百分比为，即m＝45， 补全条形统计图如下， 故答案为：45； （2）平均数为（次）， 中位数为（次）； （3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率，则： 将四名学生分别标记为男1、男2、女1、女2， 从这4人中随机抽出3人有①男1、男2、女1；②男1、男2、女2；③男1、女1、女2；④男2、女1、女2，这4种等可能结果； 其中刚好是2名男生1名女生的结果有2种， ∴概率． 3．（2026•安徽三模）安徽是我国黄淮海优质小麦核心产区，淮北平原为省内小麦种植核心区．为对比本地常规种植小麦与良种繁育试验田的小麦生长性状，农技人员分别从普通种植农田和良种繁育试验田中，各随机抽取20个采样点，测量小麦成熟株高（单位：cm，数据均为整数，且不低于60cm）．现对测量数据进行整理、描述和分析，小麦株高用x表示，共分四组：A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C．70≤x＜80；D．60≤x＜70． 下面给出了部分信息： 普通种植农田20个采样点的株高数据在B组中的是：81，82，82，83，83，83，88． 良种繁育试验田20个采样点的株高数据是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 两类农田采样点小麦株高统计表 地块类型 普通种植农田 良种繁育试验田 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 83 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　82.5　 ，b＝　86　 ，m＝　30　 ； （2）株高越高，说明小麦长势更好，根据以上数据，你认为哪类农田的小麦生长长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩，按本次抽样标准，请估计该片区两类农田中，小麦株高不低于90cm的总面积共是多少亩？ 【解答】解：（1）普通种植农田20个采样点的株高数据在C组和D组的共20×（25%+10%）＝7株， 结合B组数据可知第10个数据和第11个数据分别为82和83， ∴中位数； 由于B组有7个数据， ∴A组数据为20﹣7﹣7＝6， ∴， ∴m＝30； ∵株高数据中出现次数最多的为86， ∴b＝86． （2）良种繁育试验田的小麦生长长势更好． 理由：两类农田小麦株高的平均数相同，但良种繁育试验田的中位数83大于普通种植农田的中位数82.5，说明良种试验田有一半以上的小麦株高不低于83cm，中间水平的小麦长势更优．（或其他合理理由：良种试验田的众数86大于普通农田的众数83，说明试验田小麦株高的集中水平更高；试验田株高不低于90cm的样本占比25%，高株小麦占比更高等）； （3）该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩， （亩）． 答：估计该片区两类农田中，小麦株高不低于90cm的总面积共为293亩． 4．（2026春•临泉县月考）“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 【解答】解：（1）根据题意得：小明抽取到写有“爱”字卡片的概率为； （2）根据题意，列出表格，如下： 爱 你 老 己 爱 你、爱 老、爱 己、爱 你 爱、你 老、你 己、你 老 爱、老 你、老 己、老 己 爱、己 你、己 老、己 一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种， 所以能凑成“老己”这个词的概率． 5．（2026春•庐江县月考）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，78，72，91，80，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 甲班 5 4 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.6 乙班 80 80 80，85 C 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　79　 ，b＝　78　 ； （2）请计算出乙班的方差c； （3）请你根据以上信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由． 【解答】解：（1）由题意，将甲班的成绩重新排列为：70，71，72，78，78，80，85，86，89，91，∴中位数为79， ∴a＝79， 根据数据可知甲班成绩的众数b＝78， 故答案为：79，78； （2）由乙班的成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81， ∴平均数为80， ∴方差c[（85﹣80）2+（80﹣80）2+（77﹣80）2+（85﹣80）2+（80﹣80）2+（73﹣80）2+（90﹣80）2+（74﹣80）2+（75﹣80）2+（81﹣80）2]＝27； （3）总体乙班成绩比较好，理由： ∵乙班成绩与甲班成绩的平均数相同，中位数、众数高于甲班；方差小于甲班，代表乙班成绩更稳定， ∴总体乙班成绩比较好． 6．（2026•镜湖区校级一模）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 （1）写出表中m，n的值； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，则　＞　 （填“＞”“＝”或“＜”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟．实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是　③　 （写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 【解答】解：（1）由题意，将甲这七天的运动时长按照从小大到大排列：6（0分），6（0分），6（6分），6（6分），7（0分），7（0分），7（0分）， ∵甲共有7个数据， ∴中位数为6（6分），即m＝66， ∵甲运动时长为7（0分）的天数最多， ∴众数为7（0分），即n＝70； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴． 故答案为：＞； （3）把甲中的一个60换成70后， 新数据是： 6（0分），6（6分），6（6分），7（0分），7（0分），7（0分），7（0分）， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 7．（2026•六安一模）综合与实践：农作物产量分析与推广决策 【项目背景】安徽省某农业科研团队为科学推广高产稳产农作物，对本地两种主要作物——甲作物与乙作物的产量情况进行抽样调查，分别从种植甲、乙作物的农田中随机抽取20块面积相同的试验田，记录每块田的产量（单位：千克），并进行统计分析，为后续大面积推广提供数据支持． 【数据收集与整理】 甲作物产量数据（20块田，已按从小到大排序，经计算甲作物产量数据的方差约为1630）： 200，210，220，230，235，240，245，250，255，260，265，270，275，280，285，290，295，300，305，310 乙作物产量频数分布表（按组统计，经计算乙作物产量数据的方差约为2581）： 组别 产量范围（千克） 组中值（千克） 频数 A 200≤x＜220 210 2 B 220≤x＜240 230 3 C 240≤x＜260 250 a D 260≤x＜280 270 4 E 280≤x＜300 290 2 F 300≤x≤320 310 1 （1）任务一填空：a＝　8　 ，甲作物产量的中位数为　262.5　 ； （2）任务二计算乙作物产量的平均数（使用组中值计算）； （3）任务三下列说法正确的一项是　②　 ；（填序号） ①甲作物产量的中位数比乙作物产量的中位数小． ②乙作物产量的众数不一定在C组． ③甲作物和乙作物的平均产量相等． （4）任务四推广决策 若要选择一种农作物进行大面积推广种植，根据抽样数据和计算结果，从平均产量和产量稳定性两方面来考虑，选择　甲　 种作物更合适．（填“甲”或“乙”） 【解答】解：（1）∵频数之和为20， ∴2+3+a+4+2+1＝20， 解得a＝8， ∵甲共20个数据，第10个数为260，第11个数为265， ∴甲的中位数为； 故答案为：8，262.5； （2）乙作物的平均数为 ； （3）①∵甲的中位数为262.5，乙数据的总个数为20，中位数为第10个和第11个数据的平均数，这两个数据都落在C组，即乙作物产量的中位数＜260， ∴甲作物产量的中位数比乙作物产量的中位数大，故①错误； ②众数是具体数值，不一定在频数最大的C组，故②正确； ③200+210+220+230+235+240+245+250+255+260+265+270+275+280+285+290+295+300+305+310＝5220， ， ∴甲作物和乙作物的平均产量不相等，故③错误； 故选：②； （4）若要选择一种农作物进行大面积推广种植，根据抽样数据和计算结果，从平均产量和产量稳定性两方面来考虑，则： ∵，甲的方差为1630，乙的方差为2581，即甲的方差小于乙的方差， ∴甲平均产量更高，且甲的产量更稳定，故选甲． 8．（2026•肥西县一模）新课标项目式学习探究综合与实践 【项目背景】 农业作为人类最基本的生产活动之一，关乎人类的生存和发展．两个数学兴趣小组分别前往甲、乙两个小麦种植基地，对两处基地的小麦长势进行调查统计，分析不同的自然环境对小麦长势的影响． 【数据收集与整理】 从甲、乙两处种植基地各随机抽取100株麦苗，在技术人员的指导下，测量每株麦苗的苗高（单位：cm）．将所收集的甲、乙两基地的样本数据进行分组，分别绘制了如下统计表1和扇形统计图． 表1甲基地样本数据统计表 苗高/cm 12 13 14 15 16 样本个数 12 15 30 a 5 【数据分析与运用】 对甲、乙两基地样本数据进行计算，结果如表2所示： 表2甲、乙两基地样本数据统计量 平均数/cm 中位数/cm 众数/cm 方差 甲 14.09 b 15 1.20 乙 14.21 14 c 0.91 请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务1填空：a＝　38　 ． （2）任务2乙基地样本数据中，苗高为15cm的麦苗有　31　 株． （3）任务3下列结论正确的是　①③　 （填正确结论的序号）． ①甲、乙两基地样本数据的中等水平相同； ②两基地样本数据中，众数均为15cm； ③乙基地的麦苗长势较齐． （4）任务4农科院某小麦课题研究组想从甲、乙两基地中选择一个麦苗长势又高又整齐的基地进行实验，请你为该课题组推荐一个基地，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意，∵共抽取100株麦苗， ∴a＝100﹣12﹣15﹣30﹣5＝38． 故答案为：38； （2）由扇形图可得，13cm苗高对应的圆心角为36°， ∴13cm苗高的占比为， ∴15cm苗高的占比：1﹣48%﹣10%﹣3%﹣2%﹣6%＝31%， ∴15cm苗高的株数：100×31%＝31（株）． 故答案为：31； （3）①：由题意得，甲基地100个数据的中位数是第50、51个数据的平均数， 由表格可得，12cm和13cm有12+15＝27（个），14cm有27+30＝57（个）， ∴第50、51个数据均为14cm，甲的中位数为14，与乙的中位数14相同，中等水平相同，①正确； ②：甲的众数为15，乙的14cm苗高占比48%（最高）， ∴乙的众数为14，二者众数不同，②错误． ③：由题意，∵乙的方差0.91小于甲的1.20， ∴根据“方差越小，数据越稳定（长势越整齐）”，则乙基地麦苗长势更齐，③正确． 故答案为：①③； （4）选择乙基地，理由如下： 乙基地样本数据的平均数高于甲基地，且方差小于甲基地，说明乙基地的麦苗长势又高又整齐． 9．（2026春•安徽月考）物理变化与化学变化存在于我们生活中的方方面面，小明将常见的4种生活现象：A．光合作用，B．葡萄酿酒，C．冰雪融化，D．衣服晾干，分别写在四张不透明的卡片正面，卡片除字母和内容外，其余完全相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（注：生成新物质的变化叫做化学变化，A，B为化学变化，没有生成新物质的变化叫做物理变化，C，D为物理变化） （1）小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是　　 ；（直接写结果） （2）小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求两张卡片均为物理变化的概率． 【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 抽到的两张卡片均为物理变化的结果有2个，共有12个等可能的结果， ∴概率为． 10．（2026•南陵县一模）综合与实践 GDP一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市GDP值，为安徽省经济蓝图发展提出建议． 将收集的数据进行如下分组： 组别 A B C D x x≥2000 1500≤x＜2000 1000≤x＜1500 x＜1000 绘制2023，2025上半年安徽省各市GDP频数分布直方图 （1）任务一：分别补全上述两幅条形统计图； （2）任务二：单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布） 2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030 2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135 2023年上半年16市GDP数据中位数是a，2025年上半年16市GDP数据中位数是b，则a＝　1061　 ，b＝　1268　 ； （3）任务三：下列说法正确的是　①③　 ； ①相比2023年，2025年A组个数增加50%； ②相比2023年，2025年D组个数减少20%； ③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则． （4）任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出1～2条合理的建议． 【解答】解：（1）2023年D组个数为：16﹣2﹣2﹣6＝6（个）， 2025年B组个数为：16﹣3﹣6﹣5＝2（个） （2）2023年上半年16市GDP数据中位数是a，2025年上半年16市GDP数据中位数是b，则： 根据题意，16个数据从小到大排列，中位数是第8个和第9个数据的平均数， ∵2023年中，A组2个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组6个城市， ∴2023年中，中位数为C组的第2个和第3个数据的平均数， ∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409， ∴中位数； ∵2025年中，A组3个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组5个城市， ∴2025年中，中位数为C组的第3个和第4个数据的平均数， ∵2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462， ∴中位数； 故答案为：1061；1268； （3）由题意可得： ∴相比2023年，2025年A组个数增加了，故①正确； ∵2023年D组6个城市，2025年D组5个城市， ∴相比2023年，2025年D组个数减少了，故②错误； ∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409，2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462，2023年C组值波动较大， ∴，故③正确； （4）从数据来看，安徽省经济呈现发展趋势，建议加大经济较弱地区的扶持，实现共同富裕． 考点2 几何综合 11．（2026•临泉县模拟）如图1，△ACB，△DCE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AB，DE交于点F． （1）求证：AF＝EF； （2）如图2，连接CF，过点A作AG⊥AC交CF延长线于点G，过点B作BH⊥BC交CE延长线于点H． ①求证：∠G＝∠DCG； ②若CH＝5，，求CF的长． 