题号猜押04安徽中考数学15～20题（解答题）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04安徽中考数学15~20题（解答题） 考点1 数与式、方程与不等式的计算 1．（2026•萧县一模）解方程：． 2．（2026•临泉县模拟）计算：． 3．（2026春•包河区期中）计算：． 4．（2026春•肥东县校级期中）解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 5．（2026春•庐江县月考）先化简，再求值：，其中． 6．（2026•庐江县二模）先化简，再求值：，其中x＝3． 7．（2026•芜湖校级一模）解一元二次方程：x2﹣1＝4x． 8．（2021•庐阳区校级四模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 9．（2025•肥东县校级三模）解不等式：． 10．（2026•肥西县一模）计算：． 11．（2026春•包河区期中）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（2x），其中x＝﹣2，． 12．（2026春•金安区校级同步）解方程组：． 考点2 图形的变化 13．（2026•庐江县二模）如图，△ABC的顶点分别为A（1，2），B（2，4）．先将△ABC以O为圆心逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，再通过平移变换得到△A2B2C2，得到的点B2的坐标是（0，﹣1）． （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2； （2）求出点B旋转过程中，点B1所经过的路径长（结果保留π）． 14．（2026•萧县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，2），C（1，3）． （1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF． 15．（2026•临泉县模拟）如图△ABC的顶点在格点上，点O，A1也在格点上，按要求完成下列问题． （1）若点O为原点，点C坐标为（﹣2，﹣2），请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A1的坐标； （2）平移△ABC，使点A移动到点A1位置，画出平移后的△A1B1C1． 16．（2026•长丰县二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，A，B，C，D是格点（网格线的交点），其中点D的坐标为（3，3）． （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标； （2）仅用无刻度直尺在AC上找一点E，使得BE⊥AC． 17．（2026春•庐江县月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DFE关于点O成中心对称，△ABC与△DFE的顶点均在格点上． （1）请在图中直接画出点O； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，请画出△A1B1C． 18．（2026•芜湖校级一模）如图，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，在网格中画出旋转后的图形△A2B2C2． 19．（2026•寿县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为（﹣2，1）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，在所给的网格图中画出△A1B1C1； （2）在所给的网格图中找到两点M，N，使得M，N均在线段A1B1的垂直平分线上，并写出点M和点N的坐标． 20．（2026•合肥校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，已知点A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣2）． （1）画出线段AB； （2）将线段AB向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段A1B1，画出线段A1B1； （3）以O为位似中心，在第三象限内把线段AB缩小到原来的一半，得到线段A2B2，画出线段A2B2． 21．（2026•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．已知A（2，3），B（5，1），C（6，6）． （1）画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称； （2）只用无刻度的直尺在AC上找一点P，使得AP：CP＝3：2（保留作图痕迹，体现作图过程）． 22．（2026•裕安区校级模拟）在如图所示的正方形网格图中，△ABC的顶点均在格点上，线段A1B1与线段AB关于点O成中心对称． （1）按要求画图． ①画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点O成中心对称； ②画出△ABC关于直线a对称的△A2B2C2． （2）△A2B2C2与△A1B1C1是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线． 考点3 方程的应用 23．（2026春•临泉县月考）如图，书架宽80cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．如果书架上已摆放15本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 24．（2026春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝1﹣k． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 25．（2025春•南陵县期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 26．（2025秋•埇桥区校级期中）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车． 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 27．（2026•临泉县模拟）随着“苏超”联赛的爆火，各球队的足球周边（足球服、围巾等）也随之热卖．某足球俱乐部的第一轮比赛中，足球服、围巾的销售总额分别为15000元、12000元，足球服每套的售价是围巾每条售价的2.5倍，足球服的销售量比围巾的销售量少30件．问足球服、围巾的售价单价分别是多少元？ 28．（2026•庐江县一模）近年来，安徽省援疆指挥部加大消费扶贫力度，通过全省上下联动，助力新疆皮山县销售农产品．某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元． （1）求A，B两款坚果礼盒的单价； （2）某公司计划购买A，B两款坚果共100盒，且B款不超过A款的，求该公司最多需花费多少元． 29．（2026春•太湖县月考）某服装店购进A，B两种款式夏季T恤衫共100件，这两种T恤衫的进价与售价如表： 款式 进价（元/件） 售价（元/件） A款 25 35 B款 45 65 （1）如果购进这两种夏季T恤衫花费3300元，那么A，B两种夏季T恤衫分别购进多少件？ （2）销售完这批夏季T恤衫获得的利润是多少元？ 30．（2026•怀宁县开学）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 31．（2026•长丰县二模）某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有40人，其中成人人数比儿童人数的2倍少5人． （1）填空：参加报名的儿童有　 　 人，成人有　 　 人； （2）旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子．购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子40元，打五折优惠，旅行社预算不超过1200元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 考点4 规律探究 32．（2026•寿县一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： （1）第5个图案中盆景的盆数为　 　 ，花卉的盆数为　 　 ； （2）第n（n为正整数）个图案中盆景的盆数为　 　 ，花卉的盆数为　 　 ； （3）已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 33．（2026春•宣城月考）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长40cm，宽30cm的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm（0＜a＜50）的长方形纸板． [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②． [任务1]熟悉材料 （1）按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为　 　 ． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 34．（2026•萧县一模）观察下列各式；；． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则a＝　 　 ； （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围； （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 35．（2026春•合肥期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； … 【规律发现】 （1）计算： 　 　 ； 　 　 ； （2）用字母n表示出第n个等式：　 　 ； 【规律应用】 （3）根据上述等式规律，化简：． 36．（2026•临泉县模拟）【问题背景】小林和小明在探究“5、8、13、20、29、…”这列数字的第n个数字是什么时，他们之间有不同的方法． （1）【小林】他发现这组数据中后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、…，后一个数字也恰好等于前一个数字加上他们的差，如： 8＝5+3、13＝5+3+5、20＝5+3+5+7、29＝5+3+5+7+9，… 按此规律，我们发现第n个数字就是：5+3+5+7+9+11+⋯+　 　 的和；这一列数据求和又该如何计算？ 小林翻阅资料发现：在计算1+2+3+4+⋯+100时，是按照下列方法计算： ， 按此规律，1+2+3+4+⋯+n＝　 　 ；请你按此规律计算出第n个数字是　 　 ； （2）【小明】小明联想到在“完全平方公式”的证明时，采用数形结合的方式进行证明．于是小明发现“5、8、13、20、29…”这列数字可对应下列图案： 每个图案的外围有　 　 个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…　 　 ”（填第n个图案中间点的数量）延续下去，于是我们可以知道第n个图案的点数由两部分组成，从而求出第n个数字． （3）【规律应用】结合上述两种方法，请你运用“数形结合”思想，通过画图来探究“4、10、18、28、40、…”第n个数字是什么？请画出对应图案． 37．（2026•长丰县二模）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等． （1）按上述规律，（a+b）4展开式中共有　 　 项，第三项是　 　 ； （2）请直接写出（1+y）5的展开式　 　 ； （3）利用上面的规律计算：26+6×25×（）+15×24×（）2+20×23×（）3+15×22． 38．（2026春•包河区期中）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝12+2×1+1； 第2个等式：32＝22+2×2+1； 第3个等式：42＝32+2×3+1； 第4个等式：52＝42+2×4+1； … （1）请用此方法拆分252； （2）请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n（n为正整数）个等式，并借助运算证明这个结论是正确的． 39．（2026•六安一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． （1）按图中所示的规律拼接，　 　 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） （2）第1个图案有6个正方形，第2个图案有11个正方形，第3个图案有16个正方形，…，按此规律摆下去，则第n个图案有个正方形；（用含n的代数式表示） （3）若正多边形的边长为10cm，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大1200cm？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 40．（2026•天长市一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． （1）【规律特殊化】给出一列数据：2，5，8，11，14，…依次把这列数据记为a1，a2，a3…，则a1＝2，a2＝5，a3＝8…，则a8＝　 　 ，a1+a8　 　 a4+a5（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）【规律一般化】这列数据的第m，n，p，q（m，n，p，q均大于1）个数据分别为am，an，ap，aq，且m+n＝p+q，探究am+an与ap+aq之间的关系． 思路探究：∵am＝2+3（m﹣1）＝3m﹣1，an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1， 同理ap＝　 　 ，aq＝　 　 ， ∴am+an＝　 　 ，ap+aq　 　 ． ∵m+n＝p+q， ∴am+an　 　 ap+aq； （3）【思想一般化】已知n（n≥8）个正实数a1＝2，a2，a3，…，an满足，其中q＞0，q≠1．则a1+a8　 　 a4+a5（填“＞”“＜”或“＝”）． 41．（2026•六安一模）“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： （1）第6个图案中“☆”的个数是　 　 ；第n个图案中“☆”的个数为　 　 ； （2）若第（n+1）个图案与第（n﹣3）个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 42．（2026•安庆模拟）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，⋯． （1）按此规律，第6个图案中有多少个正六边形？第n个图案中有多少个正六边形？（用含n的代数式表示） （2）在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为2053，求这两个图案分别是第几个图案； （3）在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a，b的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 43．（2026•肥西县一模）如图，将形状、大小完全相同的“．”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“．”的个数为3，第2个图案中的“．”的个数为8，第三个图案中的“．”的个数为15，…，以此类推． （1）第5个图案中“．”的个数是　 　 ； （2）请用含n的代数式（n为正整数）表示第n个图案中“．”的个数　 　 ．判断是否存在图案中的“．”的个数为120，并说明理由． 44．（2026•巢湖市一模）项目式学习 【任务一阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【任务二应用体验】 根据图表直接写出（a+b）5＝　 　 ． 【任条三拓属提升】 若（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7为各项系数，则a2+a5＝　 　 ； 若（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，其中a1，a2，⋯a2023，a2024，a2025为各项系数，则求a1+a2+a3+…+a2023+a2024+a2025＝　 　 ． 45．（2026•颍东区校级一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： 1＝12； 1+3＝4＝22； 1+3+5＝9＝32； 1+3+5+7＝16＝42； 1+3+5+…+（2n﹣1）＝①　 　 （n是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②　 　 块正方形和③　 　 块正三角形地板砖． （2）第n层中分别含有④　 　 块正方形和⑤　 　 块正三角形地板砖．（用含n的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥　 　 元． 46．（2026•全椒县校级模拟）观察以下等式： 第1个等式：（4×1+1）2＝（4×3+1）2﹣（4×3）2； 第2个等式：（4×2+1）2＝（8×5+1）2﹣（8×5）2； 第3个等式：（4×3+1）2＝（12×7+1）2﹣（12×7）2； 第4个等式：（4×4+1）2＝（16×9+1）2﹣（16×9）2； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 47．（2026•阜南县一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地． 【项目准备】 设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为1米，正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放1盆）． 【项目分析】 按照以上图形规律，解答下列问题： 填表： 图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米） 第1个图案 6 第2个图案 12 第3个图案 20 第4个图案 ① ② 第5个图案 ③ ④ … … … （1）请补充表格中的数据：①　 　 ，②　 　 ，③　 　 ，④　 　 ； （2）第n（n为正整数）个图案需要花卉　 　 盆，占地面积　 　 平方米；（用含n的式子表示）； 【项目实施】 （3）已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了132盆花卉，求该图案的占地面积有多少平方米？参考数据：． 考点5 解直角三角形的应用 48．（2026•安庆模拟）项目式学习 项目背景 飞来石（图1），位于安徽省黄山风景区平天红的一块平坦岩石上，由中细粒斑状花岗岩经风化作用形成．图2为其侧面示意图．某学校科技小组想用所学知识使用无人机测量飞来石的高度AB（飞来石的底部不可到达）． 图示及说明 如图2所示，无人机从C点竖直上升到D点，测得CD的长为3m，飞来石顶部A的仰角为22°．接着无人机沿着与水平线成30°角的方向继续飞行到点E，此时无人机正好在A的正上方，测得AE的长为4m． 任务 求飞来石的高度AB；（结果保留整数） 参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，． 49．（2026•合肥模拟）如图，为测量平台BC上一旗杆AB的顶端A距离地面MP的高度，先用测角仪在地面N处使点A，点C和测角仪所在点C在一直线上，此时测得∠AED＝58.0°，MN＝5.0m，再将测角仪移到地面P处，测得∠AFD＝36.9°，MP＝19.6m．已知图中所有点都在同一竖直平面内，CM⊥MP，四边形MNED和MPFD均为矩形，FP＝1.6m，求A距离地面MP的高度d．（结果精确到0.1m） 参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60． 50．（2026•芜湖模拟）江西瑞金光明塔矗立于瑞金市历史博物馆内，它是瑞金当地历史悠久的古塔之一，古塔前面的广场也是当年红军长征出发的集结地．我校九年级（1）班利用周末时间开展“测量光明塔高度”的实践活动，想得到光明塔的高度．如图，光明塔AB垂直于地面，在塔的两侧不远处取C、D两点，C、D两点之间的距离为23m，并测量出∠ACB＝45°，∠ADB＝42°．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47，，结果保留一位小数） （1）求光明塔AB的高度； （2）在测量时，同学们发现塔身第三层的位置镌嵌着“正”、“大”、“光”、“明”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到∠EDB＝25°，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 51．（2026春•马鞍山月考）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝12m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（，结果保留整数） 52．（2026•瑶海区模拟）年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为30m； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为39°； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为30m，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为10m． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，CD＝30m，DF＝30m，EH＝10m，α＝39°． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机． 参考数据 sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81． 问题解决 求松树AB的高度．（结果精确到0.1m） 53．（2026•合肥模拟）根据以下材料，完成任务． 材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地． 材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点A距离地面3m，AB与水平面的夹角为16°． 材料3 当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，阴影CD的长约为2.8m． 任务1 求出大树的树枝AB的边缘点A到树干BC的距离． 任务2 求出大树的树枝AB的长度（保留整数）． 备注 参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29． 54．（2026•固镇县一模）敏敏同学在物理课上学过平面镜成像的知识后，在老师的指导下，去某处仓库作验证实验．如图，老师在仓库房顶的角落安装一面平面镜MN，且MN与竖直墙面AB的夹角∠NMB＝125°．已知仓库高6米（即AB＝6米），房顶与地面平行，敏敏同学在点N的正下方C处观察平面镜，能看到的最远处为点D（A，B，M，N，C，D在同一竖直平面内），则点D到敏敏同学的距离CD是多少米？ 参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75． 55．（2025秋•蒙城县期末）洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据：AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，求落水点C到洗手盆边的宽度EC．（结果取整数，参考数据，sin37°，cos37°，tan37°，1.7） 56．（2026•固镇县一模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.5m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为15°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为45°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 57．（2026•黄山一模）中国南北分界线位于安徽蚌埠龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰•龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单． 活动项目 测量南北分界线雕塑的高度 活动方案 方案一 方案二 测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺 方案示意图 测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角∠ACE； ③测量点C到地面的高度CD． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段BD上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度CD． 活动数据 ∠ACE＝30.9°，CD＝1.60m，BD＝63.83m，sin30.9°≈0.52，cos30.9°≈0.86，tan30.9°≈0.60． ED＝5.01m，CD＝1.60m，BE＝125m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③由物理学知识可得∠CED＝∠AEB． 请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米） 考点6 反比例函数的综合应用 58．（2026•安庆模拟）已知：如图，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，n），与x轴交于点B，以OB，AB为邻边构造▱ABOC． （1）求反比例函数的解析式； （2）求▱ABOC的面积． 59．（2026•太和县一模）如图，直线y＝x+5与反比例函数的图象交于点A（a，6）． （1）求a的值和反比例函数的表达式． （2）直线y＝x+5向下平移后与反比例函数的图象交于点B（b，2），求直线y＝x+5向下平移的距离． 60．（2026•阜南县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB和△BCD均为等边三角形，点A和点C均在反比例函数的图象上，点B，D均在x轴上，已知． （1）求k的值； （2）求点D的横坐标． 61．（2026•萧县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标． 62．（2026•寿县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点． （1）若x1＝﹣2，求k的值； （2）求x1y2+x2y1的值． 63．（2026•镜湖区校级一模）如图，直线l：y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（m，n）在直线l上，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点P． （1）若m＝1，求反比例函数的解析式； （2）若，求m的值． 64．（2026•当涂县一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数沿y轴向上平移a（a＞0）个单位后得到一次函数y2，y2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，且B是OD中点． （1）求a的值； （2）当x＞0时，比较y2和y3大小关系． 65．（2026•安徽模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1，b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数（k2为常数，k2≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（﹣3，2），点B的坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点C（0，n）（n≥2）且平行于x轴的直线分别交函数y1＝k1x+b，的图象于点D，E，若DE＝3，求n的值． 66．（2026•庐江县二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 67．（2026•巢湖市一模）一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，2），B（﹣3，b）两点，且a+b＝2． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）点C（c，0）是x轴上的一点，若∠ACB＝90°，求c的值． 68．（2026春•蜀山区校级月考）如图，四边形ABCD为矩形，顶点A，D，C的坐标依次为（3，6），（9，6），（9，2），对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 69．（2026春•安庆月考）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝ax（a为常数且a≠0）与双曲线交于A，B两点，直线l2：y＝cx+d（c，d为常数且c≠0）与双曲线在第一象限交于点A，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（﹣1，m）． （1）求直线l1和反比例函数的解析式； （2）若S△AOC＝2，求直线l2的函数解析式． 考点7 圆的综合应用 6．（2026春•庐江县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于E，BF是⊙O的切线． （1）求证：BC平分∠DBF； （2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积． 65．（2026•庐江县二模）如图，已知在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，且点D为弧BC的中点，过点D作DE平行于AB交AC于点E，连接OD． （1）如图1，求证：四边形AODE为菱形； （2）如图2，连接BC，BD，若AC＝8，BC＝6，求tan∠CBD的值． 66．（2026•长丰县二模）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，CA与OF相交于点E． （1）求证：DC＝DE； （2）若OA＝2OE，DF＝3，求PB的长． 67．（2026•蚌埠一模）如图，△ABC内接于⊙O，2∠OBC＝90°+∠OAB． （1）求证：∠ACB＝2∠BAC； （2）若CE⊥OB交OB于E点，求证：AB＝2CE． 68．（2026•合肥校级一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝1，求⊙O的半径． 69．（2026•颍泉区校级一模）如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°．点D为BC延长线上一点，且DA是⊙O的切线． （1）求证：AD＝OB； （2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为2，求线段EF的长． 70．（2026•安庆模拟）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OA上一点，连接CD并延长CD交⊙O于点M，点N是OA延长线上一点，连接MN，MN＝DN． （1）求证：MN为⊙O的切线； （2）若OD＝2且AD＝AN，求⊙O的半径． 71．（2026•镜湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，AD平分∠CAB交⊙O于点D，交BC于点F，DE⊥AB交BC于点G，垂足为点E． （1）求证：DG＝FG； （2）若∠B＝30°，AC＝2，求DE的长． 72．（2026•马鞍山校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D．过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝15，BC＝8，求CD的长． 73．（2026•巢湖市一模）综合与实践 【研究背景】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，圆O是△ABC的外接圆，外接圆半径为R． 【操作探究】补充下面证明说理． 如图2，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠A＝∠D（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），∠DCB＝90°（半圆（或直径）所对的圆周角是直角）， ∴， ∴． 猜想：在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，圆O是△ABC的外接圆，外接圆半径为R，则有． 【理解应用】如图3，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，∠AD平分∠BAC，则　 　 ； 【问题解决】 太平湖位于黄山区，是青弋江上游一座人工大水库，有着“东方日内瓦”“未经雕琢的翡翠”之美誉．某综合与实践小组要绘制一幅太平湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，在空旷地找一点C，利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈70°，∠B≈62°，利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈7260m，AC≈6800m．求A，B两岛在图纸上的距离．（比例尺为1：100000，结果精确到0.1cm．参考数据：sin70°≈0.94，sin62°≈0.88，sin48°≈0.74） 74．（2026春•安庆月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB交CD于点F，连接PD，BC，∠PBC＝∠C． （1）求证：PF＝DF； （2）若，BE＝3，求⊙O的半径长． 75．（2026•太和县二模）如图1，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连接AC，BC，点D在上，连接OD，交BC于点E，连接AD，交BC于点F，连接OF，且∠ADO＝∠DAC． （1）求证：D是的中点． （2）如图2，将OF绕点F顺时针旋转90°，点O恰好落在线段AC上的点G处．若，求sin∠ABC的值． 1．（2026•安徽三模）化简：（﹣x+3y）（﹣x﹣3y）+（x﹣2y）2． 2．（2026春•合肥校级期中）先化简，再求值：5m（m﹣2n）﹣（3m﹣2n）（m﹣3n），其中m＝2，n＝﹣1． 3．（2026春•合肥校级期中）解不等式组：． 4．（2026•罗湖区二模）计算：． 5．（2026•宝安区二模）计算：． 6．（2026•灞桥区校级模拟）先化简；再求值：，再从﹣1，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 7．（2026•灞桥区校级模拟）解方程：． 8．（2026春•萧山区期中）解分式方程：． 9．（2026•启东市模拟）某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐x个，购买乙型号玻璃罐y个，所需总费用为w元． （1）当x＝6时，y的值为　 　 ； （2）求w关于x的函数关系式； （3）求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 10．（2026•光明区二模）为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程．已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度． （1）求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； （2）已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务会产生3000元材料费用．现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 11．（2026•大连一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：mm），振动频率记为f（单位：Hz），记录数据如表： l/mm … 60 72 90 120 144 160 180 … f/Hz … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点（l，f），并用平滑曲线连接这些点．分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 do re mi fa sol la si f/Hz 261.63 293.66 329.63 349.23 392.00 440.00 493.88 根据以上信息，解决下列问题： （1）求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； （2）当吸管长度为80mm时，求对应的振动频率； （3）在制作乐器时，唱名la对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 12．（2026•安徽三模）合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用6600元购进A、B两款合肥本土科创联名文具，其中B款文具的数量比A款文具数量的一半多15件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 A款 B款 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 （1）该文创店购进A、B两款文具各多少件？ （2）该文创店将购进的A、B两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 13．（2026•大连一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD是⊙O的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接OC，过点C作⊙O的切线与BD的延长线相交于点E，若．求的长． 14．（2026•包头一模）某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥.2023年甲、乙两种化肥每件的进价均为100元，随着生产技术的优化，到2025年，甲种化肥每件的进价年平均下降20元，乙种化肥每件的进价降至64元． （1）经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； （2）2025年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共100件供应农户，总资金不超过6200元，则至少购进甲种化肥多少件． 15．（2026•安徽三模）如图，⊙O的半径OC与弦AB交于点E，点D在上，连接AD，BD，CD，CD平分∠ADB，CD交AB于点F． （1）求证：OC⊥AB； （2）若AB＝24，CE＝5，，求CD的长． 16．（2026•安徽三模）文物保护团队对某明清古村落开展数字化测绘工作：古村落北门门楼为A点，南门古井D点，A、D两点在村落的南北向中轴线上；村落西侧的古驿道CD为东西走向，且与中轴线AD垂直．测绘路线为：从北门门楼A出发，先到位于A南偏西30°方向的省级文保古民居B，再沿南偏西53°方向行至古驿道上的古渡口C，最后沿古驿道向东行至南门古井D．已知古民居B到古渡口C的距离为400米，古渡口C到南门古井D的驿道长度为800米，求北门门楼A到南门古井D的中轴线长度（结果取整数）． 参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.67，． 17．（2026春•海州区期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+⋯+22020+22021① 则2S＝2+22+⋯+22021+22022② ②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋯+220＝　 　 ； （2）求　 　 ； （3）求（﹣3）+（﹣3）2+⋯+（﹣3）109的和．（请写出计算过程） 18．（2026春•江都区期中）观察下列等式： ①32﹣12＝8＝8×1； ②52﹣32＝16＝8×2； ③72﹣52＝24＝8×3； … （1）请写出第④个等式：　 　 ； （2）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：　 　 ； （3）证明你发现的规律． 19．（2026春•吴中区期中）观察下列等式，回答问题： ①32﹣12＝8×1； ②52﹣32＝8×2； ③72﹣52＝8×3； ④92﹣72＝8×4； … （1）写出第⑤个等式：　 　 ； （2）写出第n个等式：　 　 ； （3）证明第n个等式成立． 20．（2026•蚌埠一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 21．（2026•庐阳区校级一模）【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“◎”的个数为　 　 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，…，第n个图案中“★”的个数可表示为　 　 ． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“◎”的个数的3倍． 22．（2026•安庆模拟）用长度相等的木棍按一定规律拼成如图图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形． （1）第3个图案中用了28根木棍拼成了　 　 个正六边形和　 　 个正方形； （2）第n个图案中用的木棍根数为　 　 个（用含n的代数式表示）； （3）如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 23．（2026•播州区一模）如图，反比例函数与一次函数相交于A（5，1），两点． （1）求反比例函数的解析式及m的值； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 24．（2026春•万州区校级期中）如图，反比例函数y1（m≠0）的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣3，﹣1）和点B（n，3）． （1）求反比例函数表达式y1和一次函数表达式y2； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围． 25．