【解答】（1）证明：如图1，连接AE， ∵△ACB，△DCE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝∠CED＝∠D＝45°，AC＝EC＝CD＝BC， ∴∠CAE＝∠CEA． ∵∠CAB＝∠CED＝45°， ∴∠CAE﹣∠CAB＝∠CEA﹣∠CED，即∠FAE＝∠FEA， ∴AF＝EF． （2）①证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， ∴∠DCA＝∠BCE， ∵AC＝CE，CF＝CF，AF＝EF， ∴△ACF≌△ECF（SSS）， ∴∠ACF＝∠ECF， ∴∠DCG＝∠BCG． ∵AG⊥AC， ∴∠GAC＝90°， ∴∠GAC+∠ACB＝90°， ∴AG∥CB， ∴∠G＝∠BCG， ∴∠G＝∠DCG． ②解：如图2，延长CD，GA交于点M， ∵∠MCA＝∠BCH，CA＝CB，∠CAM＝∠CBH＝90°， ∴△CAM≌△CBH（ASA）， ∴CM＝CH＝5． ∵∠G＝∠DCG， ∴MC＝MG＝5． 设AG＝x， 则MC2﹣AM2＝AC2＝CG2﹣AG2，即， 解得：x＝2， 则AG＝2， ∴． ∵AG∥CB， ∴△BCF∽△AGF， ∴， ∴， ∴． 12．（2026•蜀山区校级一模）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）求证：CE＝CF； （2）若BC＝6，CE＝3，求AE的长； （3）如图2，在AC上取点G使AG＝CE，连接FG，求证：FG∥AB． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠CBE＝∠ABE， ∵∠BDC＝90°，∠ACB＝90°， ∴在△BCE和△BDF中，∠BCE＝∠BDF＝90°，∠CBE＝∠DBF， ∴∠CEB＝∠DFB， 又∵∠CFE＝∠DFB， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CE＝CF； （2）解：由题意可得：∠BCF+∠ECF＝90°，∠A+∠ECF＝90°， ∴∠BCF＝∠A， 又∵∠CBE＝∠ABE， ∴△BCF∽△BAE， ∴，即， ∴AB＝2AE， 设AE＝x，则AB＝2x， 在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2， ∴62+（x+3）2＝（2x）2， 解得∴x＝5或﹣3（舍负）， ∴AE＝x＝5； （3）证明：在BA上截取BM＝BC，连接FM，如图， 在△BCF和△BMF中， ， ∴△BCF≌△BMF（SAS）， ∴∠BCF＝∠BMF，CF＝FM， 由（2）知∠BCF＝∠A， ∴∠BMF＝∠A， ∴FM∥AG， 由（1）知CE＝CF， 又∵AG＝CE，CF＝FM， ∴FM＝AG， ∴四边形AGFM为平行四边形， ∴FG∥AB． 13．（2026•六安一模）在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点H，交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接DG，BG，BC与DG交于点I． （1）求证：BG＝DG； （2）求证：AH2+GF2＝HG2； （3）若AD＝4，AB＝2，求EI的长度． 【解答】（1）证明：连接CG， ∵矩形ABCD， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠ADF＝∠BCD＝90°， ∵， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴DF＝AD，∠F＝45°， ∴BC＝DF，△ECF是等腰直角三角形， ∴，， 在△BCG和△DFG中， ∴△BCG≌△DFG（SAS）， ∴BG＝DG； （2）证明：设AB＝a，AD＝b， 则：DF＝AD＝b，，则， ∵CD＝AB＝a，AB∥DC， ∴△ABH∽△FDH， ∴， ∴，解得， ∴， 由题意可得： ， ∵， ∴， ∴，， ∴AH2+GF2＝HG2； （3）解：由题意可得：AB＝a＝2，AD＝b＝4， 则，， ∴， ∵AD∥BC， ∴△GEI∽△GAD， ∴，即， ∴． 14．（2026•蚌山区校级模拟）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，点B，C，G在同一直线上，连接BE，DG，EG． （1）求证：BE＝DG； （2）若EF＝1，当DG所在直线平分BE时，求AB的值； （3）如图2，连接AE，AG，当AG平分∠BGE时，求的值以及∠EAG的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， ∴EC＝GC，∠BCE＝∠ECG＝90°，BC＝DC， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝DG； （2）延长GD交BE于点H， 由（1）知△BCE≌△DCG， ∴∠BEC＝∠DGC， ∵∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠EBC+∠DGC＝90°， ∴∠BHG＝90°， 又DG所在直线平分BE， ∴BG＝EG， ∵， ∴； （3）连接AC， 由题意得AC∥EG，∠ACE＝∠CEG＝45°， ∴∠CAG＝∠EGA， 当AG平分∠BGE时，∠EGA＝∠BGA， ∴∠CAG＝∠BGA， ∴GC＝AC， ∴， ∵EC＝GC＝AC， ∴点A，E，G在以点C为圆心，AC为半径的圆上， ∴． 15．（2026•天长市一模）在△ABC中，BC＝8，两条高AD，BE交于点H，F是CH的中点，连接AF并延长交边BC于点G． （1）如图1，若△ABC是等边三角形， ①求证：AH＝2DH； ②求CG的长； （2）如图2，若AH＝DH，CG＝BD，求△ABC的面积． 【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠ABE＝∠EBC∠ABC＝30°，∠BAH∠BAC＝30°， ∴∠ABE＝∠BAH＝30°， ∴AH＝BH， 在Rt△BHD中，∠HBD＝30°， ∴BH＝2DH， ∴AH＝2DH； ②解：过点H作HM∥DC，交AG于点M， ∴∠HMF＝∠CGF，∠MHF＝∠GCF， ∵F是CH的中点， ∴HF＝FC， ∴△CGF≌△HMF（AAS）， ∴HM＝CG， ∵AH＝2DH， ∴， ∵HM∥DC， ∴∠AHM＝∠ADG，∠AMH＝∠AGD， ∴△AHM∽△ADG， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴DCBC＝4， ∴CGDC， ∴CG的长为； （2）解：过点H作HN∥DC，交AG于点N， ∴∠HNF＝∠CGF，∠NHF＝∠GCF， ∵F是CH的中点， ∴HF＝FC， ∴△CGF≌△HNF（AAS）， ∴HN＝CG， ∵AH＝DH，HN∥DC， ∴AN＝NG， ∴HN是△ADG的中位线， ∴HNDG， ∴CGDG， ∵BD＝CG，BC＝8， ∴2DG＝8， ∴DG＝4， ∴BD＝CG＝2， ∴DC＝DG+CG＝6， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEH＝90°， ∴∠BHD+∠HBD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°， ∵∠BHD＝∠AHE， ∴∠HBD＝∠HAE， ∴△BDH∽△ADC， ∴， ∴， 解得：AD＝2或AD＝﹣2（舍去）， ∴△ABC的面积BC•AD8×28， ∴△ABC的面积为8． 16．（2026春•太和县校级月考）【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． 例5：如图19.2.13，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 分析：要证明四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需要证明四边形AFCE是平行四边形，又已知EF垂直平分AC，所以只需要证明OE＝OF． （1）【问题解决】请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程： （2）【结论应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AF＝5，DE＝3，则矩形ABCD的面积为　32　 ； （3）【拓展探究】如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，连接CE，若，BC＝6，∠BCD＝45°，则四边形AFCE的面积是　15　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵EF垂直平分AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， 又∵AO＝CO， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形； （2）解：∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴∠AFE＝∠EFC，AF＝CF， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE， ∴AE＝AF＝5， ∴BC＝AD＝8， ∴BF＝8﹣5＝3， ∵AF2＝BF2+AB2， ∴， ∴矩形ABCD的面积为8×4＝32； 故答案为：32． （3）解：如图，过点A作AN⊥CB，交CB延长线于点N， ∵将平行四边形ABCD沿直线EF翻折， 则由（1）可知：四边形AFCE是菱形， ∴AF＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABN＝45°， ∵， ∴AN＝NB＝3， 设AF＝CF＝x，则BF＝6﹣x， ∴NF＝9﹣x， 在Rt△ANF中，由勾股定理得：AN2+NF2＝AF2， 32+（9﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴FC＝5， 则四边形AFCE的面积是：FC×AN＝5×3＝15． 故答案为：15． 17．（2026•桐城市校级一模）综合与实践： 【实践操作】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．点E是△ABC外一点，连接BE，将线段EB绕点E按逆时针方向旋转，旋转角为α，得到线段ED，连接AE，BD，CD． 【探究发现】试证明：△ABE∽△CBD； 【性质应用】如图2，点E为正方形ABCD内一点，连接BE，将线段EB绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接BF，AE，DF，求出AE与DF之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当α＝120°时，点E在CA的延长线上，连接BE，将线段EB绕点E按逆时针向旋转120°，得到线段ED，连接DB，DC．求tan∠ECD的值． 【解答】【探究发现】证明：∵AB＝AC，BE＝DE，∠BAC＝∠BED＝α， ∴， ∴△BAC∽△BED， ∴（相似三角形的对应边从比例）， ∴， 又∠ABC＝∠EBD， ∴∠ABE＝∠CBD， ∴△ABE∽△CBD； 【性质应用】：解：， 连接BD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵EB＝EF，∠BEF＝90°， ∴，，∠ABD＝∠EBF＝45°， ∴，∠ABE＝∠FBD＝45°﹣∠EBD， ∴△ABE∽△DBF（两角相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）； 【拓展延伸】：解：∵AB＝AC，EB＝ED，∠BAC＝∠BED＝120°， ∴∠ABC＝∠EBD＝30°， ∴，， ∴， ∵∠ABC＝∠EBD＝30°， ∴∠ABE＝∠DBC， ∴△CBD∽△ABE， ∴∠BEA＝∠BDC， 设BD交CE于点O， ∴∠BOE＝∠COD， ∴∠OBE＝∠OCD＝30°， ∴． 18．（2025•庐阳区校级三模）已知：如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是直线BC上一个动点，以AD为底边作等腰直角△ADE，连接BE并延长交直线AC于点F，点G为BC的中点，连接AG，EG． （1）如图1，若点D在线段BC上，求证： ①△AEG∽△ADC； ②FD⊥BC． （2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，AE与BC相交于点H，当△ABC与△ADE全等时，求的值． 【解答】（1）证明：①∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，EA＝ED，∠BAC＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ACB＝∠EAD＝∠EDA＝45°， ∵点G为BC的中点， ∴AG⊥BC， ∴△AGB，△AGC为等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠CAG＝45°， ∴∠DAE﹣∠DAG＝∠CAG﹣∠DAG，即∠GAE＝∠CAD， 又∵， ∴△AEG∽△ADC； ②∵△AEG∽△ADC， ∴∠AGE＝∠ACD＝45°， ∵G为BC的中点，且AB＝AC， ∴AG⊥BC， ∴∠AGB＝90°， ∴∠EGB＝45°， ∴∠EGB＝∠ACD， ∴EG∥AC， ∵G为BC的中点， ∴， ∴E为BF 的中点， ∵∠BAF＝90°， ∴AE＝BE＝FE＝DE， ∴点A，B，D，F在以点E为圆心，AE为半径的圆上， ∴∠FDB＝90°， ∴FD⊥BC； （2）解：过E作 EM⊥BD，垂足为M， ∵AG⊥BC， ∴EM∥AG， ∴△EMH∽△AGH， ∴， ∵△ABC与△ADE全等，AC，AE为腰， ∴AC＝AE， ∵，AD， ∴AD＝2AG， ∴， ∴∠ADG＝30°， 由（1）同理得：E为BF的中点，FD⊥BC， ∵EM⊥BD， ∴EM∥DF， ∴△BME∽△BDF， ∴， 设AG＝a，则DGa，GC＝AG＝a， ∵∠DCF＝∠ACB＝45°，DF⊥BD， ∴DF＝DC＝DG﹣GC＝（）a， ∴ME， ∴． 19．（2026•五河县二模）综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE交于点D，BE⊥DE交于点E，求证：DE＝AD+BE； 【深入探究】如图2，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°．分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连接DC交OB延长线交于点E，求的值； 【拓展延伸】如图3，点D是△ABC内一点，连接DA，DB，DC，∠ADB＝90°，∠ABD＝∠BCD＝30°，若CD＝1，，求AC的长． 【解答】【模型初探】证明：∵AD⊥DE于D，∠ACB＝90°， ∴∠D＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°， 即∠DAC＝∠BCE， ∵BE⊥DE， ∴∠E＝∠D＝90°， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE； 【深入探究】解：如图，过点D作DT⊥OB于点T，连接CT． ∵∠AOB＝∠ABD＝∠DTB＝90°， ∴∠TBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠TBD＝∠BAO， ∵BD＝DA， ∴△DTB≌△BOA（AAS）， ∴DT＝OB，BT＝OA， ∵△BOC是等腰直角三角形， ∴OB＝BC＝DT， 又∵∠BEC＝∠TED，∠CBE＝∠DTE＝90°， ∴△BCE≌△TDE（AAS）， ∴BE＝TE， ∴BE＝2BE， ∴OA＝2BE， ∴； 【拓展延伸】过点A作AM⊥CD的延长线于点M，过点B作BN⊥CD的延长线于点N，如图， ∵∠BCN＝30°， ∴BNBC，CN＝BC•cos30°＝1.5， ∴DN＝CN﹣CD1， ∵∠ADB＝90°，AM⊥CD交于点M，BN⊥CD交于点N， ∴∠AMD＝∠DNB＝90°+∠ADM+∠BDN＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°， ∴∠ADM＝∠DBN， ∴△ADM∽△DBN， ∴， ∵∠ABD＝30°，， ∴AM，DM， ∴CM＝CD+DM， ∴AC． 