（2026春•龙港区月考）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知A（2，n），B（3，2）． （1）分别求出直线和双曲线的函数表达式； （2）设点M是线段AB上的一个动点，过点M作MC⊥x轴于点C，N是y轴上一点，当△MNC的面积最大时，请求出此时M点的坐标． 26．（2026春•罗湖区校级期中）画图题 在平面直角坐标系中有△ABC，其中格子均为正方形且边长为1单位长度． （1）△ABC绕某点顺时针旋转90°至△A1B1C1，求旋转点坐标（　 　 ，　 　 ）； （2）画出△ABC沿着y轴负方向移动3个单位的图形△A2B2C2； （3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A3B3C3； （4）求△AA1A3的面积． 27．（2026春•海陵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1． （2）将△ABC作一次平移运动，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2，求线段BC在平移过程中扫过的面积； （3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是　 　 ． 28．（2026春•西湖区期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上）． （2）在图2中画一个平行四边形A′B′C′D′，使平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称． 29．（2026春•洛宁县期中）某体育场为满足市民运动需求，计划对体育场进行升级改造．现有甲、乙两个施工队，已知甲施工队改造5000平方米与乙施工队改造3000平方米所用时间相同，且甲施工队平均每天比乙施工队平均每天多改造20平方米，求甲、乙两施工队平均每天改造多少平方米． 30．（2026春•沂源县期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖，用于铺设一个村民活动场所．现向某运输公司同时租赁A，B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满路面砖，一次可分别运多少吨？ （2）若A型车每辆租金为400元/次，B型车每辆租金为500元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 31．（2026•东丽区一模）已知在⊙O中，点C为的中点，连接OC交弦AB于点E，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，CD． （Ⅰ）如图①，连接AC，若∠D＝28°，求∠OBA和∠OAC的度数； （Ⅱ）如图②，过点A作⊙O的切线交OC延长线于点F，若∠D＝30°，OA＝3，求AB和AF的长． 32．（2026•广州模拟）如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC上的一点，以O为圆心作⊙O，分别与AB，AC相切于点D，E，连接OD，OE． （1）证明：△BOD≌△COE； （2）若∠A＝120°，BC＝12，求的长（结果保留π）． 33．（2026•莱芜区模拟）如图，CD与⊙O相切于点C，直径AB的延长线交CD于点D，连接AC，BC． （1）求证：∠BAC＝∠BCD； （2）若，CD＝6，求⊙O的半径． 34．（2026•朝阳区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O在AB边上，以O为圆心，OA为半径作圆，分别与AB，AC边交于点D，E，连接BE，BE＝BC． （1）求证：直线BE是⊙O的切线； （2）过点A作AM⊥BE，交BE的延长线于点M，AM交⊙O于点N，若，AN＝6，求BC的长． 35．（2026•大连模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，过点D作⊙O的切线与BC的延长线相交于点E，连接AC． （1）求证：∠E＝∠BAC； （2）若ED∥AC，，求CD的长． 36．（2026•未央区校级模拟）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，连接AB，BC，AC，AD，CD，且AD经过圆心，延长BC交⊙O的切线AE于点E，切点是A． （1）求证：∠B＝∠CAE； （2）若，，求BC的长． 37．（2026•西城区一模）如图，AB，CD均为⊙O的直径，作弦AE⊥CD于点F，连接AC．过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点G． （1）求证：； （2）连接DE，若，求EG的长． 38．（2026•新泰市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的半圆O交AC于点D，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，且BF＝BE． （1）如图1，求证：AC是⊙O的切线； （2）如图2，连接BD，若∠A＝30°，BC＝6，求阴影部分的面积． 39．（2026•福州模拟）综合与实践． 探究小车轮的形状原理 圆形车轮 车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，且最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为10cm，其车轮最高点到地面的距离始终为20cm． 正方形车轮 若车轮的形状为正方形，显然，车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O．任务一：若正方形的边长为8cm，计算车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差； 等边三角形车轮 任务二：如图3，等边三角形的边长为6cm，车轮轴心为O（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长； 莱洛三角形车轮 如图4，以等边三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以等边三角形的边长为半径作60°弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．小明经过探究发现，“莱洛三角形”车轮在滚动过程中（如图4）最高点离地面的距离始终相等，即莱洛三角形滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡．显然，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，大致为　 　 ．（填写对应的字母） 任务三：已知OA＝6cm，请计算莱洛三角形的轴心O距离地面的最高点和最低点的高度差． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 安徽中考数学15-20题（解答题） 考点1 数与式、方程与不等式的计算 1．（2026•萧县一模）解方程：． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：2x﹣x（x+1）＝（1﹣x）（x+1）， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x（x+1）≠0， 故原方程的解为x＝1． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 2．（2026•临泉县模拟）计算：． 【分析】根据实数的运算，特殊角的三角函数值的运算法则进行计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键． 3．（2026春•包河区期中）计算：． 【分析】利用完全平方公式展开及化简二次根式，最后合并同类项即可． 【解答】解：原式＝3﹣44﹣2 ＝7﹣6． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握其知识点是解题的关键． 4．（2026春•肥东县校级期中）解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解． 【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0， x﹣7＝0或x+1＝0； 解得：x1＝7，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 5．（2026春•庐江县月考）先化简，再求值：，其中． 【分析】先算括号里面的加法，再算乘除化简分式，最后代入求值． 【解答】解： ． 当a1时， 原式 ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 6．（2026•庐江县二模）先化简，再求值：，其中x＝3． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 当x＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2026•芜湖校级一模）解一元二次方程：x2﹣1＝4x． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， ∴， 解得：． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 8．（2021•庐阳区校级四模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1， ． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2025•肥东县校级三模）解不等式：． 【分析】根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【解答】解：原不等式去分母得x﹣1＜3x+3， 移项得x﹣3x＜3+1， 合并同类项得﹣2x＜4， 系数化为1得x＞﹣2． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 10．（2026•肥西县一模）计算：． 【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解： ＝﹣2． 【点评】本题考查的是实数的运算，零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 11．（2026春•包河区期中）先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（2x），其中x＝﹣2，． 【分析】先根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【解答】解：原式＝（4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣4x2+2xy）÷（2x） ＝（x2+4xy）÷（2x） ； 把x＝﹣2，代入得：原式． 【点评】本题主要考查乘法公式、多项式除以单项式及化简求值，熟练掌握乘法公式及多项式除以单项式是解题的关键． 12．（2026春•金安区校级同步）解方程组：． 【分析】直接利用加减消元法进行求解． 【解答】解：原方程组变为：， ①﹣②得，5y＝40， ∴y＝8， 将y＝8代入①， 2x+8＝26， ∴x＝9， ∴． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 考点2 图形的变化 13．（2026•庐江县二模）如图，△ABC的顶点分别为A（1，2），B（2，4）．先将△ABC以O为圆心逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，再通过平移变换得到△A2B2C2，得到的点B2的坐标是（0，﹣1）． （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2； （2）求出点B旋转过程中，点B1所经过的路径长（结果保留π）． 【分析】（1）根据平移和旋转的性质作图即可． （2）利用弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求． （2）由勾股定理得，， ∴点B1所经过的路径长为． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轨迹、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 14．（2026•萧县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，2），C（1，3）． （1）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后连接即可得到△A1B1C1； （2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点D、E、F，再顺次连接各顶点，得到△DEF． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作； （2）如图，△DEF即为所作． 【点评】本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．在画位似图形时需要注意，位似图形的位似中心可能在两个图形之间，也可能在两个图形的同侧． 15．（2026•临泉县模拟）如图△ABC的顶点在格点上，点O，A1也在格点上，按要求完成下列问题． （1）若点O为原点，点C坐标为（﹣2，﹣2），请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A1的坐标； （2）平移△ABC，使点A移动到点A1位置，画出平移后的△A1B1C1． 【分析】（1）根据原点与点C的坐标可建立坐标系，且每个小网格的边长为1个单位长度，根据坐标系可直接写出点A1的坐标； （2）将△ABC向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图1即为所求； 由图可知，A1（3，﹣2）； （2）平移后的△A1B1C1，如图2即为所求． 【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 16．（2026•长丰县二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，A，B，C，D是格点（网格线的交点），其中点D的坐标为（3，3）． （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标； （2）仅用无刻度直尺在AC上找一点E，使得BE⊥AC． 【分析】（1）将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，则点D为AA1，BB1，CC1的中点，据此可得点A1，B1，C1的坐标，据此结合网格的特点作图即可； （2）取点F（4，1），连接AF，CD交于点G，连接BG并延长交AC于点E，则点E即为所求；可证明AC＝BC，D为AB的中点，则CD⊥AB，而AF⊥BC，则BE⊥AC． 【解答】解：（1）将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，则点D为AA1，BB1，CC1的中点，据此可得点A1，B1，C1的坐标，如图所示，△A1B1C1即为所求，则C1（﹣1，5）； （2）取点F（4，1），连接AF，CD交于点G，连接BG并延长交AC于点E，则点E即为所求，如图所示，点E即为所求； 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（2026春•庐江县月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DFE关于点O成中心对称，△ABC与△DFE的顶点均在格点上． （1）请在图中直接画出点O； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，请画出△A1B1C． 【分析】（1）分别连接BF，CE相交于点O，则点O即为所求； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求； （2）如图所示，△A1B1C即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． 18．（2026•芜湖校级一模）如图，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，在网格中画出旋转后的图形△A2B2C2． 【分析】（1）分别作出三角形三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形即可． 【解答】解：（1）分别作出三角形三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接，如图，△A1B1C1即为所求； （2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形，如图，△A2B2C2即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．（2026•寿县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为（﹣2，1）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，在所给的网格图中画出△A1B1C1； （2）在所给的网格图中找到两点M，N，使得M，N均在线段A1B1的垂直平分线上，并写出点M和点N的坐标． 【分析】（1）根据旋转的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）利用网格作垂直平分线即可． 【解答】解：（1）根据旋转的性质找到点A，B，C的对应点，如图所示，△A1B1C1即为所求， （2）利用网格作垂直平分线，如图所示M，N即为所求， 点M（﹣1，5），N（﹣2，0）（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图—旋转作图，线段垂直平分线的性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2026•合肥校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，已知点A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣2）． （1）画出线段AB； （2）将线段AB向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段A1B1，画出线段A1B1； （3）以O为位似中心，在第三象限内把线段AB缩小到原来的一半，得到线段A2B2，画出线段A2B2． 【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可； （3）连接OA、OB，分别取OA、OB的中点，再连接即可． 【解答】解：（1）线段AB如图所示； （2）线段A1B1如图所示； （3）线段A2B2如图所示． 【点评】本题考查了图形的平移和位似变换，掌握平移和位似变换是解题的关键． 21．（2026•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．已知A（2，3），B（5，1），C（6，6）． （1）画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称； （2）只用无刻度的直尺在AC上找一点P，使得AP：CP＝3：2（保留作图痕迹，体现作图过程）． 【分析】（1）根据中心对称的规律描出点A′、B′、C′，连接成三角形即可； （2）取格点D、E，使得AD＝3，CE＝2，且AD∥CE，连接DE，交AC于点P，容易证明△APD∽△CPE，则AP：CP＝AD：CE＝3：2． 【解答】解：（1）根据中心对称的规律描出点A′、B′、C′，连接成三角形，如图，△A′B′C′如图所示； （2）取格点D、E，使得AD＝3，CE＝2，且AD∥CE，连接DE，交AC于点P，如图，点P即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•裕安区校级模拟）在如图所示的正方形网格图中，△ABC的顶点均在格点上，线段A1B1与线段AB关于点O成中心对称． （1）按要求画图． ①画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点O成中心对称； ②画出△ABC关于直线a对称的△A2B2C2． （2）△A2B2C2与△A1B1C1是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线． 【分析】（1）①根据中心对称的性质画图即可； ②根据轴对称的性质画图即可； （2）根据成轴对称图形的性质画出对称轴即可． 【解答】解：（1）①根据中心对称的性质画图，△A1B1C1即为所求； ②根据轴对称的性质画图，△A2B2C2即为所求； （2）是，直线b即为所求． 【点评】本题主要考查了利用网格画中心对称和轴对称图形，根据成轴对称图形画出对称轴，解题的关键是掌握以上性质． 考点3 方程的应用 23．（2026春•临泉县月考）如图，书架宽80cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．如果书架上已摆放15本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【分析】设数学书最多还可以摆x本，根据题意列出关于x的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【解答】解：设数学书最多还可以摆x本， 1.2×15+0.8x≤80， 解得x≤77.5， ∴数学书最多还可以摆77本． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 24．（2026春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝1﹣k． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【分析】（1）先把方程化为一般式为x2﹣2x+k﹣1＝0，则利用根的判别式的意义得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可； （2）由得到x1＝0或x1﹣x2＝0，把x＝0代入x2﹣2x+k﹣1＝0得k＝1；当x1﹣x2＝0，利用根的判别式的意义得到Δ＝0，所以k＝2． 【解答】解：（1）方程化为一般式为x2﹣2x+k﹣1＝0， 根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0， 解得k≤2， 即k的取值范围为k≤2； （2）∵， ∴x1（x1﹣x2）＝0， ∴x1＝0或x1﹣x2＝0， 把x＝0代入x2﹣2x+k﹣1＝0得k＝1； 当x1﹣x2＝0，则Δ＝0， ∴k＝2， 综上所述，k的值为1或2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 25．（2025春•南陵县期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【分析】（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元，根据“每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒，根据“A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各销售方案； （任务3）求出选择各销售方案可获得的收益，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种仙桃礼盒每件的售价为80元，B种仙桃礼盒每件的售价为100元； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒， 根据题意得：， 解得：598≤m≤600， 又∵m为正整数， ∴m可以为598，599，600， ∴共有3种销售方案， 方案1：销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件； 方案2：销售A种仙桃礼盒599件，B种仙桃礼盒401件； 方案3：销售A种仙桃礼盒600件，B种仙桃礼盒400件； （任务3）选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×598+（100﹣60）×402＝34020（元）； 选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×599+（100﹣60）×401＝34010（元）； 选择方案1可获得的收益为（80﹣50）×600+（100﹣60）×400＝34000（元）， ∵34020＞34010＞34000， ∴销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务3）根据各数量之间的关系，求出选择各销售方案可获得的收益． 26．（2025秋•埇桥区校级期中）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车． 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到5.07万辆车，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出（81）辆，根据该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：3（1+x）2＝5.07， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出（81）辆， 根据题意得：（y﹣15）（81）＝96， 整理得：y2﹣44y+483＝0， 解得：y1＝21，y2＝23， 又∵此次销售尽量让利于顾客， ∴y＝21， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．（2026•临泉县模拟）随着“苏超”联赛的爆火，各球队的足球周边（足球服、围巾等）也随之热卖．某足球俱乐部的第一轮比赛中，足球服、围巾的销售总额分别为15000元、12000元，足球服每套的售价是围巾每条售价的2.5倍，足球服的销售量比围巾的销售量少30件．问足球服、围巾的售价单价分别是多少元？ 【分析】设围巾的售价单价是x元，则足球服的售价单价为2.5x．根据“足球服的销售量比围巾的销售量少30件”列方程求解即可； 【解答】解：设围巾的售价单价是x元，则足球服的售价单价为2.5x元． 根据题意列分式方程得，， 整理得，75x＝15000， 解得x＝200． 足球服的售价单价为2.5x＝2.5×200＝500， 答：足球服单价为500元，围巾单价为200元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 28．（2026•庐江县一模）近年来，安徽省援疆指挥部加大消费扶贫力度，通过全省上下联动，助力新疆皮山县销售农产品．某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元． （1）求A，B两款坚果礼盒的单价； （2）某公司计划购买A，B两款坚果共100盒，且B款不超过A款的，求该公司最多需花费多少元． 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两款礼盒的售价； （2）设A款礼盒购买x盒，则B款礼盒为（100﹣x）盒，根据B款不超过A款的确定自变量取值范围，再列出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最多花费． 【解答】解：（1）某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元． 设A款礼盒单价是a元，B款礼盒单价是b元， 则可列方程组为， 解得． 答：A款礼盒单价是95元，B款礼盒单价是130元． （2）设A款礼盒购买x盒， 由此可得， 解得x≥60． 设总费用为w，则w＝95x+130（100﹣x）＝﹣35x+13000． ∴w随x增大而减小， ∴当x＝60，w有最大值，w＝﹣35×60+13000＝10900． 答：购买100盒礼盒，最多需花费10900元． 【点评】本题考查二元一次方程组，正确进行计算是解题关键． 29．（2026春•太湖县月考）某服装店购进A，B两种款式夏季T恤衫共100件，这两种T恤衫的进价与售价如表： 款式 进价（元/件） 售价（元/件） A款 25 35 B款 45 65 （1）如果购进这两种夏季T恤衫花费3300元，那么A，B两种夏季T恤衫分别购进多少件？ （2）销售完这批夏季T恤衫获得的利润是多少元？ 【分析】（1）设购进A款T恤衫x件，根据购进这两种夏季T恤衫花费3300元列方程求解即可； （2）根据利润计算公式求解即可． 【解答】解：（1）设购进A款T恤衫x件，则购进B款T恤衫（100﹣x）件， 购进这两种夏季T恤衫花费3300元，即25x+45（100﹣x）＝3300， 解得x＝60， 则100﹣x＝40， 答：A种夏季T恤衫购进60件、B种夏季T恤衫购进40件． （2）利润＝60×（35﹣25）+40（65﹣45）＝1400（元）． 答：销售完这批夏季T恤衫获得的利润是1400元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解． 30．（2026•怀宁县开学）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车a辆，大货车b辆，列出方程，然后根据a、b均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【解答】解：（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品， 依题意列二元一次方程组得：， 解得：， 即1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品； （2）该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700 解得 又∵a，b均为正整数， ∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1； ∴或 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元； 3500＜4000；3400＜4000； ∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． 31．（2026•长丰县二模）某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有40人，其中成人人数比儿童人数的2倍少5人． （1）填空：参加报名的儿童有　15　 人，成人有　25　 人； （2）旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子．购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子40元，打五折优惠，旅行社预算不超过1200元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 【分析】（1）设参加报名的儿童有x人，则成人有（40﹣x）人，根据成人人数比儿童人数的2倍少5人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即参加报名的儿童人数），再将其代入（40﹣x）中，即可求出参加报名的成人人数； （2）设每顶成人帽子的价格是y元，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1200元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设参加报名的儿童有x人，则成人有（40﹣x）人， 根据题意得：2x﹣（40﹣x）＝5， 解得：x＝15， ∴40﹣x＝40﹣15＝25（人）， ∴参加报名的儿童有15人，成人有25人． 故答案为：15，25； （2）设每顶成人帽子的价格是y元， 根据题意得：25×0.8y+40×0.5×15≤1200， 解得：y≤45， ∴y的最大值为45． 答：每顶成人帽子的价格最高是45元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 考点4 规律探究 32．（2026•寿县一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： （1）第5个图案中盆景的盆数为　22　 ，花卉的盆数为　34　 ； （2）第n（n为正整数）个图案中盆景的盆数为　4n+2　 ，花卉的盆数为n（n+2）﹣1　 ； （3）已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列式求解即可． 【解答】解：（1）第1个图案中盆景的盆数为6＝4×1+2，花卉的盆数为2＝1×（1+2）﹣1； 第2个图案中盆景的盆数为10＝4×2+2，花卉的盆数为7＝2×（2+2）﹣1； 第3个图案中盆景的盆数为14＝4×3+2，花卉的盆数为14＝3×（3+2）﹣1； 第4个图案中盆景的盆数为18＝4×4+2，花卉的盆数为23＝4×（4+2）﹣1； ∴第5个图案中盆景的盆数为22＝4×5+2，花卉的盆数为34＝5×（5+2）﹣1； 故答案为：22，34； （2）根据上述计算得到， 第n（n为正整数）个图案中盆景的盆数为4n+2，花卉的盆数为n（n+2）﹣1， 故答案为：4n+2，n（n+2）﹣1； （3）设第x个花卉展览图案中花卉比盆景多了77盆， 由题意列一元二次方程得，x（x+2）﹣1﹣（4x+2）＝77， 解得x＝10或x＝﹣8（不合题意，舍去）， 当n＝10时，4n+2＝42，n（n+2）﹣1＝119， 答：该单位购买盆景42盆，花卉119盆． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，图形的变化类，关键是根据题意找到关系式． 33．（2026春•宣城月考）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长40cm，宽30cm的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm（0＜a＜50）的长方形纸板． [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②． [任务1]熟悉材料 （1）按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为　40　 ． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【分析】（1）根据储物区域的长为40cm，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； （2）设裁去的小正方形的边长为xcm，储物盒的底面积是936cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设小长方形的宽为mcm，长为ncm，根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵储物区域的长为40cm，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图①中的四角裁去小正方形的边长为， ∴a＝30+2×5＝30+10＝40， 故答案为：40； （2）由图①知，设小正方形的边长为xcm， 由题意可得（50﹣2x）（40﹣2x）＝936， 整理得，4x2﹣180x+1064＝0， 解得x1＝38（不符合题意，舍去），x2＝7， 容积为V＝936×7＝6552（cm3） 答：储物盒的容积为6552cm3． （3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒，理由如下： 设小长方形的宽为mcm（m＜20），长为ncm， 由题意列二元一次方程组可得，， 解得（舍去）或， 小长方形的宽为11cm．当EH，HG两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高为11cm＜18cm， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． 34．（2026•萧县一模）观察下列各式；；． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则a＝　24　 ； （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围； （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【解答】解：（1）观察下列各式；；．则： 根据前3个式子，可得： 故a为24． 故答案为：24； （2）①由前面式子得出：（n≥2，且n为整数）． （3）证明： （n≥2，且n为整数）． 【点评】本题考查数字的变化类，正确进行计算是解题关键． 35．（2026春•合肥期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； … 【规律发现】 （1）计算： 　6　 ； 　17　 ； （2）用字母n表示出第n个等式：　　 ； 【规律应用】 （3）根据上述等式规律，化简：． 【分析】（1）先计算乘法与加法，再计算算术平方根即可得； （2）根据第①～④个等式归纳类推出一般规律即可得； （3）根据上述规律化简，再计算加法即可得． 【解答】解：（1）；． 故答案为：6；17； （2）第①个等式：，即； 第②个等式：，即； 第③个等式：，即； 第④个等式：，即； 归纳类推得：第n个等式：． 故答案为：； （3）原式＝2+4+6+8+⋯+（17+1）+（19+1） ＝2+4+6+8+⋯+18+20 ＝（2+20）+（4+18）+⋯+（10+12） ＝22×5 ＝110． 【点评】本题考查了实数的运算，数字类规律探索，掌握实数的运算法则是解题关键． 36．（2026•临泉县模拟）【问题背景】小林和小明在探究“5、8、13、20、29、…”这列数字的第n个数字是什么时，他们之间有不同的方法． （1）【小林】他发现这组数据中后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、…，后一个数字也恰好等于前一个数字加上他们的差，如： 8＝5+3、13＝5+3+5、20＝5+3+5+7、29＝5+3+5+7+9，… 按此规律，我们发现第n个数字就是：5+3+5+7+9+11+⋯+　2n﹣1　 的和；这一列数据求和又该如何计算？ 小林翻阅资料发现：在计算1+2+3+4+⋯+100时，是按照下列方法计算： ， 按此规律，1+2+3+4+⋯+n＝　　 ；请你按此规律计算出第n个数字是n2+4　 ； （2）【小明】小明联想到在“完全平方公式”的证明时，采用数形结合的方式进行证明．于是小明发现“5、8、13、20、29…”这列数字可对应下列图案： 每个图案的外围有　4　 个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…n2 ”（填第n个图案中间点的数量）延续下去，于是我们可以知道第n个图案的点数由两部分组成，从而求出第n个数字． （3）【规律应用】结合上述两种方法，请你运用“数形结合”思想，通过画图来探究“4、10、18、28、40、…”第n个数字是什么？请画出对应图案． 【分析】（1）观察这组数据中的最后一个数字，得出规律即可写出第n个数字；第二空仿照示例即可求解，第n个数字为5+3+5+7+9+11+⋯+2n﹣1＝4+（1+3+5+7+9+11+⋯+2n﹣1），根据求和公式计算即可； （2）观察图案，得出规律即可得解； （3）根据所给数列，画出规律的图案，即可解答． 【解答】解：（1）∵后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、…，后一个数字也恰好等于前一个数字加上他们的差， ∴按此规律，我们发现第n个数字就是：5+3+5+7+9+11+⋯+2n﹣1，； ∵1+100+2+99+3+98+……+50+51， ∴， 第n个数字为： 5+3+5+7+9+11+⋯+2n﹣1 ＝4+1+3+5+7+9+11+⋯+2n﹣1 ＝n2+4， 故答案为：2n﹣1，，n2+4； （2）每个图案的外围有4个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…n2”（填第n个图案中间点的数量）延续下去， 故答案为：4，n2； （3）画出图形如下： 图案上面的点的数量是按照“1、4、9…n2”延续下去， 图案下面的点的数量是按照“3、6、9…3n”延续下去， ∴第n个数字是n2+3n． 【点评】本题考查了数字规律的探究，正确理解题意是解题的关键． 37．（2026•长丰县二模）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等． （1）按上述规律，（a+b）4展开式中共有　5，6a2b2 项，第三项是　1+5y+10y2+10y3+5y4+y5 ； （2）请直接写出（1+y）5的展开式　　 ； （3）利用上面的规律计算：26+6×25×（）+15×24×（）2+20×23×（）3+15×22． 【分析】（1）根据展开式的系数规律可得答案； （2）先根据规律写出（a+b）5，再把a＝1，b＝y代入即可； （3）根据前面的规律可得原式等于，再计算即可． 【解答】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， ∴展开式共有5项，第三项是6a2b2， 故答案为：5，6a2b2． （2）∵（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 当a＝1，b＝y时，原式＝1+5y+10y2+10y3+5y4+y5． 故答案为：1+5y+10y2+10y3+5y4+y5． （3）由“杨辉三角”可知， 原式． 【点评】此题考查了多项式乘法中的规律探究，数学常识，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则，弄清“杨辉三角”的系数规律是解本题的关键． 38．（2026春•包河区期中）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝12+2×1+1； 第2个等式：32＝22+2×2+1； 第3个等式：42＝32+2×3+1； 第4个等式：52＝42+2×4+1； … （1）请用此方法拆分252； （2）请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n（n为正整数）个等式，并借助运算证明这个结论是正确的． 【分析】（1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． 【解答】解：（1）依据材料中等式的规律可知： 第24个等式：252＝242+2×24+1； （2）第1个等式：22＝12+2×1+1； 第2个等式：32＝22+2×2+1； 第3个等式：42＝32+2×3+1； 第4个等式：52＝42+2×4+1； ……， 第n（n为正整数）个等式是（n+1）2＝n2+2×n+1． 理由：∵左边＝n2+2n+1， 右边＝n2+2n+1， ∴左边＝右边， ∴（n+1）2＝n2+2×n+1成立． 【点评】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． 39．（2026•六安一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． （1）按图中所示的规律拼接，　能　 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） （2）第1个图案有6个正方形，第2个图案有11个正方形，第3个图案有16个正方形，…，按此规律摆下去，则第n个图案有个正方形；（用含n的代数式表示） （3）若正多边形的边长为10cm，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大1200cm？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第k个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大1200cm，列方程求解即可． 【解答】解：（1）能， ∵正三角形的每一个内角是60°，正方形的每一个内角是90°，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：60°+90°×2+120°＝360°，拼接点处的内角和恰好为360°，满足平面镶嵌的条件； 故答案为：能； （2）第1个图案有6个正方形， 第2个图案有11个正方形， 第3个图案有16个正方形16， ……， 观察以上规律，第n个图案有n×6﹣（n﹣1）＝（5n+1）个正方形； （3）不存在，理由如下： 设第k个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大1200cm， 由图案观察，第k个图案中有k个正六边形， 即：40（5k+1）﹣60k＝1200， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 【点评】本题考查了图形的变化规律，发现规律是关键． 40．（2026•天长市一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． （1）【规律特殊化】给出一列数据：2，5，8，11，14，…依次把这列数据记为a1，a2，a3…，则a1＝2，a2＝5，a3＝8…，则a8＝　23　 ，a1+a8　＝　 a4+a5（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）【规律一般化】这列数据的第m，n，p，q（m，n，p，q均大于1）个数据分别为am，an，ap，aq，且m+n＝p+q，探究am+an与ap+aq之间的关系． 思路探究：∵am＝2+3（m﹣1）＝3m﹣1，an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1， 同理ap＝　3p﹣1　 ，aq＝　3q﹣1　 ， ∴am+an＝　3（m+n）﹣2　 ，ap+aq　3（p+q）﹣2　 ． ∵m+n＝p+q， ∴am+an　＝　 ap+aq； （3）【思想一般化】已知n（n≥8）个正实数a1＝2，a2，a3，…，an满足，其中q＞0，q≠1．则a1+a8　＞　 a4+a5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】（1）由提供的数据可知后一个数比前一个数大3，由此得第n个数为an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，代入相关数据可得结论； （2）根据（1）得出的规律进行解答即可； （3）根据提供的规律进行解答即可． 【解答】解：（1）∵a1＝2，a2＝5，a3＝8⋯， ∴5﹣2＝3，8﹣5＝3，⋯， ∴可得后一个数比前一个数大3， ∴an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1， ∴a8＝3×8﹣1＝24﹣1＝23； ∴a1+a8＝2+23＝25，a4+a5＝（3×4﹣1）+（3×5﹣1）＝11+14＝25， ∴a1+a8＝a4+a5． 故答案为：23；＝． （2）∵am＝2+3（m﹣1）＝3m﹣1，an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1， ∴ap＝3p﹣1，aq＝3q﹣1， ∴am+an＝3m﹣1+3n﹣1＝3（m+n）﹣2，ap+aq＝3p﹣1+3q﹣1＝3（p+q）﹣2． ∵m+n＝p+q， ∴am+an＝ap+aq． 故答案为：3p﹣1；3q﹣1；3（m+n）﹣2；3（p+q）﹣2；＝． （3）∵， ∴， ∴． ∵q是不为1的正数，an＞0，a1＝2， ∴， ∴a1+a8＞a4+a5． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类、实数的大小比较，找出规律是解题的关键． 41．（2026•六安一模）“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： （1）第6个图案中“☆”的个数是　21　 ；第n个图案中“☆”的个数为　　 ； （2）若第（n+1）个图案与第（n﹣3）个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，得出第n个图案中“”的个数是3n，再列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）根据前几个图案的规律可知： 第6个图案中“☆”的个数可表示为； 第n个图案中“☆”的个数可表示为； 故答案为：21；； （2）第1个图案中有3个“”， 第2个图案中有6个“”， 第3个图案中有9个“”， 第4个图案中有12个“”， ∴第n个图案中“”的个数是3n， 由题意可得，， 整理得，2n﹣4＝140， 解得：n＝72． 【点评】本题考查了图形的变换规律，发现规律是关键． 42．（2026•安庆模拟）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，⋯． （1）按此规律，第6个图案中有多少个正六边形？第n个图案中有多少个正六边形？（用含n的代数式表示） （2）在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为2053，求这两个图案分别是第几个图案； （3）在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a，b的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据图形找到规律，即可求解； （2）根据规律，列出方程，求解检验即可； （3）先求出第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍，再根据规律得第n个图案中正六边形个数为3n﹣1，当3n﹣1＝6a+6b﹣4时，n＝2a+2b﹣1，且符合实际意义． 【解答】解：（1）由图可得，第1个图案中正六边形的个数为：2； 第2个图案中正六边形的个数为：5； 第3个图案中正六边形的个数为：8； ……， 第n个图案中正六边形的个数为3n﹣1； 则第6个图案中有17个正六边形，第n个图案中有（3n﹣1）个正六边形； （2）设这两个相邻的图案分别是第n个图案与第（n+1）个图案， 由题可列，3n﹣1+3（n+1）﹣1＝2053， 解得n＝342，符合实际意义， ∴n+1＝343， 则这两个图案分别是第342个图案与第343个图案； （3）存在， 第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍是2（3a﹣1+3b﹣1）， 则2（3a﹣1+3b﹣1）＝6a+6b﹣4， 令3n﹣1＝6a+6b﹣4，则n＝2a+2b﹣1， ∵a，b为正整数，n也是正整数， ∴在这组图案中存在这样的一个图案，该图案是第（2a+2b﹣1）个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍． 【点评】本题考查了图形的变化规律，发现规律是关键． 43．（2026•肥西县一模）如图，将形状、大小完全相同的“．”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“．”的个数为3，第2个图案中的“．”的个数为8，第三个图案中的“．”的个数为15，…，以此类推． （1）第5个图案中“．”的个数是　35　 ； （2）请用含n的代数式（n为正整数）表示第n个图案中“．”的个数n2+2n ．判断是否存在图案中的“．”的个数为120，并说明理由． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中“．”的个数，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中“．”的个数为：3＝12+2×1； 第2个图案中“．”的个数为：8＝22+2×2； 第3个图案中“．”的个数为：15＝32+2×3； …， 所以第n个图案中“．”的个数为n2+2n． 当n＝5时， 第5个图案中“．”的个数为：52+2×5＝35． 故答案为：35； （2）由（1）知， 第n个图案中“．”的个数为n2+2n． 存在，理由如下： 当n2+2n＝120时， n＝10（舍负）， 所以第10个图案中“．”的个数为120． 故答案为：n2+2n． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“．”个数变化的规律是解题的关键． 44．（2026•巢湖市一模）项目式学习 【任务一阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【任务二应用体验】 根据图表直接写出（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ． 【任条三拓属提升】 若（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7为各项系数，则a2+a5＝　9　 ； 若（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，其中a1，a2，⋯a2023，a2024，a2025为各项系数，则求a1+a2+a3+…+a2023+a2024+a2025＝　22025﹣1　 ． 【分析】【任务二应用体验】依据题意得，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，从而可以得解； 【任条三拓属提升】由题意，结合所给信息可得，（x﹣1）6＝x6﹣6x5+15x4﹣20x3+15x2﹣x+1，又（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，从而可得a2＝﹣6，a5＝15，进而计算可以得解；又（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1，则当x＝1时，a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025+1＝22025，故a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025＝22025﹣1，即可得解． 【解答】解：【任务二应用体验】由题意得，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5． 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； 【任条三拓属提升】由题意，结合所给信息可得，（x﹣1）6＝x6﹣6x5+15x4﹣20x3+15x2﹣x+1， 又∵（x﹣1）6＝a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7， ∴a2＝﹣6，a5＝15． ∴a2+a5＝9； ∵（x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+⋯+a2023x3+a2024x2+a2025x+1， ∴当x＝1时，a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025+1＝22025， ∴a1+a2+⋯+a2023+a2024+a2025＝22025﹣1． 故答案为：9；22025﹣1． 【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类、数学常识，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 45．（2026•颍东区校级一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： 1＝12； 1+3＝4＝22； 1+3+5＝9＝32； 1+3+5+7＝16＝42； 1+3+5+…+（2n﹣1）＝①n2 （n是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②　6　 块正方形和③　30　 块正三角形地板砖． （2）第n层中分别含有④　6　 块正方形和⑤　6（2n﹣1）　 块正三角形地板砖．（用含n的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥　7490　 元． 【分析】①观察算式找出规律即可； （1）②③观察图形数出正方形和正三角形块数； （2）④⑤根据前三层正方形和正三角形块数找出规律； ⑥找出需要正三角形块数，进而确定答案． 【解答】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方， 所以1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2， 故答案为：n2； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和6+12＝18块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和18+12＝30块正三角形地板砖， 故答案为：6，30； （2）∵第一层包括6块正方形和6＝6×1＝6×（2×1﹣1）块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和18＝6×3＝6×（2×2﹣1）块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和30＝6×5＝6×（2×3﹣1）块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和6（2n﹣1）块正三角形地板砖， 故答案为：6，6（2n﹣1）； ⑥90÷6＝15（层）， 需要正三角形地板砖152×6＝1350（块）， 则铺设完广场总的成本大约为20+90×8+1350×5＝7490（元）． 故答案为：7490． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 46．（2026•全椒县校级模拟）观察以下等式： 第1个等式：（4×1+1）2＝（4×3+1）2﹣（4×3）2； 第2个等式：（4×2+1）2＝（8×5+1）2﹣（8×5）2； 第3个等式：（4×3+1）2＝（12×7+1）2﹣（12×7）2； 第4个等式：（4×4+1）2＝（16×9+1）2﹣（16×9）2； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　（4×5+1）2＝（20×11+1）2﹣（20×11）2 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为（4n+1）2＝[4n×（2n+1）+1]2﹣[4n×（2n+1）]2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【解答】解：（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律可知： 第5个等式：（4×5+1）2＝（20×11+1）2﹣（20×11）2； 故答案为：（4×5+1）2＝（20×11+1）2﹣（20×11）2； （2）第n个等式：（4n+1）2＝[4n×（2n+1）+1]2﹣[4n×（2n+1）]2， 证明：左边＝16n2+8n+1， 右边＝（8n2+4n+1）2﹣（8n2+4n）2＝（8n2+4n+1+8n2+4n）（8n2+4n+1﹣8n2﹣4n）＝16n2+8n+1， ∴左边＝右边， ∴等式成立． 【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键． 47．（2026•阜南县一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地． 【项目准备】 设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为1米，正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放1盆）． 【项目分析】 按照以上图形规律，解答下列问题： 填表： 图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米） 第1个图案 6 第2个图案 12 第3个图案 20 第4个图案 ① ② 第5个图案 ③ ④ … … … （1）请补充表格中的数据：①　30　 ，②　　 ，③　42　 ，④　　 ； （2）第n（n为正整数）个图案需要花卉　（n+1）（n+2）　 盆，占地面积　　 平方米；（用含n的式子表示）； 【项目实施】 （3）已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了132盆花卉，求该图案的占地面积有多少平方米？参考数据：． 【分析】（1）先观察前3个图案的花卉盆数与占地面积的规律，再推导第4、5个图案的对应数据．花卉盆数：第1个6，第2个12，第3个20，可归纳为相邻两个图案的盆数差值依次增加2．占地面积：正三角形部分面积为，正方形部分面积为n，据此计算第4、5个图案的面积． （2）根据（1）中得到的规律，将第n个图案的花卉盆数和占地面积分别用含n的代数式表示．花卉盆数：（n+1）（n+2）．占地面积：正三角形面积为，正方形面积为n，合并为． （3）先根据花卉总盆数列出关于n的方程，求解n的值，再将n代入占地面积公式计算结果． 【解答】（1）解：花卉盆数： 第1个：6＝（1+1）×（1+2）； 第2个：12＝（2+1）×（2+2）； 第3个：20＝（3+1）×（3+2）； ∴①第4个：5×6＝（4+1）×（4+2）＝30； ③第5个：6×7＝（5+1）×（5+2）＝42； 占地面积： 第1个：； 第2个：； 第3个：； ∴②第4个：； ④第5个：； 故答案为：①30，②，③42，④； （2）由（1）可得第n（n为正整数）个图案需要花卉（n+1）（n+2）盆，占地面积为平方米； 故答案为：（n+1）（n+2），； （3）设第n（n为正整数）个图案需要花卉132盆花卉， 则（n+1）（n+2）＝132， 解得：n＝10（n＝﹣13舍去）． 占地面积为50×1.73+10＝86.5+10＝96.5（平方米）， 答：该图案的占地面积约为96.5平方米． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，列代数式等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 考点5 解直角三角形的应用 48．（2026•安庆模拟）项目式学习 项目背景 飞来石（图1），位于安徽省黄山风景区平天红的一块平坦岩石上，由中细粒斑状花岗岩经风化作用形成．图2为其侧面示意图．某学校科技小组想用所学知识使用无人机测量飞来石的高度AB（飞来石的底部不可到达）． 图示及说明 如图2所示，无人机从C点竖直上升到D点，测得CD的长为3m，飞来石顶部A的仰角为22°．接着无人机沿着与水平线成30°角的方向继续飞行到点E，此时无人机正好在A的正上方，测得AE的长为4m． 任务 求飞来石的高度AB；（结果保留整数） 参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，． 【分析】过点D作DG⊥AB于点G，得四边形BCDG为矩形，设DG＝x，在直角△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝tan22°•x，在直角△EDG中，，由AE＝EG﹣AG＝4m求出，从而得出，则AB＝AG+BG，代入数据计算得AB≈12． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，可得四边形BCDG为矩形， ∴BG＝CD＝3m， ， 设DG＝x， 在直角△ADG中，∠ADG＝22°， ∴AG＝DG•tan∠ADG＝tan22°•x， 在直角△EDG中，∠EDG＝30°， ∴， ∵AE＝EG﹣AG＝4m， ∴， 则22.5， ∴， ∴， 答：飞来石的高度AB约为12m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题． 49．（2026•合肥模拟）如图，为测量平台BC上一旗杆AB的顶端A距离地面MP的高度，先用测角仪在地面N处使点A，点C和测角仪所在点C在一直线上，此时测得∠AED＝58.0°，MN＝5.0m，再将测角仪移到地面P处，测得∠AFD＝36.9°，MP＝19.6m．已知图中所有点都在同一竖直平面内，CM⊥MP，四边形MNED和MPFD均为矩形，FP＝1.6m，求A距离地面MP的高度d．（结果精确到0.1m） 参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60． 【分析】先根据矩形的性质得 DE＝MN＝5.0m，DF＝MP＝19.6m，∠MDE＝90°，DM＝PF＝1.6m，再证明四边形BCDT是矩形，结合在Rt△ATE 中，，以及在Rt△ATF中，，故1.60（r+5.0）＝0.75（r+19.6），解得r≈7.88，则20.608+1.6≈22.2（m），即A距离地面MP的高度d≈22.2m． 【解答】解：∵四边形MNED和MPFD均为矩形， ∴DE＝MN＝5.0m，DF＝MP＝19.6m，∠MDE＝90°，DM＝PF＝1.6m， 延长AB，FD，记它们的交点为点T，如图所示： ∵∠ABC＝90°，∠BCD＝90°，∠MDE＝90°， ∴∠TBC＝∠BCD＝∠CDT＝90°，即四边形BCDT是矩形， ∴BT＝CD，BC＝TD， 设BC＝TD＝rm，则 TE＝TD+DE＝（r+5.0）m，TF＝TD+DF＝（r+19.6）m， 在Rt△ATE 中，， 即， ∴， 即AT＝1.60（r+5.0）m， 在Rt△ATF 中，， 即， ∴， 即AT＝0.75（r+19.6）m， ∴1.60（r+5.0）＝0.75（r+19.6）， 解得r≈7.88， ∴AT＝1.60×（7.88+5.0）＝20.608（m）， 则20.608+1.6≈22.2（m）， 即A距离地面MP的高度d≈22.2m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 50．