20．（2026•鸠江区校级一模）在△ABC中，∠A＝∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在AC上，连接DE，BE，DC． （1）如图1，若DE⊥AB，求证：△BEA∽△CDA； （2）如图2，已知BE⊥DC于点F． （ⅰ）求证：AD•BF＝BD•CF； （ⅱ）如图3，若DE∥BC，AC＝2，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△BEA∽△CDA； （2）（ⅰ）证明：如图，作AH⊥CD交CD延长线于点H． ∵∠A＝∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∵BE⊥DC，AH⊥CD， ∴∠AHD＝∠BFD＝90°，AH∥BF， ∴△AHD∽△BFD， ∴． ∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠FBC+∠BCF＝90°， ∴∠ACD＝∠FBC， 在△AHC与△CFB中， ∵， ∴△AHC≌△CFB（AAS）， ∴AH＝CF， ∴， 即AD•BF＝BD•CF； （ⅱ）解：∵∠A＝∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∵DE∥BC， ∴， 由（ⅰ）知， ∴， ∵BE⊥DC， ∴∠ACB＝∠BFD＝90°，， ∴， ∵AC＝BC， ∴， ∴点E是AC的黄金分割点， ∴， ∴． 考点3 函数综合 21．（2026•瑶海区二模）对于代数式A和B定义一种新运算：A*B＝A2+2AB． （1）求二次函数y＝（x﹣3）*（﹣1）的顶点坐标； （2）已知：二次函数y＝（x﹣3）*m（m为常数，且m≠﹣1）； （i）若函数的对称轴为直线x＝2，求m的值； （ii）若y＝（x﹣3）*（﹣1）与y＝（x﹣3）*m的函数图象交点为M，过点M作一条直线分别与两个函数图象交于P、Q两点，当P、Q两点横坐标的差为5时，求m的值． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（x﹣3）*（﹣1）＝（x﹣3）2+2（x﹣3）•（﹣1）＝x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1， ∴顶点坐标（4，﹣1）； （2）（i）y＝（x﹣3）*m＝（x﹣3）2+2（x﹣3）•m＝x2+（2m﹣6）x+9， ∴对称轴为直线， ∴． ∴m＝1； （ii）由（1）得函数y＝（x﹣3）*（﹣1）＝x2﹣8x+15， 令x2﹣8x+15＝0， ∴x1＝3，x2＝5． ∴函数图象与x轴交点分别是（3，0）和（5，0）． 函数y＝（x﹣3）*m＝（x﹣3）（x﹣3+2m）过（3，0），则交点为M（3，0）， ∵过点M作一条直线分别与两个函数图象交于P、Q两点， ∴可设点P坐标为（x1，y1），点Q坐标为（x2，y2），直线PQ的解析式为 y＝kx+b， ∴3k+b＝0，b＝﹣3k，y＝kx﹣3k． 又∵y＝kx﹣3k与y＝x2﹣8x+15交于点M（3，0）、P（x1，y1）， ∴联立方程x2﹣8x+15＝kx﹣3k，则x2﹣（k+8）x+3k+15＝0， 由韦达定理得：x1+3＝k+8， 又∵y＝x2+（2m﹣6）x+9﹣6m与 y＝kx﹣3k 交于点M（3，0）、Q（x2，y2）， 同理可得：x2+3＝﹣2m+k+6， 则|x1﹣x2|＝|（k+8）﹣（﹣2m+k+6）|＝|2m+2|， 当 P、Q两点横坐标的差为5时，|2m+2|＝5， ∴或． 22．（2026•包河区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与直线y＝k交于点A、B． （1）若点A，B的横坐标分别为1，3且函数的最小值为2，求b，c的值； （2）若k＝0，即点A、B在x轴上时，点A，点B的横坐标分别为x1，x2． （i）b＝　﹣（x1+x2）　 ，c＝x1x2 （用含x1，x2的代数式表示）； （ii）若该函数的图象经过点（1，n），且x1＝﹣1，0＜x2＜1，求c•n的取值范围． 【解答】解：（1）由题知， 因为二次函数y＝x2+bx+c的图象与直线y＝k交于点A、B且点A，B的横坐标分别为1，3， 所以抛物线的对称轴为直线x＝2， 则， 解得b＝﹣4． 又因为函数的最小值为2， 则22+2×（﹣4）+c＝2， 解得c＝6， 所以b的值为﹣4，c的值为6； （2）（i）因为k＝0， 所以二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点． 因为点A，点B的横坐标分别为x1，x2， 所以x1，x2是方程x2+bx+c＝0的两个实数根， 则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 所以b＝﹣（x1+x2），c＝x1x2． 故答案为：﹣（x1+x2），x1x2； （ii）因为该函数的图象经过点（1，n）和（﹣1，0）， 所以1+b+c＝n，1﹣b+c＝0， 则n＝2c+2． 因为x1＝﹣1，0＜x2＜1且c＝x1x2， 所以﹣1＜c＜0． 令y＝c•n＝c（2c+2）＝2c2+2c＝2（c）2， 所以当c时，y取得最小值， 当c＝0时，y＝0， 所以y＜0， 即c•n＜0． 23．（2025•潜山市三模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1， （1）当m＝﹣3时， ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝﹣4，求y1+y2的最小值． （2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1． 【解答】（1）解：①当m＝﹣3时，y＝x2+6x﹣7， 当y＝0时，有x2+6x﹣7＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝1， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣7，0），（1，0）； 当x＝0时，有y＝﹣7， 二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣7）； ②由a+b＝﹣4可得b＝﹣4﹣a， ∴，， ∴ ＝2（a+2）2﹣30， ∴y1+y2的最小值为﹣30； （2）证明：由抛物线解析式可知二次函数对称轴为直线， 由条件可知a+1＜m，即a﹣m＜﹣1， ∵点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上， ∴p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+2m﹣1＝a2+2a﹣2ma q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+2m﹣1 ＝4m2﹣4ma+a2﹣4m2+2ma+2m﹣1 ＝a2﹣2ma+2m﹣1， ∴p﹣q＝a2+2a﹣2ma﹣（a2﹣2ma+2m﹣1） ＝a2+2a﹣2ma﹣a2+2ma﹣2m+1 ＝2a﹣2m+1＜2（a﹣m）+1， ∵a﹣m＜﹣1， ∴2（a﹣m）+1＜﹣1， ∴p﹣q＜﹣1， ∴p＜q﹣1． 24．（2026•安徽模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t． （1）当t＝3时． （ⅰ）直接写出b与a之间的数量关系； （ⅱ）若y1＝y2，求代数式x1+x2的值； （2）已知x1＝t﹣4，x2＝t+2，点C（x3，y3）在该抛物线上．当4＜x3＜5时，总有，求t的取值范围． 【解答】解：（1）（ⅰ）当t＝3时．抛物线的对称轴是直线x＝3． ∴， ∴b与a之间的数量关系b＝﹣6a； 当t＝3时．抛物线的对称轴是直线x＝3． ∴， ∴b与a之间的数量关系b＝﹣6a； （ⅱ）∵M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，y1＝y2， ∴M（x1，y1），N（x2，y2）关于对称轴直线x＝3对称． ∴， ∴x1+x2＝6． （2）由题意可知，x1＝t﹣4，x2＝t+2， ∴ ∵M（x1，y1）在对称轴的左侧，N（x2，y2）在对称轴的右侧，且y1＞y2． ∴抛物线开口向上，即a＞0， ∵点C（x3，y3）在该抛物线上，4＜x3＜5， ∴点C（x3，y3）关于对称轴的对称点为（2t﹣x3，y3）， ∴2t﹣5＜2t﹣x3＜2t﹣4． 当点C（x3，y3）在对称轴的左侧时， ∵4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2， ∴ 解得7≤t≤8； 当点C（x3，y3）在对称轴的右侧时， ∵4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2， ∴ 解得1≤t≤2． 综上，t的取值范围是1≤t≤2或7≤t≤8． 25．（2026•蜀山区校级一模）某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状．在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m，抛物线C1；C2是从喷水头A处喷出的两股水流．经测量得，抛物线C2的最高点C距离水面2.5m，且与喷水头A的水平距离为2m，设抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距水面的高度． （1）求抛物线C2的表达式； （2）若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的． ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1，C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头A的水平距离为km，直接写出k的取值范围． 【解答】（1）根据题意h＝2，k＝2.5，则抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣2）2+2.5． 将点A（0，2）代入得：2＝a（0﹣2）2+2.5，． 所以抛物线C2的解析式为：y（x﹣2）2+2.5x2x+2． （2）①根据平移的性质，设抛物线C1的解析式为：y（x﹣2+n）2+2.5． 由于抛物线C1经过点A（0，2），则2（0﹣2+n）2+2.5． 解得：n＝4． ②由①可知抛物线C1解析式为：y（x+2）2+2.5． 令y＝0，则（x+2）2+2.5＝0． 解得：x＝22． ∴点B的横坐标为22． （3）根据题意yc2﹣yc1＞0.5且yc2＞0.5． 即（x﹣2）2+2.5﹣[（x+2）2+2.5]＞0.5且（x﹣2）2+2.5＞0.5． 解得：0.5＜x＜6． ∴0.5＜k＜6． 26．（2026•当涂县一模）已知二次函数y＝ax2+bx同时经过点（1，m）和（3，m）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx的最大值为﹣4a2+8． ①求抛物线表达式； ②点P（x1，p），Q（x2，q）是二次函数y＝ax2+bx图象不重合的两点（x1≠4），且满足，若p，q且都是正整数，是否存在满足上述条件的p，q值，如果存在，求出p和q的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由条件可知函数图象对称轴为直线x＝2． ∵二次函数y＝ax2+bx的对称轴公式为， ∴，解得． （2）①二次函数的对称轴为直线x＝2，b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax， ∴顶点横坐标为x＝2，代入函数y＝ax2﹣4ax得最大值y＝a×22﹣4a×2＝﹣4a． ∵二次函数y＝ax2+bx的最大值为﹣4a2+8， ∴﹣4a＝﹣4a2+8．解得a＝2或a＝﹣1． ∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即a＜0． ∴a＝﹣1，此时b＝﹣4a＝4． ∴抛物线表达式为y＝﹣x2+4x． ②不存在满足所有条件的正整数p，q．理由如下： 当x1＝0，分式无意义，即x1≠0， ∵， ∴． ∵x1﹣4≠0， ∴x2＝6﹣2x1． ∵，， ∴4p﹣q＝12． ∴， ∴p＞3， ∴可能的p值为4，6，12． 当p＝4，则P，Q两点重合，不符合题意，舍去． 又∵函数最大值为4， ∴当p＝6或p＝12也不成立． 综上所述，不存在满足所有条件的正整数p，q． 27．（2026春•肥东县月考）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点不重合）． ①若，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； ②当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【解答】解：（1）由条件可得16a+4b＝0，即b＝﹣4a， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知抛物线的解析式为． 又x1＝x2， 故． 因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以x1≠0． 于是， 故y2＞y1． ②由题意知，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． 于是． 依题意知是与x1无关的定值． 则2﹣4a＝0，解得． 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． 所以，b＝﹣4a＝﹣2． 28．（2026•合肥一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力，它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1．设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2．任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3．实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即t（M为定值，且M＞0，p＞0）； 4．实验数据：小组完成3组实验，记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 1×109 120 设备B（平板电脑） 2×109 a 设备C（笔记本电脑） 4×109 30 【项目探究】 （1）根据实验原理，该数据处理任务的总运算量M＝　1.2×1011 次，a＝　60　 ． （2）在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在20℃≤x≤40℃范围内，设备A和设备B的实际算力PA，PB（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：PA＝﹣2×107x+1.4×109，PB＝﹣4×107x+2.8×109．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． （3）设备C的实际算力PC（次/秒）与环境温度x（℃）（20≤x≤40）也满足一次函数关系，其表达式为：PC＝﹣1×108x+6×109．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在30℃时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【解答】解：（1）根据即t，得M＝tp＝120×1×109＝1.2×1011， a60， 故答案为：1.2×1011，60； （2）当 x＝30时， （次/秒）， （次/秒）． 联合算力组总算力：（次/秒）． 由（1）知M＝1.2×1011次，所需时间： （秒）， 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒． （3）由第（2）问可知，联合算力组在30℃时的完成时间为50秒． 设备C完成该任务的实际时间，依题意： ． 因为PC＞0，所以不等式可化为：x≤36． 结合自变量的取值范围20≤x≤40，得： 20≤x≤36． 答：环境温度x的取值范围20℃≤x≤36℃． 29．（2026•五河县二模）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌BC长为2.74米，王楚钦抽拉击球点A位于桌面左上方，过A作AO⊥BC，垂足为O，OB＝0.63米，以O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与王楚钦击球点A的水平距离为x（米），到桌球面的垂直高度为y（米），在球桌上的落点为D，经测试，抛物线L的表达式为y＝a（x﹣0.8）2+0.45，且当x＝1.8时，y＝0.25． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）乒乓球桌正中间位置安装的球网GH的高度为0.15米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点D的坐标；若不能，也请说明理由； （3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y＝﹣0.8（x+p）2+1.352的路线运动，樊振东球拍EF与球桌面垂直，球拍击球面的中心线EF长为0.2米，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求出CE的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线L的表达式为y＝a（x﹣0.8）2+0.45，且当x＝1.8时，y＝0.25． ∴0.25＝a（1.8﹣0.8）2+0.45， 解得a＝﹣0.2， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.2（x﹣0.8）2+0.45； （2）王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由如下： 根据题意得（米）， 由（1）得y＝﹣0.2（x﹣0.8）2+0.45， 当x＝2时，y＝﹣0.2（2﹣0.8）2+0.45＝﹣0.288+0.45＝0.162＞0.15， ∴王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网， 此时，当y＝0时，即﹣0.2（x﹣0.8）2+0.45＝0， 解得x＝2.3或x＝﹣0.7（舍去）， ∴点D的坐标为（2.3，0）； （3）∵抛物线L′：y＝﹣0.8（x+p）2+1.352经过点D（2.3，0）， ∴0＝﹣0.8×（2.3+p）2+1.352，解得p＝﹣1（舍去）或p＝﹣3.6， ∴y＝﹣0.8（x﹣3.6）2+1.352， ∴对称轴为直线x＝3.6， ∵D（2.3，0）， ∴抛物线L′与x轴的另一个交点坐标为（3.6﹣2.3+3.6，0），即（4.9，0）， ∴CE的最大值为4.9﹣OC＝4.9﹣（0.63+2.74）＝1.53（米）， 当y＝0.2时，即﹣0.8（x﹣3.6）2+1.352＝0.2， 解得x＝2.4（舍去）或x＝4.8， 当x＝4.8时，CE＝4.8﹣（0.63+2.74）＝1.43（米）， ∴1.43米≤CE≤1.53米． 30．（2026•安徽一模）在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC为x轴正方向，OA为y轴正方向建立直角坐标系． 令y＝a（x﹣h）2+k，把（5.5，3.8）代入，得y＝a（x﹣5.5）2+3.8， 由题意可得：1.8＝a（0.5﹣5.5）2+3.8， 解得， ∴； （2）当x＝2.5时，， ∵3.08＜3.10， ∴甲队员能扣到球； （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米， 当y＝3.4时，， 解得x1＝7.74，x2＝3.26． 当y＝3.2时，， 解得x1＝8.24，x2＝2.76． ∵，抛物线开口向下， ∴当3.2＜y≤3.4时，2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24． ∴乙队员在离边界O点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣球成功且避免对方拦网． 1．综合与实践 【项目背景】 书，是人类进步的阶梯．为了解学生的课外阅读情况，某校对部分学生阅读课外书情况进行抽样调查统计． 【数据收集与整理】 对随机抽查的数据进行整理，并绘制出如下统计图，其中条形统计图丢失了阅读4本书的数据． 任务1：求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数； 【数据分析与运用】 任务2：根据随机抽查的这个结果，请估计该校1150名学生中课外阅读4本书的学生人数； 任务3：若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是4本，将这次补查的数据与之前抽查的数据合并分析后发现中位数并没有改变，请问这次最多又补查了多少名学生？ 【解答】解：任务1：样本容量为：21÷35%＝60， 条形图中丢失的数据为：60﹣15﹣21﹣6＝18， 故阅读书册数的众数为3本，中位数为3本； ∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5； 任务2：该校1150名学生中课外阅读4本书的学生人数为：1150345（人）， 答：估计该校1150名学生中课外阅读4本书的学生人数345人； 任务3：阅读2本书和3本书的人数之和为：15+21＝36（人），即前36个数为2或3，要使合并后中位数不变，则中位数的位置必须在第36位或之前， 设补查了x人， 当（60+x）是奇数时，中位数为，即36，解得x≤11； 当（60+x）是偶数时，中位数为第个和第1个数据的平均数，即，，解得x≤10． 综上所述，x的最大值为11， ∴最多补查了11人． 2．为了解安徽五个地区的游客自驾到黄山景区的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地（皖A—合肥、皖B—芜湖、皖C—蚌埠、皖D—淮南、其他安徽地区）的不同，绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）小桐共调查了　200　 辆车，“其他安徽地区”对应扇形的圆心角为　118.8°　 °； （2）依据相关数据，补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有600辆安徽地区自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖A—合肥”的车有多少辆． 【解答】解：（1）∵24÷12%＝200（辆）， ∴“其他安徽地区”车辆数为：200﹣（80+24+18+12）＝66（辆）， ∴， 故答案为：200，118.8°； （2）补全条形统计图如图所示． （3）（辆）， 答：估计其中车牌号归属地为“皖A—合肥”的车有240辆． 3．安徽是我国黄淮海优质小麦核心产区，淮北平原为省内小麦种植核心区．为对比本地常规种植小麦与良种繁育试验田的小麦生长性状，农技人员分别从普通种植农田和良种繁育试验田中，各随机抽取20个采样点，测量小麦成熟株高（单位：cm，数据均为整数，且不低于60cm）．现对测量数据进行整理、描述和分析，小麦株高用x表示，共分四组：A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C．70≤x＜80；D．60≤x＜70． 下面给出了部分信息： 普通种植农田20个采样点的株高数据在B组中的是：81，82，82，83，83，83，88． 良种繁育试验田20个采样点的株高数据是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 两类农田采样点小麦株高统计表 地块类型 普通种植农田 良种繁育试验田 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 83 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　82.5　 ，b＝　86　 ，m＝　30　 ； （2）株高越高，说明小麦长势更好，根据以上数据，你认为哪类农田的小麦生长长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩，按本次抽样标准，请估计该片区两类农田中，小麦株高不低于90cm的总面积共是多少亩？ 【解答】解：（1）由扇形统计图可知，普通种植农田20个采样点的株高数据在C组和D组的共20×（25%+10%）＝7（株）， 结合B组数据可知第10个数据和第11个数据分别为82和83， ∴中位数； 由于B组有7个数据， ∴A组数据为20﹣7﹣7＝6， ∴， ∴m＝30； ∵良种繁育试验田20个采样点的株高数据中出现次数最多的为86， ∴b＝86． 故答案为：82.5，86，30； （2）良种繁育试验田的小麦生长长势更好． 理由：两类农田小麦株高的平均数相同，但良种繁育试验田的中位数83大于普通种植农田的中位数82.5，说明良种试验田有一半以上的小麦株高不低于83cm，中间水平的小麦长势更优．（或其他合理理由：良种试验田的众数86大于普通农田的众数83，说明试验田小麦株高的集中水平更高；试验田株高不低于90cm的样本占比25%，高株小麦占比更高等）； （3）∵该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩， ∴（亩）． 答：估计该片区两类农田中，小麦株高不低于90cm的总面积共为293亩． 4．春季是流感的高发期，学校为普及科学防护知识，在七、八年级举行了一次流感科学防护知识竞赛，为了了解这两个年级学生的掌握情况，分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析，给出了如下信息． ①各年级成绩分布如下表： 年级 0≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七 1 4 6 2 4 3 八 4 4 3 2 5 2 （注：成绩在60分以下为不合格，80分及以上为优秀） ②其中七年级成绩在60≤x≤69一组的是：62，63，65，66，68，69． ③各年级成绩的平均数、中位数、方差、优秀率等如下表： 年级 平均数 中位数 方差 优秀率 七 66.8 a 83.5 35% 八 64.3 63 125.6 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝　68.5　 ，b＝　35%　 ； （2）浩然同学的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，浩然同学的成绩高于平均数，却排在了后十名，则浩然同学是哪个年级的学生？并说明理由； （3）根据以上信息，给学校提出一些建议． 【解答】解：（1）由题意可知：∵共20名学生， ∴中位数是第10和第11的成绩的平均数，且落在60≤x≤69， 又∵第10位同学的成绩为68，第11位同学的成绩为69． ∴中位数． ∵八年级成绩大于或等于80分的学生有7个， ∴优秀率． ∴a＝68.5，b＝35%． 故答案为：68.5，35%； （2）浩然同学是七年级学生，理由如下： 假设浩然同学是八年级学生，因为浩然的成绩高于平均数64.3，则浩然同学的成绩高于中位数63，浩然应在前十名，与实际不符，所以浩然同学是七年级学生． （3）答案不唯一，合理即可． 如：从两个年级的平均数上看，由于平均分较低，建议学校提高要求，让同学们多掌握一些科学防护知识． 5．为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按表格进行整理．（成绩用x分表示） 测试成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 级别 及格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据所给的信息解答下列问题： （1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为 　80　 人，并补全条形统计图； （2）下列结论一定正确的是 　②　 ； ①所抽取学生的平均成绩为85分； ②这组数据的中位数一定在良好级别里； ③这组数据的众数一定在优秀等级里； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人去参加区级测试，试求恰好选中1男1女的概率． 【解答】解：（1）参加此次调查的学生的人数为32÷40%＝80（人）， 良好的人数为80﹣8﹣12﹣32＝28（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：80； （2）①没有学生成绩的具体数据，所以所抽取学生的平均成绩不确定，故①不一定正确； ②中位数是成绩从低到高排列的这组数据的第40、41个数据的平均值，这组数据的中位数一定在良好级别里，②一定正确； ③没有学生成绩的具体数据，所以众数不能确定，故③不一定正确； 故答案为：②； （3）画出树状图如下： 由树状图可知：选中一男一女的概率为． 6．在△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，作BE⊥AD，垂足为点E． （1）如图1，若点M为AB中点，求证：EM∥AC； （2）如图2，若点N为BC的中点，求证：； （3）如图3，在第（2）问的条件下，过点C作CH⊥AD，交点AD延长线于点H，连接HN，求证：HN⊥BC． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°． ∵点M是AB的中点， ∴AM＝ME， ∴∠MEA＝∠MAE＝∠CAD， ∴EM∥AC； （2）如图，延长BE交AC于点G． ∵∠BAD＝∠CAD， AEB＝∠AEG＝90°， AE＝AE， ∴△AEB≌△AEG（ASA）， ∴BE＝GE，AB＝AG． 又∵点N是线段BC的中点， ∴， 即； （3）如图，延长CH，AB交于点I，连接BH． 由（2）同理可得△AHI≌△AHC（ASA）， ∴HI＝HC． 又∵∠CBI＝90°， ∴HB＝HC． 又∵点N是线段BC的中点， ∴HN⊥BC． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为斜边AB的中点，将线段AC平移至ED交BC于点M，连接CD，CE，BD，AD，线段AD交CE于点N，连接MN． （1）求证：CD＝BE； （2）求证：四边形BECD是菱形； （3）若AC＝10，，求MN的长． 【解答】（1）证明：∵ED为AC平移所得， ∴AC∥ED，AC＝ED， ∴四边形ACDE为平行四边形， ∴AE＝CD， 在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点， ∴AE＝CE＝BE， ∴CD＝BE． （2）证明：∵四边形ACDE为平行四边形， ∴AE∥CD，即 CD∥BE， 又∵CD＝BE， ∴四边形BECD为平行四边形， 又∵CE＝BE， ∴四边形BECD为菱形． （3）解：∵四边形BECD为菱形， ∴BC⊥DE，DM＝EM， ∵AC＝DE＝10， ∴DM＝EM＝5， 在Rt△CDM中，cos∠EDC， ∴CD＝13， 由（1）得：四边形ACDE是平行四边形， ∴CN＝EN， ∵DM＝EM， ∴MN是△CDE的中位线， ∴MNCD． 8．如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN； （1）则DN与CM的数量关系是 CM＝DN ，位置关系是 DN⊥CM ． （2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长． 