（2026•芜湖模拟）江西瑞金光明塔矗立于瑞金市历史博物馆内，它是瑞金当地历史悠久的古塔之一，古塔前面的广场也是当年红军长征出发的集结地．我校九年级（1）班利用周末时间开展“测量光明塔高度”的实践活动，想得到光明塔的高度．如图，光明塔AB垂直于地面，在塔的两侧不远处取C、D两点，C、D两点之间的距离为23m，并测量出∠ACB＝45°，∠ADB＝42°．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47，，结果保留一位小数） （1）求光明塔AB的高度； （2）在测量时，同学们发现塔身第三层的位置镌嵌着“正”、“大”、“光”、“明”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到∠EDB＝25°，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 【分析】（1）求出BC和BD，根据BC+BD＝CD列方程即可求出答案； （2）求出BD，根据BE＝BD•tan25°m即可求出答案． 【解答】解：（1）设AB＝am．在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝am， 在Rt△ADB中，∠ADB＝42°， ∴tan∠ADB0.9， ∴m， ∵BC+BD＝CD， ∴a23， 解得a≈10.9m， ∴光明塔AB的高度约为10.9m； （2）由（1）得，BC＝AB＝10.9m， ∴BD＝CD﹣BC＝12.1m， 在Rt△EBD中，∠EDB＝25°， ∴BE＝BD•tan25°＝12.1×0.47≈5.7m， ∴四个大字所在的第三层距离地面的高度约为5.7m． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． 51．（2026春•马鞍山月考）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝12m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（，结果保留整数） 【分析】（1）在Rt△DEC中，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据勾股定理可得，设AB＝hm，由等腰三角形的性质可得，在Rt△BDF中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【解答】解：（1）由题意得DE⊥EC，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝12m， ∴， ∴DE的长为6m． （2）由题意得BA⊥EA， 在Rt△DEC中，DE＝6m，∠DCE＝30°， ∴， 在Rt△ABC中，设AB＝hm， ∵∠BCA＝45°， ∴AC＝AB＝hm， ∴， 如解图，过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得DE＝FA＝6m，， ∵AB＝hm， ∴BF＝AB﹣FA＝（h﹣6）m， 在Rt△BDF中， ∵∠BDF＝27°， ∴， ∴， 解得， ∴AB＝22m， ∴塔AB的高度约为22m． 【点评】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． 52．（2026•瑶海区模拟）年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为30m； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为39°； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为30m，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为10m． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，CD＝30m，DF＝30m，EH＝10m，α＝39°． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机． 参考数据 sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81． 问题解决 求松树AB的高度．（结果精确到0.1m） 【分析】过点G作GM⊥AB交AB的延长线于点M，判定△CDF是等腰直角三角形，得到∠CFD＝45°，由平行线的性质推出∠AEB＝∠F＝45°，判定△ABE是等腰直角三角形，得到AB＝BE，设AB＝BE＝xm，由tan∠MGA0.81，求出x≈12.1，即可得到答案． 【解答】解：过点G作GM⊥AB交AB的延长线于点M， ∵CD＝30m，DF＝30m，∠CDF＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠CFD＝45°， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠F＝45°， ∵∠ABE＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， 设AB＝BE＝xm， ∴BH＝（x+10）m， ∵MG＝BH，BM＝CD， ∴MG＝（x+10）m，AM＝（30﹣x） m， ∴tan∠MGA＝tan39°0.81， ∴x≈12.1． 答：松树AB的高度约为12.1m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的正切定义得到关于x的方程． 53．（2026•合肥模拟）根据以下材料，完成任务． 材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地． 材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点A距离地面3m，AB与水平面的夹角为16°． 材料3 当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，阴影CD的长约为2.8m． 任务1 求出大树的树枝AB的边缘点A到树干BC的距离． 任务2 求出大树的树枝AB的长度（保留整数）． 备注 参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29． 【分析】（1）如图，过点A作AG⊥CE，垂足为G，由题意，得AG＝3m，根据∠ADG＝45°，得出DG＝AG＝3m，结合CD＝2.8m，得出CG＝5.8m，作AF⊥BC于点F，则四边形AFCG是矩形，得出AF＝CG＝5.8m，即可解答； （2）在Rt△ABF中，根据AF＝5.8m，∠BAF＝16°，，求解即可． 【解答】解：（1）如图，∠ADE＝45°，过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意，得AG＝3m， ∴DG＝AG＝3m， 又∵CD＝2.8m， ∴CG＝CD+DG＝2.8+3＝5.8（m）， 作AF⊥BC于点F，则四边形AFCG是矩形， ∴AF＝CG＝5.8m． 答：大树的树枝AB的边缘点A到树干BC的距离为5.8m； （2）在Rt△ABF中，AF＝5.8m，∠BAF＝16°， ∴AB6（m）， 答：大树的树枝AB的长度约为6m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 54．（2026•固镇县一模）敏敏同学在物理课上学过平面镜成像的知识后，在老师的指导下，去某处仓库作验证实验．如图，老师在仓库房顶的角落安装一面平面镜MN，且MN与竖直墙面AB的夹角∠NMB＝125°．已知仓库高6米（即AB＝6米），房顶与地面平行，敏敏同学在点N的正下方C处观察平面镜，能看到的最远处为点D（A，B，M，N，C，D在同一竖直平面内），则点D到敏敏同学的距离CD是多少米？ 参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75． 【分析】过点N作MN的垂线PQ，则∠MNQ＝90°，根据平面镜成像特点可知入射角等于反射角，由此可得到相关角度关系，再利用正切的定义来求解线段长度． 【解答】解：过点N作MN的垂线PQ，则∠MNQ＝90°， 由平面镜成像性质可知，∠CNQ＝∠DNQ， ∵AB∥NC， ∴∠MNC＝180°﹣125°＝55°， ∴∠DNQ＝∠CNQ＝90°﹣55°＝35°， ∴∠DNC＝70°， ∴CD＝NC•tan∠DNC， ∵NC＝AB＝6米， ∴CD＝6×tan70°≈6×2.75＝16.5（米）， 即点D到敏敏同学的距离CD约为16.5米． 【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得出CD解答． 55．（2025秋•蒙城县期末）洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据：AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，求落水点C到洗手盆边的宽度EC．（结果取整数，参考数据，sin37°，cos37°，tan37°，1.7） 【分析】根据题意，结合图形，在Rt△AMH中分别求出MH，AH长，在Rt△AFC中求FC的长，即可得到结果． 【解答】解：如图②，过A作AF⊥EC于点F，交BD于G点， ∵在Rt△AMH中，∠AHM＝90°，∠AMH＝37°，AM＝10cm， ∴MH＝AM•cos∠AMH＝10×cos37°≈8（cm）， AH＝AM•sin∠AMH＝10×sin37°≈6（cm）， ∵MD＝6cm，DE＝22cm， ∴AF＝AH+HG+GF＝AH+MD+DE＝34（cm）， ∵在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠ACF＝60°，AF＝34cm， ∴FC20（cm）， ∴EC＝EF+FC＝MH+FC＝8+20＝28（cm）， 答：落水点C到洗手盆边的宽度EC约为28cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 56．（2026•固镇县一模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.5m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为15°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为45°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，通过解直角三角形分别求得BE、CE的长度，易得BC的值；然后根据矩形的性质知MN＝BC． 【解答】解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.7m． BE2.59m，CE0.7m． 所以BC＝BE﹣CE≈1.9m． 所以MN＝BC≈1.9m． 答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.9m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 57．（2026•黄山一模）中国南北分界线位于安徽蚌埠龙子湖畔，以淮河地理分界为基准，核心景观是“火凤凰•龙”青铜雕塑，其顶部红蓝双色球象征南北气候冷暖差异，青龙（北）、朱雀（南）对应地域文化．下表是某校九年级学生在测量该雕塑高度的活动中的记录单． 活动项目 测量南北分界线雕塑的高度 活动方案 方案一 方案二 测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺 方案示意图 测量过程 ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②用测角仪测量从点C处观察雕塑顶点A的仰角∠ACE； ③测量点C到地面的高度CD． ①站在与雕塑底端B位于同一水平面的点D处； ②在线段BD上放置一个平面镜，调整平面镜E的位置，后退到点D使观测者刚好从镜中看到雕塑的顶点A； ③测量B，E两点和D，E两点间的距离； ④测量C到地面的高度CD． 活动数据 ∠ACE＝30.9°，CD＝1.60m，BD＝63.83m，sin30.9°≈0.52，cos30.9°≈0.86，tan30.9°≈0.60． ED＝5.01m，CD＝1.60m，BE＝125m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③由物理学知识可得∠CED＝∠AEB． 请你从以上两种方案中任选其中一种，计算雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米） 【分析】选择方案一，利用三角函数测高的方法，解直角三角形即可得到答案． 【解答】解：选择方案一， ∵CD⊥BD，AB⊥BD，CE⊥AB ∴四边形CDBE是矩形， ∴CD＝BE＝1.6m，CE＝BD＝63.83m， 在Rt△AEC中，∠ACE＝30.9°，CE＝63.83m， ∴AE＝CE•tan∠ACE＝CE•tan30.9°＝63.83×0.6≈38.30m， ∴AB＝AE+BE＝38.30+1.6≈39.9m， 答：雕塑的高度AB约为39.9m； 【点评】本题考查三角函数测高与相似测高，熟练掌握三角函数测高与相似测高的方法，数形结合是解决问题的关键． 考点6 反比例函数的综合应用 58．（2026•安庆模拟）已知：如图，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，n），与x轴交于点B，以OB，AB为邻边构造▱ABOC． （1）求反比例函数的解析式； （2）求▱ABOC的面积． 【分析】（1）先把点A（﹣3，n）代入一次函数y＝﹣2x﹣4求出n，然后再代入反比例函数（k≠0，x＜0）求出k即可； （2）过点A作AD⊥x轴于点D，分别求出AD，OB的长，再利用S▱ABOC＝OB×AD即可求解． 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣3，n），将点A的坐标代入y＝﹣2x﹣4得： n＝（﹣2）×（﹣3）﹣4＝2， ∴点A的坐标为（﹣3，2）， 将点A的坐标代入反比例函数（k≠0，x＜0）得： ， 解得：k＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图，A（﹣3，2），过点A作AD⊥x轴于点D， ∴AD＝2， ∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与x轴交于点B， 当y＝0时，得：0＝﹣2x﹣4， 解得：x＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）， ∴OB＝2， ∴S▱ABOC＝OB×AD＝2×2＝4． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 59．（2026•太和县一模）如图，直线y＝x+5与反比例函数的图象交于点A（a，6）． （1）求a的值和反比例函数的表达式． （2）直线y＝x+5向下平移后与反比例函数的图象交于点B（b，2），求直线y＝x+5向下平移的距离． 【分析】（1）将点A的纵坐标代入直线解析式求出横坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式求出系数k，即可确定表达式； （2）先利用反比例函数解析式求出点B坐标，再设平移距离为n写出平移后的直线解析式，最后将点B坐标代入解析式解方程求出n． 【解答】解：（1）把A（a，6）代入y＝x+5中，得6＝a+5，解得a＝1， 故点A的坐标是（1，6）； 把（1，6）代入，得k＝1×6＝6， 故反比例函数的表达式为． （2）设直线y＝x+5向下平移了n（n＞0）个单位长度， 由上加下减得：平移后的直线表达式为y＝x+5﹣n（n＞0）， 令y＝2，解得x＝3， ∴点B的坐标为（3，2）， 将点B（3，2）代入直线y＝x+5﹣n，得：3+5﹣n＝2， 解得n＝6， ∴直线y＝x+5向下平移的距离为6． 【点评】本题考查反函数，一次函数，属于中档题． 60．（2026•阜南县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB和△BCD均为等边三角形，点A和点C均在反比例函数的图象上，点B，D均在x轴上，已知． （1）求k的值； （2）求点D的横坐标． 【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，结合等边三角形的性质可得点A的坐标，即可求解； （2）过点C作CF⊥x轴于点F，设BF＝m，则，结合等边三角形的性质可得点C的坐标为，再由点C在反比例函数的图象上，求出m的值，即可． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图， ∵△OAB为等边三角形，， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象过点A， ∴； （2）如图，过点C作CF⊥x轴于点F， 由（1）得：反比例函数解析式为， 设BF＝m，则， ∵△BCD为等边三角形， ∴BC＝BD＝2BF＝2m， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴点D的横坐标为． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 61．（2026•萧县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标． 【分析】（1）把点A（﹣2，4）代入即可求出k，把（8，m）代入反比例函数解析式求出点C的坐标，再将把A和点C的坐标代入y＝ax+b即可求出一次函数解析式； （2）设点P的坐标为，分类讨论：①当点P在第四象限时，S△PAB＝S矩形AEFG﹣S△AEP﹣S△PGB﹣S△AFB；②当点P在第二象限时，S△PAB＝S梯形PEFA+S△AFB﹣S△PEB；分别建立方程即可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可得， ∴k＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为， 把（8，m）代入得m＝﹣1， ∴点C的坐标为（8，﹣1）， 把A（﹣2，4）和点C（8，﹣1）代入y＝ax+b得，解得， ∴一次函数的解析式为． 综上所述：∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． （2）设点P的坐标为， ∵A（﹣2，4），B（6，0）， 当点P在第四象限时，如图所示： ∵S△PAB＝S矩形AEFG﹣S△AEP﹣S△PGB﹣S△AFB， ∴， 解得：n1＝2，n2＝﹣8（不合题意舍去）， 当点P在第二象限时，如图所示： ， 解得：n3＝﹣8，n4＝2（不合题意舍去）， 综上所述，点P的坐标为（2，﹣4）或（﹣8，1）． 62．（2026•寿县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点． （1）若x1＝﹣2，求k的值； （2）求x1y2+x2y1的值． 【分析】（1）先将x1＝﹣2代入反比例函数，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入正比例函数y＝kx（k≠0），即可求出k的值； （2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到x1y1＝3，x2y2＝3；再根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，得到x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，最后代入x1y2+x2y1化简求值． 【解答】解：（1）把x1＝﹣2代入，则，即A的坐标为． 把的坐标代入y＝kx，得，解得． （2）由条件可知：x1y1＝3，x2y2＝3． ∵A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝kx的图象上， ∴A，B两点关于原点O对称， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1． ∴x1y2+x2y1＝x1（﹣y1）+y1（﹣x1）＝﹣2x1y1， ∴x1y2+x2y1＝﹣6． 63．（2026•镜湖区校级一模）如图，直线l：y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（m，n）在直线l上，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点P． （1）若m＝1，求反比例函数的解析式； （2）若，求m的值． 【分析】（1）先确定点P的横坐标，再代入关系式y＝﹣x+4求出点P的坐标，再将点P的坐标代入反比例函数可得答案； （2）先求出点A（4，0），B（0，4），即可得出OA＝4，OB＝4，再结合点P的坐标得出，接下来根据已知条件可得3m＝n，最后根据直线关系式得出答案． 【解答】解：（1）由条件可知n＝﹣1+4＝3， ∴点P（1，3）． ∵反比例函数的图象经过点P（1，3）， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数关系式为； （2）由条件可知A（4，0），B（0，4）， ∴OA＝4，OB＝4． ∵P（m，n）， ∴． ∵， ∴， ∴3m＝n． ∵点P在直线y＝﹣x+4上， ∴n＝﹣m+4， ∴3m＝﹣m+4， 解得m＝1． 64．（2026•当涂县一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数沿y轴向上平移a（a＞0）个单位后得到一次函数y2，y2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，且B是OD中点． （1）求a的值； （2）当x＞0时，比较y2和y3大小关系． 【分析】（1）由题意可知．当y＝0时，．易证△CDB≌△AOB（ASA），，即C点坐标为，再代入并结合图象即可解答； （2）先确定C点坐标为（2，5），再根据函数图象可得y2和y3大小关系． 【解答】解：（1）∵B为OD中点， ∴OB＝OD， ∵∠AOB＝∠CDB＝90°，∠ABO＝∠CBD， ∴△CDB≌△AOB（ASA）， ∴， ∴C点坐标为， 将代入，得，解得． 