【解答】解：（1）如图1，设CM与DN相交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°， ∵BM＝CN， ∴△BCM≌△CDN（SAS）， ∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN， ∵∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠CDN+∠MCD＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴DN⊥CM， 故答案为：CM＝DN，DN⊥CM； （2）如图2，连CE并延长交AD于G， ∵BC∥AD， ∴∠ENC＝∠EDG， ∴NE＝DE，∠NEC＝∠GED， ∴△CNE≌△GDE（ASA）， ∴CE＝EG，NC＝GD＝1， 又∵MF＝CF， ∴EFMG， ∵正方形的边长为3，BM＝CN＝1， ∴AM＝AG＝2， ∴GM2， ∴EF； （3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H， ∵CM2＝BC2+BM2， ∴CM， ∵CM•BHBC•BM， ∴BH， ∴CH， ∴∠BPC＝45°， ∴PH＝BH， ∴PC， ∴PM＝PC﹣CM． 9．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 　3　 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE平行AB，交AD的延长线于点E，求AE的长； 综合应用 （3）如图3，已知四边形ADEB，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），则△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由． 【解答】解：（1）如图1连接BP， ∵△ABP与△CBP在AP、CP边上的高相等， ∴当AP＝CPAC3＝3，△ABP与△CBP面积相等， ∵BC＝6，∠ACB＝90° ∴AB3， ∴BC≠AB， ∵AP＝CP，BP＝BP，BC≠AB， ∴△ABP与△CBP不全等， ∴此时△ABP与△CBP是偏等积三角形， 故答案为：3． （2）如图2，∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、C边上的高相等， ∴BD＝CD， ∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（AAS）， ∴ED＝AD，EC＝AB＝2， ∵AC﹣EC＜AE＜AC+EC，且AC＝4，AE＝2AD， ∴4﹣2＜2AD＜4+2， ∴1＜AD＜3， ∵线段AD的长度为正整数， ∴AD＝2， ∴AE＝4． （3）△ACD与△BCE是偏等积三角形， 理由：如图3，∵∠ACB＝∠DCE＝90° ∴∠ACD+∠BCE＝180°， ∵0°＜∠BCE＜90°， ∴∠ACD＞90°， ∴∠ACD≠∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD与△BCE不全等， 作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交DC的延长线于点G，则∠G＝∠BFC＝90°， ∵∠ECG＝180°﹣∠DCE＝90°， ∴∠ACG＝∠BCF＝90°﹣∠BCG， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（AAS）， ∴AG＝BF， ∴CD•AGCE•BF， ∴△ACD与△BCE面积相等， ∴△ACD与△BCE是偏等积三角形． 10．在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）如图1，若，求的值． （2）如图2，若AB＝AD，连接EF并延长，交AD的延长线于点G． ①求证：CE＝CF． ②当∠B＝∠AEF时，求证：FG2＝AG•DG． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D， 又AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△AEB∽△AFD， ∴， 又AD＝BC，且， ∴； （2）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， 又AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△AEB和△AFD中， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF， ∴CE＝CF； ②∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF＝90°； ∵∠B＝∠AEF， ∴∠BAE＝∠CEF； 由①得∠BAE＝∠DAF，∠CEF＝∠CFE， ∵∠CFE＝∠DFG， ∴∠DAF＝∠DFG， ∵∠G＝∠G， ∴△GAF∽△GFD， ∴， ∴FG2＝AG•DG． 11．如图，在矩形ABCD中，∠DBC的平分线交CD于点P，过点D作DE⊥BP交BP的延长线于点E，DE与BC的延长线交于点F，且． （1）如图1，当时，DF与BP的数量关系为　　 ． （2）如图2，连接CE，AE，AE与BD相交于点G，求证：△AGD∽△BGE． （3）如图3，当m＝1时，其他条件不变，若BC＝2，求CP的长． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCP＝∠DCF＝90°， ∵DE⊥BP， ∴∠DEB＝∠FEB＝90°， ∵∠CPB＝∠DPE， ∠CBP＝180°﹣∠BCP﹣∠BPC＝90°﹣∠BPC， ∠EDP＝180°﹣∠DEP﹣∠DPE＝90°﹣∠DPE， ∴∠CBP＝∠CDF， ∴△BPC∽△DFC， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵BE是∠DBC的平分线， ∴∠DBE＝∠FBE， ∵在△BED和△BEF中， ， ∴△BED≌△BEF（ASA）， ∴DE＝EF， ∴在Rt△DCF中，， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠ADC+∠EDC＝∠BCD+∠ECD， 即∠ADE＝∠BCE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， 在△ADE和△BCE中 ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴∠DAE＝∠CBE， ∴∠DAE＝∠DBE， ∵∠AGD＝∠BGE， ∴△AGD∽△BGE． （3）解：∵， ∴∠DBC＝45°， ∵BC＝2， ∴， ∵∠CPB＝∠DPE，∠BCP＝∠DEP＝90°， ∴∠CBP＝∠CDF， 在△BCP和△DCF中， ， ∴△BCP≌△DCF（ASA）， ∴CP＝CF， ∵△BED≌△BEF， ∴， ∴． 12．已知△ABC，点D为∠ACB内一点，连接AD，BD，∠ACB＝∠DBC，AC＝CD． （1）如图1，过点C作CE⊥BD，垂足为点E，BE交AC于点F，∠DCE＝30°，CD＝2BD． （i）求证：AF＝EF； （ii）求证：AD•BC＝CD•DE． （2）如图2，若∠BDC＝90°，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，交CD于点H，点H为CD的中点，求的值． 【解答】（1）证明：（i）∵∠DCE＝30°，CE⊥BD， ∴CD＝2DE， ∵CD＝2BD， ∴BE＝2BD＝2DE， ∴CD＝BE， ∵AC＝CD， ∴AC＝BE， ∵∠ACB＝∠DBC， ∴BF＝CF， ∴BE﹣BF＝AC﹣CF， ∴AF＝EF； （ii）如图2，连接AE． 由（i）知：FB＝FC，AF＝EF， ∴． ∴∠FAE＝∠FEA（180°﹣∠AFE）， ∵∠BFC＝∠AFE， ∴∠FBC＝∠FEA＝∠FAE， 设∠ACB＝∠CBD＝α°， ∵∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，∠BDC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CBD＝60°﹣α°， ∴∠ACD＝∠BCA﹣∠BCD＝α°﹣（60°﹣α°）＝2α°﹣60°， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠ACD）[180°﹣（2α°﹣60°）]＝120°﹣α°， ∴∠ADE＝∠CDA﹣∠CDE＝120°﹣α°﹣60°＝60°﹣α°， ∴∠BCD＝∠ADE， ∴△DAE∽△CDB， ∴， ∴AD•BC＝CD•DE； （2）解：∵H是CD中点， ∴设CH＝DH＝a，则CD＝AC＝2a， 设∠DBC＝∠ACB＝α，则∠BCD＝90°﹣α，∠CAG＝90°﹣α， ∴∠HCG＝∠CAG， ∵∠CGH＝∠AGC＝90°， ∴△AGC∽△CGH， ∴， ∴AG＝2CG，CG＝2GH， 在Rt△ACG中，AG2+CG2＝AC2， ∴4CG2+CG2＝4a2， 解得，AGa， ∴GHCGa， ∴AH＝AG﹣GHa， ∴． 13．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q． （1）如图1，求证：△CEQ∽△FEP； （2）如图2，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，若CG＝3，QG＝5，求QD的长； （3）如图3，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D，AD∥BC， ∴∠D+∠BCD＝180°， 由折叠的性质可得：∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠D， ∵∠AFE+∠EFP＝180°， ∴∠BCD＝∠EFP，即∠ECQ＝∠EFP， ∵∠FEP＝∠CEQ， ∴△CEQ∽△FEP； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠D+∠BCD＝180°， 由折叠的性质可得：∠AFE＝∠B，BE＝FE，AF＝AB， ∴∠AFE＝∠D， ∵∠AFE+∠EFP＝180°， ∴∠BCD＝∠EFP，即∠ECQ＝∠EFP， ∵CE＝BE， ∴CE＝EF， 在△CEQ和△FEP中， ， ∴△CEQ≌△FEP（ASA）， ∴EQ＝EP，∠CQE＝∠P， ∴EQ﹣EF＝EP﹣EC， ∴FQ＝CP， 在△FQG和△CPG中， ， ∴△FQG≌△CPG（AAS）， ∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5， ∵AB∥CD， ∴△CGP∽△BAP， ∴， ∴， ∴AB＝12， ∴CD＝AB＝12， ∴QD＝CD﹣CG﹣GQ＝4； （3）解：如图，延长AD，EQ交于点H， ∵， ∴设CQ＝2a，则DQ＝3a， ∴CD＝CQ+DQ＝5a， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，AB＝CD＝5a，AB∥CD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， 由折叠的性质可得：∠AFE＝∠B，BE＝FE，AF＝AB＝5a， ∴∠AFE＝∠ADC， ∵∠AFE+∠EFP＝180°， ∴∠BCD＝∠EFP，即∠ECQ＝∠EFP， ∵∠FEP＝∠CEQ， ∴△CEQ∽△FEP； ∴， ∵BE＝EF， ∴， ∵CE＝2BE， ∴，EQ＝2EP， ∵AD∥BC， ∴△CEQ∽△DHQ，△EFP∽△HFA， ∴，， ∴，FH＝5EF＝5BE， ∵FQ＝EQ﹣EF＝2EP﹣EF，QH+FQ＝FH， ∴3EP+2EP﹣EF＝5BE， ∴5EP﹣EF＝5BE， ∴5EP﹣BE＝5BE， ∴5EP＝6BE， ∴， ∴， ∵BC＝BE+CE＝BE+2BE＝3BE， ∴AD＝BC＝3BE， ∵AD∥BC， ∴△GCP∽△GDA， ∴． 14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上， ①若y1＝y2＝n，且﹣2≤x1﹣x2≤3，求n的取值范围； ②当x1＜x2时，若，求x1的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，函数有最小值为﹣4， ∵点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，y1＝y2＝n， ∴1， ∴x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵﹣2≤x1﹣x2≤3， ∴﹣2≤x1﹣（2﹣x1）≤3， ∴0≤x1， 当x时，y， ∴n的取值范围为﹣4≤n． ②当x1＜x2时，过点F作x轴的平行线FM，交y轴于点N，过点G作GH⊥FM于点H，如图， ∵点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上， ∴F（x1，2x1﹣3）、G（x2，2x2﹣3）， 则FH＝x2﹣x1，GH＝y1﹣y2＝（2x1﹣3）﹣（2x2﹣3）2（x1﹣x2）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵FG⊥BC， ∴∠HFG＝∠HGF＝45°， ∴△HFG为等腰直角三角形， ∴FH＝GHFG4， ∴4＝x2﹣x1，2（x1﹣x2）＝4， ∴x2＝4+x1， ∵2（x1﹣x2）＝（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）， ∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝4， ∴﹣4（x1+4+x1﹣2）＝4， ∴x1． 15．已知抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，若对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11，此时抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 【解答】解：（1）①∵y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）．和（0，﹣1）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1； ②抛物线y＝x2﹣1的对称轴为x＝0， B（3，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣3，y2）， ∵对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2， ∴由图象性质得3t+1≤﹣3或t﹣1≥3或t一1＜3t十1， 解得t≥4； （2）∵抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）， ∴4+2（4m﹣4）+n＝3， 则n＝7﹣8m， ∵对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11， ∴x2+4mx﹣4﹣8m≥0对任意实数x都成立， ∴Δ＝16m2﹣4（﹣4﹣8m）≤0， （m+1）2≤0， ∴m＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣8x+15， 联立抛物线y＝x2﹣8x+15与直线y＝4， 得x2﹣8x+15＝4， 解得x＝4±， ∴交点M，N的横坐标分别为4和4， ∴MN＝4（4）＝2． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）经过（1，3）点，对称轴为． （1）求a，b的值； （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝2． ①求的值； ②求证：y1+y2＞6． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得：． （2）①A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在该抛物线上， ∴，， ∴， ∵x1+x2＝2， ∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）+x1﹣x2＝3（x1﹣x2）， ∵x1≠x2， ∴． ②证明：∵x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∵，， ∴， ∴， ∵x1≠x2， ∴x1≠1， ∴x1﹣1≠0， ∴， ∴y1+y2＞6． 17．若函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0），在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝2，则称函数G是在m≤x≤n上的“和谐函数”． （1）已知函数G，当a＞0时，且函数G是范围2≤x≤4上的“和谐函数”，求a的值； （2）当a＝1时，若函数G是范围t≤x≤t+1上的“和谐函数”，请求出t的值； （3）已知函数G，当a＞0时，若函数G是范围m+1≤x≤2m+1（m为正整数）上的“和谐函数”，且存在整数k，使得，直接写出a的值． 【解答】解：（1）函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）的对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，y1＝﹣a，当x＝4时，y2＝3a， 当a＞0时，则当2≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴y2﹣y1＝3a+a＝2， ∴a； （2）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）， 当t+1≤2，即t≤1时，M＝（t﹣2）2﹣1，N＝（t+1﹣2）2﹣1＝（t﹣1）2﹣1， ∴（t﹣2）2﹣1﹣[（t﹣1）2﹣1]＝2， 解得t； 当1＜t时，M＝（t﹣2）2﹣1，N＝﹣1， ∴（t﹣2）2﹣1﹣（﹣1）＝2， 解得t＝2（舍去）或t＝2（舍去）； 当t≤2时，M＝（t+1﹣2）2﹣1＝（t﹣1）2﹣1，N＝﹣1， ∴（t﹣1）2﹣1﹣（﹣1）＝2， 解得t＝1（舍去）或t＝1（舍去）； 当t＞2时，M＝（t+1﹣2）2﹣1＝（t﹣1）2﹣1，N＝（t﹣2）2﹣1， ∴（t﹣1）2﹣1﹣[（t﹣2）2﹣1]＝2， 解得t； 综上所述，t的值为或； （3）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵m+1≤2m+1， ∴m≥0， ∴m+1≥1， ∵函数G：y＝ax2﹣4ax+3a 在m+1≤x≤2m+1（m为整数）上的“和谐函数”， ∴ymax＝a（2m+1）2﹣4a（2m+1）+3a＝4am2﹣4am，ymin＝a（m+1）2﹣4a（m+1）+3a＝am2﹣2am， ∴4am2﹣4am﹣（am2﹣2am）＝2，即3am2﹣2am﹣2＝0（Ⅰ）， ∵为整数， ∴为整数， 即为整数， ∵4，且m为整数， ∴m﹣2是4的因数， 又m＞0， ∴m＝3或m＝4或m＝6， 把m＝3代入（Ⅰ）得： 27a﹣6a﹣2＝0， 解得：a． m＝4代入（Ⅰ）得： 48a﹣8a﹣2＝0， 解得：a． 把m＝6代入（Ⅰ）得： 108a﹣12a﹣2＝0， 解得：a， ∴a的值是或或． 18．定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：y＝3x2﹣6x﹣5的亲和同轴二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5． （1）函数y＝﹣x2+2x+2的亲和同轴二次函数为y＝2x2﹣4x+2　 ． （2）若函数y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+a2+a+1（a≠0且a≠1）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点P（m，p），Q（m，q）（m＞0）分别在二次函数y1＝ax2﹣4ax+c（a且a≠1）及其亲和同轴二次函数y2的图象上，比较p，q的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+2中a＝﹣1，对称轴为直线，c＝2， ∴y＝﹣x2+2x+2的亲和同轴二次函数中a＝2，对称轴为直线x＝1，c＝2， ∴y＝﹣x2+2x+2的亲和同轴二次函数为y＝2x2﹣4x+2， 故答案为：y＝2x2﹣4x+2； （2）由函数y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+a2+a+1（a≠0且a≠1）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为y＝ax2﹣2ax+a2+a+1； 利用配方或者顶点坐标公式得，， 解得a＝±2， ∵函数有最大值， ∴a＝﹣2； （3）由函数（且a≠1）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为， 把（m，p），（m，q）分别代入y1，y2可得，p＝am2﹣4am+c，q＝（1﹣a）m2﹣4（1﹣a）m+c， 则p﹣q＝am2﹣4am+c﹣[（1﹣a）m2﹣4（1﹣a）m+c]＝（2a﹣1）m2﹣4（2a﹣1）m， ∵， ∴（2a﹣1）＞0， ①当p﹣q＞0时，p＞q，即（2a﹣1）m2﹣4（2a﹣1）m＞0，m2﹣4m＞0， 解得：m＜0或m＞4； ②当p﹣q＜0时，p＜q，即（2a﹣1）m2﹣4（2a﹣1）m＜0，m2﹣4m＜0， 解得：0＜m＜4； ③当p﹣q＝0时，p＝q，即（2a﹣1）m2﹣4（2a﹣1）m＝0，m2﹣4m＝0， 解得：m＝4或m＝0； 又∵m＞0， 所以综上所述，当m＝4时，p＝q；当m＞4时，p＞q；当0＜m＜4时，p＜q． 19．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2+bx图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为（2，﹣1）且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，点C，C1是叶片上的一对对称点，线段CC1交直线AB于点G．证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段CC1的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为（4，4）．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求MN的最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴ 解得：，b＝﹣1， ∴抛物线的解析式为． 当y＝0时，． 解得x1＝0，x2＝4， ∴C点坐标为（4，0）； （2）∵直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点， ∴令x＝0，得y＝1，令y＝0，则x+1＝0，x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（0，1）， ∴OA＝OB＝1， ∴△ABO是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝45°； ∵直线y＝x+1是心形叶片的对称轴，且点C，C1是叶片上的一对对称点， ∴∠CGA＝90°，CC1＝2CG， ∴∠GCA＝45°， ∴△AGC是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为（4，0）， ∴AC＝4﹣（﹣1）＝5， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为（0＜x≤4），代入（0，0）、（4，4）得： ， 解得， ∴（0＜x≤4）， 设M点坐标为（0＜m≤4），则， ， ∵，0＜m≤4， ∴当m＝2时，MN的最大值为2． 20．数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示所称物体质量．电流I（单位：mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为2.2kg时，电流表显示为0.3mA． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． （1）当放置物体质量为2.2kg时，求此时可变电阻R1的值； （2）求电流I关于可变电阻R1的函数表达式； （3）为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【解答】解：（1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系为一次函数关系， 设R1＝mx+b（m≠0）， 把（0，32），（3.2，0）代入解析式得， 解得， ∴R1＝﹣10x+32， 当x＝2.2时，R1＝﹣10×2.2+32＝10； （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I， 由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为R， ∵R＝R1+R2，R2＝10kΩ， ∴R1＝R﹣R210； （3）∵R， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40， 此时R1取得最大值30； 当T＝0.5时，R取得最小值，最小值为12， 此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3， 答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 21．【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座APD+ABCD”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为x轴，大棚横截面中的“抛物线拱形APD”的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座（AB和CD）高度为2米，底部地面跨度（BC）为10米；“抛物线拱形”的最高点P到地面的距离为6米． （1）结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形APD”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 （2）为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：EF，HG均垂直于地面，EH平行于地面，且E、H两点落在抛物线上，F，G两点落在BC上．其中三根支架EF，HG，EH的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； （3）在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形EFGH的样式，且FG＝5米，EF＝5米，HG＝4米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点E、H同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【解答】解：（1）∵“抛物线拱形”的最高点P到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为P（0，6）， ∵矩形基座底部地面跨度（BC）为10米，（AB和CD）高度为2米， ∴AB＝CD＝2，BO＝CO＝5， 即D（5，2），A（﹣5，2）， 依题意，设“抛物线拱形APD”对应的函数解析式为y＝ax2+6（a＜0）， 把A（﹣5，2）代入y＝ax2+6，得2＝25a+6， 解得， ∴， （2）∵EF，HG均垂直于地面，EH平行于地面， ∴EH∥BC，∠EFG＝∠HGF＝90°， 则∠EHG＝∠HGF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EF＝HG， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架EF，HG，EH的长度之和为l， 即， ∵ ∴当时，l有最大值， 把代入，得， 即脚手架总长度的最大值为米； （3）设抛物线下降高度为m米， ∴新抛物线解析式为， 设F（t，0）， ∵FG＝5米， 得G（t+5，0）， ∵HG＝4米，EF＝5米， ∴E（t，5），H（t+5，4）， 将H（t+5，4），E（t，5），代入新抛物线， 得：， ②﹣①消去m展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05安徽中考数学21~23题（解答题） 考点1 统计与概率 1．（2026•安徽模拟）为了解安徽五个地区的游客自驾到黄山景区的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地（皖A—合肥、皖B—芜湖、皖C—蚌埠、皖D—淮南、其他安徽地区）的不同，绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）小桐共调查了　 　 辆车，“其他安徽地区”对应扇形的圆心角为　 　 °； （2）依据相关数据，补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有600辆安徽地区自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖A—合肥”的车有多少辆． 2．（2026•萧县一模）某农场学校积极开展阳光体育活动，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如图的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）扇形统计图中的m＝　 　 ，补全条形统计图． （2）求这个班的学生投中次数的平均数、中位数． （3）在4名投中1次的人中，有男生2人，女生2人，求从这4人中随机抽出3人，刚好是2名男生1名女生的概率． 3．（2026•安徽三模）安徽是我国黄淮海优质小麦核心产区，淮北平原为省内小麦种植核心区．为对比本地常规种植小麦与良种繁育试验田的小麦生长性状，农技人员分别从普通种植农田和良种繁育试验田中，各随机抽取20个采样点，测量小麦成熟株高（单位：cm，数据均为整数，且不低于60cm）．现对测量数据进行整理、描述和分析，小麦株高用x表示，共分四组：A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C．70≤x＜80；D．60≤x＜70． 下面给出了部分信息： 普通种植农田20个采样点的株高数据在B组中的是：81，82，82，83，83，83，88． 良种繁育试验田20个采样点的株高数据是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 两类农田采样点小麦株高统计表 地块类型 普通种植农田 良种繁育试验田 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 83 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）株高越高，说明小麦长势更好，根据以上数据，你认为哪类农田的小麦生长长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩，按本次抽样标准，请估计该片区两类农田中，小麦株高不低于90cm的总面积共是多少亩？ 4．（2026春•临泉县月考）“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 5．（2026春•庐江县月考）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，78，72，91，80，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 甲班 5 4 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.6 乙班 80 80 80，85 C 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请计算出乙班的方差c； （3）请你根据以上信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由． 6．（2026•镜湖区校级一模）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 （1）写出表中m，n的值； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，则　 　 （填“＞”“＝”或“＜”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟．实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是　 　 （写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 7．（2026•六安一模）综合与实践：农作物产量分析与推广决策 【项目背景】安徽省某农业科研团队为科学推广高产稳产农作物，对本地两种主要作物——甲作物与乙作物的产量情况进行抽样调查，分别从种植甲、乙作物的农田中随机抽取20块面积相同的试验田，记录每块田的产量（单位：千克），并进行统计分析，为后续大面积推广提供数据支持． 【数据收集与整理】 甲作物产量数据（20块田，已按从小到大排序，经计算甲作物产量数据的方差约为1630）： 200，210，220，230，235，240，245，250，255，260，265，270，275，280，285，290，295，300，305，310 乙作物产量频数分布表（按组统计，经计算乙作物产量数据的方差约为2581）： 组别 产量范围（千克） 组中值（千克） 频数 A 200≤x＜220 210 2 B 220≤x＜240 230 3 C 240≤x＜260 250 a D 260≤x＜280 270 4 E 280≤x＜300 290 2 F 300≤x≤320 310 1 （1）任务一填空：a＝　 　 ，甲作物产量的中位数为　 　 ； （2）任务二计算乙作物产量的平均数（使用组中值计算）； （3）任务三下列说法正确的一项是　 　 ；（填序号） ①甲作物产量的中位数比乙作物产量的中位数小． ②乙作物产量的众数不一定在C组． ③甲作物和乙作物的平均产量相等． （4）任务四推广决策 若要选择一种农作物进行大面积推广种植，根据抽样数据和计算结果，从平均产量和产量稳定性两方面来考虑，选择　 　 种作物更合适．（填“甲”或“乙”） 8．（2026•肥西县一模）新课标项目式学习探究综合与实践 【项目背景】 农业作为人类最基本的生产活动之一，关乎人类的生存和发展．两个数学兴趣小组分别前往甲、乙两个小麦种植基地，对两处基地的小麦长势进行调查统计，分析不同的自然环境对小麦长势的影响． 【数据收集与整理】 从甲、乙两处种植基地各随机抽取100株麦苗，在技术人员的指导下，测量每株麦苗的苗高（单位：cm）．将所收集的甲、乙两基地的样本数据进行分组，分别绘制了如下统计表1和扇形统计图． 表1甲基地样本数据统计表 苗高/cm 12 13 14 15 16 样本个数 12 15 30 a 5 【数据分析与运用】 对甲、乙两基地样本数据进行计算，结果如表2所示： 表2甲、乙两基地样本数据统计量 平均数/cm 中位数/cm 众数/cm 方差 甲 14.09 b 15 1.20 乙 14.21 14 c 0.91 请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务1填空：a＝　 　 ． （2）任务2乙基地样本数据中，苗高为15cm的麦苗有　 　 株． （3）任务3下列结论正确的是　 　 （填正确结论的序号）． ①甲、乙两基地样本数据的中等水平相同； ②两基地样本数据中，众数均为15cm； ③乙基地的麦苗长势较齐． （4）任务4农科院某小麦课题研究组想从甲、乙两基地中选择一个麦苗长势又高又整齐的基地进行实验，请你为该课题组推荐一个基地，并说明理由． 9．（2026春•安徽月考）物理变化与化学变化存在于我们生活中的方方面面，小明将常见的4种生活现象：A．光合作用，B．葡萄酿酒，C．冰雪融化，D．衣服晾干，分别写在四张不透明的卡片正面，卡片除字母和内容外，其余完全相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（注：生成新物质的变化叫做化学变化，A，B为化学变化，没有生成新物质的变化叫做物理变化，C，D为物理变化） （1）小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是　 　 ；（直接写结果） （2）小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求两张卡片均为物理变化的概率． 10．（2026•南陵县一模）综合与实践 GDP一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市GDP值，为安徽省经济蓝图发展提出建议． 将收集的数据进行如下分组： 组别 A B C D x x≥2000 1500≤x＜2000 1000≤x＜1500 x＜1000 绘制2023，2025上半年安徽省各市GDP频数分布直方图 （1）任务一：分别补全上述两幅条形统计图； （2）任务二：单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布） 2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030 2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135 2023年上半年16市GDP数据中位数是a，2025年上半年16市GDP数据中位数是b，则a＝　 　 ，b＝　 　 ； （3）任务三：下列说法正确的是　 　 ； ①相比2023年，2025年A组个数增加50%； ②相比2023年，2025年D组个数减少20%； ③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则． （4）任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出1～2条合理的建议． 考点2 几何综合 11．（2026•临泉县模拟）如图1，△ACB，△DCE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AB，DE交于点F． （1）求证：AF＝EF； （2）如图2，连接CF，过点A作AG⊥AC交CF延长线于点G，过点B作BH⊥BC交CE延长线于点H． ①求证：∠G＝∠DCG； ②若CH＝5，，求CF的长． 12．（2026•蜀山区校级一模）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E． （1）求证：CE＝CF； （2）若BC＝6，CE＝3，求AE的长； （3）如图2，在AC上取点G使AG＝CE，连接FG，求证：FG∥AB． 13．（2026•六安一模）在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点H，交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接DG，BG，BC与DG交于点I． （1）求证：BG＝DG； （2）求证：AH2+GF2＝HG2； （3）若AD＝4，AB＝2，求EI的长度． 14．（2026•蚌山区校级模拟）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，点B，C，G在同一直线上，连接BE，DG，EG． （1）求证：BE＝DG； （2）若EF＝1，当DG所在直线平分BE时，求AB的值； （3）如图2，连接AE，AG，当AG平分∠BGE时，求的值以及∠EAG的度数． 15．（2026•天长市一模）在△ABC中，BC＝8，两条高AD，BE交于点H，F是CH的中点，连接AF并延长交边BC于点G． （1）如图1，若△ABC是等边三角形， ①求证：AH＝2DH； ②求CG的长； （2）如图2，若AH＝DH，CG＝BD，求△ABC的面积． 16．（2026春•太和县校级月考）【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． 例5：如图19.2.13，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 分析：要证明四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需要证明四边形AFCE是平行四边形，又已知EF垂直平分AC，所以只需要证明OE＝OF． （1）【问题解决】请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程： （2）【结论应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AF＝5，DE＝3，则矩形ABCD的面积为　 　 ； （3）【拓展探究】如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，连接CE，若，BC＝6，∠BCD＝45°，则四边形AFCE的面积是　 　 ． 17．（2026•桐城市校级一模）综合与实践： 【实践操作】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．点E是△ABC外一点，连接BE，将线段EB绕点E按逆时针方向旋转，旋转角为α，得到线段ED，连接AE，BD，CD． 【探究发现】试证明：△ABE∽△CBD； 【性质应用】如图2，点E为正方形ABCD内一点，连接BE，将线段EB绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接BF，AE，DF，求出AE与DF之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当α＝120°时，点E在CA的延长线上，连接BE，将线段EB绕点E按逆时针向旋转120°，得到线段ED，连接DB，DC．求tan∠ECD的值． 18．（2025•庐阳区校级三模）已知：如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是直线BC上一个动点，以AD为底边作等腰直角△ADE，连接BE并延长交直线AC于点F，点G为BC的中点，连接AG，EG． （1）如图1，若点D在线段BC上，求证： ①△AEG∽△ADC； ②FD⊥BC． （2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，AE与BC相交于点H，当△ABC与△ADE全等时，求的值． 19．（2026•五河县二模）综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE交于点D，BE⊥DE交于点E，求证：DE＝AD+BE； 【深入探究】如图2，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°．分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连接DC交OB延长线交于点E，求的值； 【拓展延伸】如图3，点D是△ABC内一点，连接DA，DB，DC，∠ADB＝90°，∠ABD＝∠BCD＝30°，若CD＝1，，求AC的长． 20．（2026•鸠江区校级一模）在△ABC中，∠A＝∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在AC上，连接DE，BE，DC． （1）如图1，若DE⊥AB，求证：△BEA∽△CDA； （2）如图2，已知BE⊥DC于点F． （ⅰ）求证：AD•BF＝BD•CF； （ⅱ）如图3，若DE∥BC，AC＝2，求CE的长． 考点3 函数综合 21．（2026•瑶海区二模）对于代数式A和B定义一种新运算：A*B＝A2+2AB． （1）求二次函数y＝（x﹣3）*（﹣1）的顶点坐标； （2）已知：二次函数y＝（x﹣3）*m（m为常数，且m≠﹣1）； （i）若函数的对称轴为直线x＝2，求m的值； （ii）若y＝（x﹣3）*（﹣1）与y＝（x﹣3）*m的函数图象交点为M，过点M作一条直线分别与两个函数图象交于P、Q两点，当P、Q两点横坐标的差为5时，求m的值． 22．（2026•包河区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与直线y＝k交于点A、B． （1）若点A，B的横坐标分别为1，3且函数的最小值为2，求b，c的值； （2）若k＝0，即点A、B在x轴上时，点A，点B的横坐标分别为x1，x2． （i）b＝　 　 ，c＝　 　 （用含x1，x2的代数式表示）； （ii）若该函数的图象经过点（1，n），且x1＝﹣1，0＜x2＜1，求c•n的取值范围． 23．（2025•潜山市三模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1， （1）当m＝﹣3时， ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝﹣4，求y1+y2的最小值． （2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1． 24．（2026•安徽模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t． （1）当t＝3时． （ⅰ）直接写出b与a之间的数量关系； （ⅱ）若y1＝y2，求代数式x1+x2的值； （2）已知x1＝t﹣4，x2＝t+2，点C（x3，y3）在该抛物线上．当4＜x3＜5时，总有，求t的取值范围． 25．（2026•蜀山区校级一模）某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状．在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m，抛物线C1；C2是从喷水头A处喷出的两股水流．经测量得，抛物线C2的最高点C距离水面2.5m，且与喷水头A的水平距离为2m，设抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距水面的高度． （1）求抛物线C2的表达式； （2）若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的． ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1，C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头A的水平距离为km，直接写出k的取值范围． 26．（2026•当涂县一模）已知二次函数y＝ax2+bx同时经过点（1，m）和（3，m）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx的最大值为﹣4a2+8． ①求抛物线表达式； ②点P（x1，p），Q（x2，q）是二次函数y＝ax2+bx图象不重合的两点（x1≠4），且满足，若p，q且都是正整数，是否存在满足上述条件的p，q值，如果存在，求出p和q的值；如果不存在，请说明理由． 27．（2026春•肥东县月考）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点不重合）． ①若，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； ②当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 28．（2026•合肥一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力，它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1．设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2．任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3．实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即t（M为定值，且M＞0，p＞0）； 4．实验数据：小组完成3组实验，记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 1×109 120 设备B（平板电脑） 2×109 a 设备C（笔记本电脑） 4×109 30 【项目探究】 （1）根据实验原理，该数据处理任务的总运算量M＝　 　 次，a＝　 　 ． （2）在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在20℃≤x≤40℃范围内，设备A和设备B的实际算力PA，PB（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：PA＝﹣2×107x+1.4×109，PB＝﹣4×107x+2.8×109．