又∵a＞0， ∴． （2）由条件可知可知C（2，5）， 由图象可得，当0＜x＜2，y2＜y3， 当x＝2时，y2＝y3； 当x＞2时，y2＞y3． 65．（2026•安徽模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1，b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数（k2为常数，k2≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（﹣3，2），点B的坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点C（0，n）（n≥2）且平行于x轴的直线分别交函数y1＝k1x+b，的图象于点D，E，若DE＝3，求n的值． 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，进而求出B点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出D，E的坐标，根据DE＝3，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得k2＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入中，得m＝4， ∴点B的坐标为， 将点A（﹣3，2），分别代入y1＝k1x+b中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）令，解得x＝1﹣2n，故D（1﹣2n，n）， 令，解得，故， ∴， 解得n1＝3，n2＝﹣1（舍去）， ∴n的值为3． 66．（2026•庐江县二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点C坐标得到线段OC长，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点， ∴m＝1×2＝n×（﹣1）， ∴n＝﹣2，m＝2， ∴反比例函数解析式为：y， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+1． （2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴OC＝1， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1． 67．（2026•巢湖市一模）一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，2），B（﹣3，b）两点，且a+b＝2． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）点C（c，0）是x轴上的一点，若∠ACB＝90°，求c的值． 【分析】（1）先把A（a，2），B（﹣3，b）代入求出a，b的关系，再结合a+b＝2即可求出a，b的值，然后再用待定系数法求解即可； （2）由A（6，2），B（﹣3，﹣4），C（c，0）得到AB2，AC2，BC2的表达式，再由勾股定理列出关于c的一元二次方程，然后解方程求解即可． 【解答】解：（1）把A（a，2），B（﹣3，b）代入得， ， 解得2a＝﹣3b①， ∵a+b＝2②， ∴由①②得a＝6，b＝﹣4， ∴A（6，2），B（﹣3，﹣4）， ∴k＝xy＝6×2＝12， ∴反比例函数关系式为， 把A（6，2），B（﹣3，﹣4）代入y＝mx+n中得， ， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）∵A（6，2），B（﹣3，﹣4），C（c，0）， ∴AB2＝[6﹣（﹣3）]2+[2﹣（﹣4）]2＝117， AC2＝（c﹣6）2+（0﹣2）2＝c2﹣12c+40， BC2＝[c﹣（﹣3）]2+[0﹣（﹣4）]2＝（c+3）2+42＝c2+6c+25． ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴117＝c2﹣12c+40+c2+6c+25， 解得或． 68．（2026春•蜀山区校级月考）如图，四边形ABCD为矩形，顶点A，D，C的坐标依次为（3，6），（9，6），（9，2），对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【分析】（1）根据矩形的性质求出点B的坐标为（3，2），再运用待定系数法求出反比例函数解析式 即可； （2）求出点E的坐标为（6，4），令，求出，可求出平移距离． 【解答】解：（1）由条件可知：AD∥x轴，AD＝BC＝6， ∴点B的坐标为（3，2）． ∵反比例函数的图象经过点B（3，2）， ∴， ∴k＝6， ∴反比例函数的表达式为． （2）由条件可知点E的坐标为（6，4）， 令，解得， ∵， ∴当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离是个单位． 69．（2026春•安庆月考）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝ax（a为常数且a≠0）与双曲线交于A，B两点，直线l2：y＝cx+d（c，d为常数且c≠0）与双曲线在第一象限交于点A，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（﹣1，m）． （1）求直线l1和反比例函数的解析式； （2）若S△AOC＝2，求直线l2的函数解析式． 【分析】（1）先求出点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），然后代入求出直线l1和反比例函数的解析式； （2）根据S△AOC＝2，求出点C的坐标为（0，﹣4），然后用待定系数法求出直线l2的函数解析式． 【解答】解：（1）∵直线y＝ax与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（﹣1，m）， ∴n＝1，m＝﹣2， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2）， 将点A（1，2）代入y＝ax，得a＝2， ∴直线l1的函数解析式为y＝2x． 将点A（1，2）代入，得k＝2， ∴． （2）由条件可知， 解得OC＝4， ∴点C的坐标为（0，﹣4）， 将点A（1，2），C（0，﹣4）代入y＝cx+d，得， 解得， ∴直线l2的函数解析式为y＝6x﹣4． 考点7 圆的综合应用 70．（2026春•庐江县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于E，BF是⊙O的切线． （1）求证：BC平分∠DBF； （2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到AB⊥BF，根据AB＝AC，得到∠DCB＝∠ABC，证明∠DBC＝∠FBC，证明结论； （2）连接OE，交BD于H，根据勾股定理求出AB，根据平行线的性质得到∠BOE＝∠BAC＝45°，再根据扇形面积公式、三角形面积公式计算得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∵BF是⊙O的切线， ∴AB⊥BF， ∴∠FBC+∠ABC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠DCB＝∠ABC， ∴∠DBC＝∠FBC， ∴BC平分∠DBF； （2）解：如图，连接OE，交BD于H， 在Rt△ADB中，∠BAC＝45°，AD＝4， 则BD＝AD＝4， 由勾股定理得：AB4， ∵OB＝OE， ∴∠OBC＝∠OEB， 由（1）可知：∠DCB＝∠ABC， ∴∠OEB＝∠DCB， ∴OE∥AC， ∴OH⊥BD， ∴∠BOE＝∠BAC＝45°， ∴BHOB＝2， ∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE22＝π﹣2． 71．（2026•庐江县二模）如图，已知在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，且点D为弧BC的中点，过点D作DE平行于AB交AC于点E，连接OD． （1）如图1，求证：四边形AODE为菱形； （2）如图2，连接BC，BD，若AC＝8，BC＝6，求tan∠CBD的值． 【分析】（1）连接AD，由点D是弧BC的中点得∠CAD＝∠BAD，由OA＝OD得∠BAD＝∠ODA，由此得∠CAD＝∠ODA，进而得OD∥AC，再由DE∥AB可得四边形AODE为平行四边形．然后根据OA＝OD即可得出结论； （2）设OD与BC相交于点F，先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB＝10得OB＝OA＝ODAB＝5，由垂径定理得OD⊥BC，BF＝CFBC＝3，进而得在Rt△OBF中，由勾股定理求出OF＝4得DF＝1，然后在Rt△BDF中，根据正切函数的定义可得tan∠CBD的值． 【解答】（1）证明：连接AD，如图所示： ∵点D是弧BC的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AB为⊙O的直径， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， 即OD∥AE， 又∵DE∥AB， ∴四边形AODE为平行四边形． 又∵OA＝OD， ∴平行四边形AODE为菱形； （2）解：设OD与BC相交于点F，如图2所示： ∵AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点， ∴∠C＝90°，OB＝OA＝ODAB， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得：AB10， ∴OB＝OA＝ODAB＝5， ∵点D是弧BC的中点， ∴由垂径定理得：OD⊥BC，BF＝CFBC＝3， ∴△OBF和△BDF都是直角三角形， 在Rt△OBF中，由勾股定理得：OF4， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1， 在Rt△BDF中，tan∠CBD， 即tan∠CBD的值． 72．（2026•长丰县二模）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，CA与OF相交于点E． （1）求证：DC＝DE； （2）若OA＝2OE，DF＝3，求PB的长． 【分析】（1）连接OC，可得∠OCD＝∠OCP＝90°，进而得到∠DCA＝∠AEO，根据∠AEO＝∠DEC得到∠DCA＝∠DEC，从而得到结论； （2）设OE＝x、OA＝2x，则EF＝x，DE＝3+x，在Rt△DOC中，由勾股定理得：（2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2，解方程得到x的值，证得△DCO∽△OCP，根据相似三角形的性质得到，在Rt△OCP中，由勾股定理求得OP的长，从而求得PB的长． 【解答】（1）证明：如图，PC与⊙O相切于点C，连接OC，则OA＝OC， ∴∠OCD＝∠OCP＝90°，∠OAC＝∠OCA， ∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OAC+∠AEO＝90°， ∴∠DCA＝∠AEO， ∵∠AEO＝∠DEC， ∴∠DCA＝∠DEC， ∴DC＝DE； （2）解：∵OA＝2OE， ∴设OE＝x，OA＝2x，则EF＝OF﹣OE＝2x﹣x＝x， ∴DE＝DF+EF＝3+x， ∵DC＝DE， ∴DC＝3+x，DO＝3+2x， 在Rt△DOC中，由勾股定理得：（2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2， 解得x＝6或x＝0（不合题意，舍去）， ∴OC＝2×6＝12，DC＝3+6＝9， ∵OF⊥AB，∠D+∠DOC＝90°， ∴∠DOC+∠COP＝90°， ∴∠D＝∠COP， ∵∠DOC＝∠PCO＝90°， ∴△DCO∽△OCP， ∴，即， 在Rt△OCP中，由勾股定理得： ， ∴PB＝OP﹣OB＝20﹣12＝8． 73．（2026•蚌埠一模）如图，△ABC内接于⊙O，2∠OBC＝90°+∠OAB． （1）求证：∠ACB＝2∠BAC； （2）若CE⊥OB交OB于E点，求证：AB＝2CE． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BOC＝90°﹣∠OAB，∠AOB＝180°﹣2∠OAB，因此∠AOB＝2∠BOC，结合圆周角定理可得∠ACB＝2∠BAC； （2）作OD⊥AB于点D，由等腰三角形的性质可得，，结合（1）中的结论可知∠BOD＝∠BOC，进而可证明△OCE≌△OBD（AAS），则． 【解答】证明：（1）∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣2∠OBC， ∵2∠OBC＝90°+∠OAB， ∴∠BOC＝180°﹣（90°+∠OAB）＝90°﹣∠OAB， ∵OA＝OB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB， ∴∠AOB＝2∠BOC， ∵∠BOC＝2∠BAC，∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BAC； （2）作OD⊥AB于点D， ∵OD⊥AB，OA＝OB， ∴∠ODB＝90°，，， 由（1）可知，∠AOB＝2∠BOC， ∴∠BOD＝∠BOC， ∵CE⊥OB， ∴∠OEC＝90°＝∠ODB， 在△OCE和△OBD中， ， ∴△OCE≌△OBD（AAS）， ∴，即AB＝2CE． 74．（2026•合肥校级一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，根据垂径定理得到，则∠ACD＝∠ABD，再根据垂直得到∠FGC＝∠D，结合对顶角相等得到∠DGB＝∠D，则BD＝BG，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到ED＝EG； （2）连接OA，设⊙O的半径为r，即OA＝OD＝r，由OG＝1，ED＝EG，得到，再根据垂径定理得到，最后在Rt△AOE中根据OE2+AE2＝OA2列方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD＝∠ABD， ∵BF⊥AC，AB⊥CD， ∴∠ACD+∠FGC＝90°，∠ABD+∠D＝90°， ∴∠FGC＝∠D， ∵∠FGC＝∠DGB， ∴∠DGB＝∠D， ∴BD＝BG， ∵AB⊥CD， ∴ED＝EG； （2）解：连接OA， 设⊙O的半径为r，即OA＝OD＝r， ∵OG＝1，ED＝EG， ∴， ∴， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G，， ∴， ∵OE2+AE2＝OA2， ∴， 解得或r＝﹣3（舍去）． ∴⊙O的半径为． 75．（2026•颍泉区校级一模）如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°．点D为BC延长线上一点，且DA是⊙O的切线． （1）求证：AD＝OB； （2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为2，求线段EF的长． 【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC＝45°，利用切线的性质定理可得∠OAD＝90°，得出∠AOD＝∠ADO＝45°，等边对等角和等量代换可得结论； （2）利用三角形的内角和定理的推论可得∠AEF＝∠EAF＝67.5°，则得EF＝EA，利用勾股定理可求AE的长，则结论可求． 【解答】（1）证明：连接OA，如图， ∵AO＝BO，∠ABC＝22.5°， ∴∠OAC＝∠ABO， ∴∠AOC＝2∠ABC＝45°． ∵DA是⊙O的切线，OA是圆的半径， ∴∠OAD＝90°． ∴∠AOD＝∠ADO＝45°， ∴AO＝AD， ∴BO＝AD． （2）解：∵过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F， ∴． ∴∠EOC＝∠AOC＝45°． ∴AO⊥EF． ∵⊙O的直径为2， ∴OA＝OE＝1， ∴， ∵OB＝OA， ∴∠OBA＝∠OAB＝22.5°， ∴∠AFO＝90°﹣∠OAB＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵OA⊥OE，OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝45°， ∴∠EAF＝∠OAE+∠OAB＝45°+22.5°＝67.5°， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴． 76．（2026•安庆模拟）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OA上一点，连接CD并延长CD交⊙O于点M，点N是OA延长线上一点，连接MN，MN＝DN． （1）求证：MN为⊙O的切线； （2）若OD＝2且AD＝AN，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OM，易得∠OMC＝∠OCM，∠DMN＝∠MDN，推出∠MDN＝∠CDO，∠CDO+∠OCM＝90°，∠DMN+∠CMO＝90°，即可证明； （2）设⊙O的半径OM＝OA＝r，则AD＝AN＝r﹣2，MN＝2AD＝2（r﹣2），由勾股定理得，MN2+OM2＝ON2，求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OM， ∵OC＝OM， ∴∠OCM＝∠OMC． ∵DN＝MN， ∴∠MDN＝∠DMN． ∴∠CDO+∠OCM＝90°，∠MDN＝∠CDO， ∴∠DMN+∠CMO＝90°， 即∠OMN＝90°， ∴OM⊥MN． ∵OM是⊙O的半径， ∴MN为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径OM＝OA＝r，则AD＝AN＝r﹣2， ∴MN＝2AD＝2（r﹣2）． ∴ON＝DN+OD＝（2r﹣2）． ∵MN2+OM2＝ON2， ∴（2r﹣4）2+r2＝（2r﹣2）2， 解得r＝6或r＝2（舍去）， ∴⊙O的半径为6． 77．（2026•镜湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，AD平分∠CAB交⊙O于点D，交BC于点F，DE⊥AB交BC于点G，垂足为点E． （1）求证：DG＝FG； （2）若∠B＝30°，AC＝2，求DE的长． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，则∠CAF+∠CFA＝90°，根据垂直的定义和直角三角形的两锐角互余可得∠DAB+∠ADE＝90°，由角平分线的定义和等角的余角相等可证明∠CFA＝∠ADE，进而可证明∠DFG＝∠ADE，则DG＝FG； （2）延长DE交⊙O于点H，由垂径定理可得DE＝HE，，证明，得到BC＝DH，则BC＝2DE，解直角三角形求出BC的长即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°， ∵DE⊥AB，即∠AED＝90°， ∴∠DAB+∠ADE＝90°， ∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，交BC于点F， ∴∠CAF＝∠DAB， ∴∠CFA＝∠ADE， ∵∠CFA＝∠DFG， ∴∠DFG＝∠ADE， ∴DG＝FG； （2）解：延长DE交⊙O于点H，如图， ∵AB⊥DE，E为垂足， ∴DE＝HE，， ∴DH＝2DE， 又∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴， ∴BC＝DH， ∴BC＝2DE， ∵∠B＝30°，AC＝2， ∴， ∴． 78．（2026•马鞍山校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D．过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝15，BC＝8，求CD的长． 【分析】（1）连接OD，根据直径得出直角，根据角平分线以及圆周角定理得出相等的角，最后根据平行线的性质得出直角即可得出结论； （2）连接AD，BD，过点B作BF⊥CD于点F，根据直径得出直角，然后利用勾股定理进行求解． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AB为⊙O的直径， ∴， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接AD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°， ∵BC＝8，AC＝15， ∴， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴， ∴， 过点B作BF⊥CD于点F， ∵， ∴， ∴， ∴若AC＝15，BC＝8，则． 79．（2026•巢湖市一模）综合与实践 【研究背景】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，圆O是△ABC的外接圆，外接圆半径为R． 【操作探究】补充下面证明说理． 如图2，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠A＝∠D（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），∠DCB＝90°（半圆（或直径）所对的圆周角是直角）， ∴， ∴． 猜想：在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，圆O是△ABC的外接圆，外接圆半径为R，则有． 【理解应用】如图3，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，∠AD平分∠BAC，则　　 ； 【问题解决】 太平湖位于黄山区，是青弋江上游一座人工大水库，有着“东方日内瓦”“未经雕琢的翡翠”之美誉．某综合与实践小组要绘制一幅太平湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，在空旷地找一点C，利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈70°，∠B≈62°，利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈7260m，AC≈6800m．求A，B两岛在图纸上的距离．（比例尺为1：100000，结果精确到0.1cm．参考数据：sin70°≈0.94，sin62°≈0.88，sin48°≈0.74） 【分析】【操作探究】由题意，同理可得，即可解答； 【理解应用】先推导出，由题意，同理可得，则，，即可解答； 【问题解决】先推导出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣62°＝48°，由题意，同理可得，求出AB≈5715.32m，再根据比例尺进行求解即可． 【解答】解：【操作探究】如图，连接AO并延长交圆O于点E， ∴∠B＝∠E， ∴sinB＝sinE，故有2R，同理可得， ∴； 【理解应用】∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵AD平分∠BAC， ∴， 在△ABD 中，由题意得：， ∴， 在△ACD中，由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：； 【问题解决】∵在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝62°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣62°＝48°， 在△ABC中，由题意得：， ∴， ∵比例尺为1：100000，5717.32m＝571732cm， ∴A，B两岛在图纸上的距离为571732÷100000＝5.71732cm≈5.7cm． 80．（2026春•安庆月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB交CD于点F，连接PD，BC，∠PBC＝∠C． （1）求证：PF＝DF； （2）若，BE＝3，求⊙O的半径长． 【分析】（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠PBC＝∠D，∠P＝∠C，再由条件∠PBC＝∠C可得∠P＝∠D，然后可得PF＝DF； （2）如图，连接OD，则OD＝OB．根据题意可得∠OED＝90°，根据垂径定理可得，则OE＝OD﹣3．在Rt△ODE中勾股定理求出OD＝4即可． 【解答】（1）证明：∵∠PBC＝∠C，∠P＝∠C， ∴∠PBC＝∠P． ∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠DCB， ∴∠P＝∠D， ∴PF＝DF． （2）解：如图，连接OD，则OD＝OB． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，，BE＝3， ∴∠OED＝90°，，OE＝OB﹣BE＝OD﹣3． 由勾股定理可得： ，解得OD＝4， ∴⊙O的半径长为4． 81．（2026•太和县二模）如图1，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连接AC，BC，点D在上，连接OD，交BC于点E，连接AD，交BC于点F，连接OF，且∠ADO＝∠DAC． （1）求证：D是的中点． （2）如图2，将OF绕点F顺时针旋转90°，点O恰好落在线段AC上的点G处．若，求sin∠ABC的值． 【分析】（1）先由∠ADO＝∠DAC得出OD∥AC，根据圆周角定理得出∠C＝90°，由平行线的性质得出OD⊥BC，根据垂径定理即可证明结论； （2）根据旋转的性质得出FG＝FO，∠OFG＝90°，证明△CFG≌△EOF（AAS）得出OE＝CF，根据中位线的性质得出AC＝2OE，根据AC∥OD证明△ACF∽△DEF，得出，设OE＝CF＝x，则AC＝2 x，DE＝3﹣x，列分式方程求出x的值，根据正弦的定义即可得答案． 【解答】（1）证明：∵∠ADO＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠OEB＝∠C＝90°，即OD⊥BC， ∴， ∴D是的中点． （2）解：将OF绕点F顺时针旋转90°，点O恰好落在线段AC上的点G处．若， 由题意可得： ∴FG＝FO，∠OFG＝90°， ∴∠CFG+∠EFO＝90°， ∵∠FCG＝∠OEF＝90°， ∵∠CGF+∠CFG＝90°， ∴∠EFO＝∠CGF， 在△CFG和△EOF中， ， ∴△CFG≌△EOF（AAS）， ∴OE＝CF， ∵OD⊥BC， ∴BE＝CE， ∵OA＝OB， ∴AC＝2OE， ∵AC∥OD， ∴△ACF∽△DEF， ∴， 设OE＝CF＝x，则AC＝2 x，DE＝3﹣x， ∴， 解得（经检验，是分式方程的解）， ∴． 1．化简：（﹣x+3y）（﹣x﹣3y）+（x﹣2y）2． 【分析】根据乘法公式解题即可． 【解答】解：（﹣x+3y）（﹣x﹣3y）+（x﹣2y）2 ＝（﹣x）2﹣（3y）2+（x2﹣4xy+4y2） ＝x2﹣9y2+x2﹣4xy+4y2 ＝2x2﹣4xy﹣5y2． 2．先化简，再求值：5m（m﹣2n）﹣（3m﹣2n）（m﹣3n），其中m＝2，n＝﹣1． 【分析】先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式法则展开，再去括号合并同类项，然后代值计算即可． 【解答】解：原式＝5m2﹣10mn﹣（3m2﹣9mn﹣2mn+6n2） ＝5m2﹣10mn﹣3m2+9mn+2mn﹣6n2 ＝2m2+mn﹣6n2， ∵m＝2，n＝﹣1， ∴原式＝2×22+2×（﹣1）﹣6×（﹣1）2 ＝2×4﹣2﹣6×1 ＝8﹣2﹣6 ＝0． 3．解不等式组：． 【分析】先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式﹣3（x﹣3）≥6﹣x得：， 解不等式得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为． 4．计算：． 【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后根据负整数指数幂的性质、立方根的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝2． 5．计算：． 【分析】根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 6．先化简；再求值：，再从﹣1，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 【分析】先化简所求式子，再从﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • ， ∵m＝﹣1，0，1时，原分式无意义， ∴m＝2， 当m＝2时，原式4． 7．解方程：． 【分析】先去分母，消除方程中的分数，再通过去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 来求解． 【解答】解：1， 去分母得，2（2x﹣1）＝3（x+2）﹣6， 去括号得，4x﹣2＝3x+6﹣6， 移项得，4x﹣3x＝6﹣6+2， 合并同类项得，x＝2． 8．解分式方程：． 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算． 【解答】解：， 5（x﹣1）﹣2（x+2）＝0， 3x＝9， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解． 9．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐x个，购买乙型号玻璃罐y个，所需总费用为w元． （1）当x＝6时，y的值为　8　 ； （2）求w关于x的函数关系式； （3）求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【分析】（1）根据蜂蜜总质量列等量关系式：甲容量×数量+乙容量×数量＝36，把x＝6代入式子，先算出甲罐装蜂蜜质量，再求出剩余蜂蜜质量，最后除以乙罐单罐容量，就能求出y的数值； （2）先由总质量等式用x表示y，分两种情况讨论：甲罐数量≤10无折扣、＞10超出部分八折．分别结合甲乙单价、促销规则列式化简，得到两段w关于x的一次函数关系式； （3）先确定x可取整数范围且保证y非负，分析两段函数增减性：前段递增、后段递减，找出符合条件的最大x，代入求最低费用，对应得出最优购买方案． 【解答】解：（1）根据题意，甲型号玻璃罐容量为2kg，乙型号玻璃罐容量为3kg，蜂蜜总量为36kg，且刚好装满， 即：2x+3y＝36， 将x＝6代入方程：2×6+3y＝36， 解得y＝8， 所以，当x＝6时，y的值为8， 故答案为：8； （2）由2x+3y＝36，解得y关于x的表达式： 3y＝36﹣2x， 即y＝12x， 因为x和y代表玻璃罐的个数，必须为非负整数， 由y≥0，得12x≥0， 解得x≤18， 由y为整数，得36﹣2x能被3整除，即2x能被3整除， 所以x必须是3的倍数， 综上，x的取值范围是0≤x≤18且x为3的倍数， 当0≤x≤10时，此时甲型号玻璃罐不打折，单价为13元；乙型号玻璃罐单价为18元， 总费用w＝13x+18y， 将y＝12x代入上式： w＝13x+18≤ft（12x）， w＝13x+216﹣12x， w＝x+216， 情况二：当10＜x≤18时， 甲型号总费用＝13×10+10.4×（x﹣10）＝130+10.4x﹣104＝10.4x+26， 乙型号总费用＝18y＝18≤ft（12x）＝216﹣12x， 总费用w＝（10.4x+26）+（216﹣12x）＝﹣1.6x+242， 综上所述，w关于x的函数关系式为：w； （3）当0≤x≤10时，w＝x+216， 因为k＝1＞0， 所以w随x的增大而增大， 在此范围内，当x取最大值10时，w取得最小值， 最小费用w＝10+216＝226（元）， 当10＜x≤18时，w＝﹣1.6x+242， 在此范围内，当x取最大值18时，w取得最小值， 最小费用w＝﹣1.6×18+242＝﹣28.8+242＝213.2（元）， ∵213.2＜226， 所以，最少费用为213.2元， 此时对应的购买方案为：甲型号玻璃罐数量x＝18个， 乙型号玻璃罐数量y＝1218＝12﹣12＝0个， 即：购买18个甲型号玻璃罐，0个乙型号玻璃罐． 10．为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程．已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度． （1）求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； （2）已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务会产生3000元材料费用．现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 【分析】（1）设甲校每季度开课x个，乙校为2x个．依据完成240个课程甲比乙多3季度列分式方程，求解并检验，得出两校每季度开课数量； （2）设甲校提供m个季度，乙校为12﹣m个季度．根据两校季度材料费列一元一次不等式，求解取值范围，确定甲校服务季度的最小值． 【解答】解：（1）设甲校每季度开设x个个性化课程，则乙校每季度开设2x个，根据题意：完成240个课程，甲比乙多用3个季度， 即， 解得x＝40， 乙校：2x＝80， 答：甲校每季度40个，乙校每季度80个； （2）设甲校提供m个季度，则乙校提供（12﹣m）个季度， 根据题意，得2000m+3000（12﹣m）≤31000， 解得m≥5， 答：甲校至少应提供5个季度的服务． 11．乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：mm），振动频率记为f（单位：Hz），记录数据如表： l/mm … 60 72 90 120 144 160 180 … f/Hz … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点（l，f），并用平滑曲线连接这些点．分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 do re mi fa sol la si f/Hz 261.63 293.66 329.63 349.23 392.00 440.00 493.88 根据以上信息，解决下列问题： （1）求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； （2）当吸管长度为80mm时，求对应的振动频率； （3）在制作乐器时，唱名la对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把l＝80代入反比例函数解析式求出f即可； （3）由任务三的表格可知，唱名la对应的振动频率为440.00Hz，再把f＝440.00反比例函数解析式求出l即可． 【解答】解：（1）设f与l之间的函数表达式为f， 把（60，1440）代入解析式得：k＝60×1440＝86400， ∴f与l之间的函数表达式为f； （2）当l＝80时，f1080， ∴当吸管长度为80mm时，对应的振动频率为1080Hz； （3）由任务三的表格可知，唱名la对应的振动频率为440.00Hz， ∴当f＝440.00时，l196（mm）， ∴唱名la对应的吸管长度是196mm． 12．合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用6600元购进A、B两款合肥本土科创联名文具，其中B款文具的数量比A款文具数量的一半多15件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 A款 B款 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 （1）该文创店购进A、B两款文具各多少件？ （2）该文创店将购进的A、B两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 【分析】（1）先设购进A款文具的数量为未知数，根据B款文具的数量比A款文具数量的一半多15件表示出B款文具的数量，再结合总进价为6600元，列一元一次方程求解出两款文具的数量； （2）根据单件利润＝售价﹣进价分别求出两款文具的单件利润，再结合各自的数量，计算总利润． 【解答】解：（1）设购进A款文具x件， 可列方程：． 解得：x＝120． B款文具数量：（件）， 答：购进A款文具120件，B款文具75件． （2）A款单件利润：38﹣30＝8元， B款单件利润：50﹣40＝10元， 总利润：120×8+75×10＝1710元， 答：全部售完后一共可获得利润1710元． 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD是⊙O的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接OC，过点C作⊙O的切线与BD的延长线相交于点E，若．求的长． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角结合余角的性质推出∠ABD＝∠CBD，可得出结论； （2）根据切线的性质结合余角的性质推出∠OBC＝30°，推出⊙O的半径r＝1．再根据弧长公式求解． 【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠CDB＝90°． ∵， ∴∠ADB＝∠CDB． ∴∠ABD＝∠CBD． ∴． （2）解：∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°， ∵CE＝CB， ∴∠E＝∠CBE． ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC． ∵点D，B，E共线， ∴∠CBE＝∠OBC． 设∠OBC＝x，则∠E＝x，∠OCB＝x． ∴∠COE＝∠OBC+∠OCB＝2x． 在Rt△OOE中，∠E+∠COE＝90°， ∴x+2x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠OBC＝30°， 在Rt△OCE中． ∴⊙O的半径r＝1． 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 由（1）知， ∴∠AOB＝∠BOC＝120°． ∴弧的长． 14．某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥.2023年甲、乙两种化肥每件的进价均为100元，随着生产技术的优化，到2025年，甲种化肥每件的进价年平均下降20元，乙种化肥每件的进价降至64元． （1）经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； （2）2025年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共100件供应农户，总资金不超过6200元，则至少购进甲种化肥多少件． 【分析】（1）设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为x，根据题意可得100（1﹣x）2＝64，即可求解； （2）设购进甲种化肥a件，则购进乙种化肥（100﹣a）件，根据题意列不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设乙种化肥每年下降的百分率为x， 根据题意可得100（1﹣x）2＝64， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8＝180%（舍去）， 答：乙种化肥平均每年下降20%； （2）设购进甲种化肥a件， 2025年甲种化肥每件的进价为100﹣20×2＝60（元）， 根据题意可得60a+64（100﹣a）≤6200， 解得a≥50， 答：至少购进甲种化肥50件． 15．如图，⊙O的半径OC与弦AB交于点E，点D在上，连接AD，BD，CD，CD平分∠ADB，CD交AB于点F． （1）求证：OC⊥AB； （2）若AB＝24，CE＝5，，求CD的长． 【分析】（1）连接OA、OB．根据圆周角定理可得∠AOC＝∠BOC，再根据等腰三角形三线合一可得OC⊥AB． （2）根据垂径定理可得AE＝EB＝12，根据勾股定理可得AC＝13，再证△ACD∽△FCA，根据相似三角形对应边成比例列比例式即可求出CD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA、OB． 由题意可得：∠ADC＝∠BDC， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， 又∵OA＝OB，OC是∠AOB的角平分线， ∴OC⊥AB． （2）解：∵OC⊥AB，AB＝24， ∴． 在Rt△ACE中，AE＝12，CE＝5， ∴． ∵， ∴∠ADC＝∠BAC， 又∵∠ACD＝∠FCA， ∴△ACD∽△FCA， ∴， 即AC2＝CF•CD， 代入AC＝13，， 得． 16．文物保护团队对某明清古村落开展数字化测绘工作：古村落北门门楼为A点，南门古井D点，A、D两点在村落的南北向中轴线上；村落西侧的古驿道CD为东西走向，且与中轴线AD垂直．测绘路线为：从北门门楼A出发，先到位于A南偏西30°方向的省级文保古民居B，再沿南偏西53°方向行至古驿道上的古渡口C，最后沿古驿道向东行至南门古井D．已知古民居B到古渡口C的距离为400米，古渡口C到南门古井D的驿道长度为800米，求北门门楼A到南门古井D的中轴线长度（结果取整数）． 参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.67，． 【分析】过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F．先解Rt△BCE，求得CE＝BC•sin53°≈400×0.80＝320 （米），BE＝BC•cos53°≈400×0.60＝240米．从而可求得ED＝CD﹣CE＝800﹣320＝480（米），再解Rt△ABF，求得（米），进而可由AD＝AF+FD求解． 【解答】解：古民居B到古渡口C的距离为400米，古渡口C到南门古井D的驿道长度为800米， 过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F． ∵AD⊥CD， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BF＝ED，BE＝FD，∠AFB＝90° 在Rt△BCE中，BC＝400米，∠C＝53°， ，， ∴CE＝BC•sin53°≈400×0.80＝320 （米）， BE＝BC•cos53°≈400×0.60＝240（米）． ∵CD＝800米， ∴ED＝CD﹣CE＝800﹣320＝480（米） 由矩形性质得：BF＝ED＝480米，FD＝BE＝240米． 在Rt△ABF中，∠A＝30°，∠AFB＝90°， 由得：（米）， ∴AD＝AF+FD≈830.4+240＝1070.4≈1070（米）． 答：北门门楼A到南门古井D的中轴线长度约为1070米． 17.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+⋯+22020+22021① 则2S＝2+22+⋯+22021+22022② ②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋯+220＝　221﹣2　 ； （2）求　　 ； （3）求（﹣3）+（﹣3）2+⋯+（﹣3）109的和．（请写出计算过程） 【分析】（1）设和为S，给等式两边同时乘以2，再将新等式与原等式相减，消去中间项，直接得到结果； （2）设和为S，给等式两边同时乘以，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出S； （3）设和为S，给等式两边同时乘以﹣3，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出S． 【解答】解：（1）设S＝2+22+⋯+220，则2S＝22+23+⋯+221， 故2S﹣S＝S＝221﹣2． 故答案为：221﹣2； （2）设，则， 则， 即， 故． 故答案为：； （3）设S＝（﹣3）+（﹣3）2+⋯+（﹣3）109，