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． （3）设备C的实际算力PC（次/秒）与环境温度x（℃）（20≤x≤40）也满足一次函数关系，其表达式为：PC＝﹣1×108x+6×109．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在30℃时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 29．（2026•五河县二模）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌BC长为2.74米，王楚钦抽拉击球点A位于桌面左上方，过A作AO⊥BC，垂足为O，OB＝0.63米，以O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与王楚钦击球点A的水平距离为x（米），到桌球面的垂直高度为y（米），在球桌上的落点为D，经测试，抛物线L的表达式为y＝a（x﹣0.8）2+0.45，且当x＝1.8时，y＝0.25． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）乒乓球桌正中间位置安装的球网GH的高度为0.15米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点D的坐标；若不能，也请说明理由； （3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y＝﹣0.8（x+p）2+1.352的路线运动，樊振东球拍EF与球桌面垂直，球拍击球面的中心线EF长为0.2米，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求出CE的取值范围． 30．（2026•安徽一模）在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 1．综合与实践 【项目背景】 书，是人类进步的阶梯．为了解学生的课外阅读情况，某校对部分学生阅读课外书情况进行抽样调查统计． 【数据收集与整理】 对随机抽查的数据进行整理，并绘制出如下统计图，其中条形统计图丢失了阅读4本书的数据． 任务1：求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数； 【数据分析与运用】 任务2：根据随机抽查的这个结果，请估计该校1150名学生中课外阅读4本书的学生人数； 任务3：若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是4本，将这次补查的数据与之前抽查的数据合并分析后发现中位数并没有改变，请问这次最多又补查了多少名学生？ 2．为了解安徽五个地区的游客自驾到黄山景区的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地（皖A—合肥、皖B—芜湖、皖C—蚌埠、皖D—淮南、其他安徽地区）的不同，绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）小桐共调查了　 　 辆车，“其他安徽地区”对应扇形的圆心角为　 　 °； （2）依据相关数据，补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有600辆安徽地区自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖A—合肥”的车有多少辆． 3．安徽是我国黄淮海优质小麦核心产区，淮北平原为省内小麦种植核心区．为对比本地常规种植小麦与良种繁育试验田的小麦生长性状，农技人员分别从普通种植农田和良种繁育试验田中，各随机抽取20个采样点，测量小麦成熟株高（单位：cm，数据均为整数，且不低于60cm）．现对测量数据进行整理、描述和分析，小麦株高用x表示，共分四组：A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C．70≤x＜80；D．60≤x＜70． 下面给出了部分信息： 普通种植农田20个采样点的株高数据在B组中的是：81，82，82，83，83，83，88． 良种繁育试验田20个采样点的株高数据是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 两类农田采样点小麦株高统计表 地块类型 普通种植农田 良种繁育试验田 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 83 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）株高越高，说明小麦长势更好，根据以上数据，你认为哪类农田的小麦生长长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该片区普通种植农田总面积为560亩，良种繁育试验田总面积为500亩，按本次抽样标准，请估计该片区两类农田中，小麦株高不低于90cm的总面积共是多少亩？ 4．春季是流感的高发期，学校为普及科学防护知识，在七、八年级举行了一次流感科学防护知识竞赛，为了了解这两个年级学生的掌握情况，分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析，给出了如下信息． ①各年级成绩分布如下表： 年级 0≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七 1 4 6 2 4 3 八 4 4 3 2 5 2 （注：成绩在60分以下为不合格，80分及以上为优秀） ②其中七年级成绩在60≤x≤69一组的是：62，63，65，66，68，69． ③各年级成绩的平均数、中位数、方差、优秀率等如下表： 年级 平均数 中位数 方差 优秀率 七 66.8 a 83.5 35% 八 64.3 63 125.6 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）浩然同学的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，浩然同学的成绩高于平均数，却排在了后十名，则浩然同学是哪个年级的学生？并说明理由； （3）根据以上信息，给学校提出一些建议． 5．为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按表格进行整理．（成绩用x分表示） 测试成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 级别 及格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据所给的信息解答下列问题： （1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为 　 　 人，并补全条形统计图； （2）下列结论一定正确的是 　 　 ； ①所抽取学生的平均成绩为85分； ②这组数据的中位数一定在良好级别里； ③这组数据的众数一定在优秀等级里； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人去参加区级测试，试求恰好选中1男1女的概率． 6．在△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，作BE⊥AD，垂足为点E． （1）如图1，若点M为AB中点，求证：EM∥AC； （2）如图2，若点N为BC的中点，求证：； （3）如图3，在第（2）问的条件下，过点C作CH⊥AD，交点AD延长线于点H，连接HN，求证：HN⊥BC． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为斜边AB的中点，将线段AC平移至ED交BC于点M，连接CD，CE，BD，AD，线段AD交CE于点N，连接MN． （1）求证：CD＝BE； （2）求证：四边形BECD是菱形； （3）若AC＝10，，求MN的长． 8．如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN； （1）则DN与CM的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ． （2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长． 9．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 　 　 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE平行AB，交AD的延长线于点E，求AE的长； 综合应用 （3）如图3，已知四边形ADEB，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），则△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由． 10．在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）如图1，若，求的值． （2）如图2，若AB＝AD，连接EF并延长，交AD的延长线于点G． ①求证：CE＝CF． ②当∠B＝∠AEF时，求证：FG2＝AG•DG． 11．如图，在矩形ABCD中，∠DBC的平分线交CD于点P，过点D作DE⊥BP交BP的延长线于点E，DE与BC的延长线交于点F，且． （1）如图1，当时，DF与BP的数量关系为　 　 ． （2）如图2，连接CE，AE，AE与BD相交于点G，求证：△AGD∽△BGE． （3）如图3，当m＝1时，其他条件不变，若BC＝2，求CP的长． 12．已知△ABC，点D为∠ACB内一点，连接AD，BD，∠ACB＝∠DBC，AC＝CD． （1）如图1，过点C作CE⊥BD，垂足为点E，BE交AC于点F，∠DCE＝30°，CD＝2BD． （i）求证：AF＝EF； （ii）求证：AD•BC＝CD•DE． （2）如图2，若∠BDC＝90°，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，交CD于点H，点H为CD的中点，求的值． 13．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q． （1）如图1，求证：△CEQ∽△FEP； （2）如图2，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，若CG＝3，QG＝5，求QD的长； （3）如图3，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，直接写出的值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点F（x1，y1）、G（x2，y2）都在这个二次函数的图象上， ①若y1＝y2＝n，且﹣2≤x1﹣x2≤3，求n的取值范围； ②当x1＜x2时，若，求x1的值． 15．已知抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，若对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11，此时抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）经过（1，3）点，对称轴为． （1）求a，b的值； （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝2． ①求的值； ②求证：y1+y2＞6． 17．若函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0），在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝2，则称函数G是在m≤x≤n上的“和谐函数”． （1）已知函数G，当a＞0时，且函数G是范围2≤x≤4上的“和谐函数”，求a的值； （2）当a＝1时，若函数G是范围t≤x≤t+1上的“和谐函数”，请求出t的值； （3）已知函数G，当a＞0时，若函数G是范围m+1≤x≤2m+1（m为正整数）上的“和谐函数”，且存在整数k，使得，直接写出a的值． 18．定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：y＝3x2﹣6x﹣5的亲和同轴二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5． （1）函数y＝﹣x2+2x+2的亲和同轴二次函数为　 　 ． （2）若函数y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+a2+a+1（a≠0且a≠1）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点P（m，p），Q（m，q）（m＞0）分别在二次函数y1＝ax2﹣4ax+c（a且a≠1）及其亲和同轴二次函数y2的图象上，比较p，q的大小，并说明理由． 19．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2+bx图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为（2，﹣1）且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，点C，C1是叶片上的一对对称点，线段CC1交直线AB于点G．证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段CC1的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为（4，4）．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求MN的最大值． 20．数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示所称物体质量．电流I（单位：mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为2.2kg时，电流表显示为0.3mA． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． （1）当放置物体质量为2.2kg时，求此时可变电阻R1的值； （2）求电流I关于可变电阻R1的函数表达式； （3）为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 21．【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座APD+ABCD”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为x轴，大棚横截面中的“抛物线拱形APD”的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座（AB和CD）高度为2米，底部地面跨度（BC）为10米；“抛物线拱形”的最高点P到地面的距离为6米． （1）结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形APD”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 （2）为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：EF，HG均垂直于地面，EH平行于地面，且E、H两点落在抛物线上，F，G两点落在BC上．其中三根支架EF，HG，EH的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； （3）在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形EFGH的样式，且FG＝5米，EF＝5米，HG＝4米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点E、H同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $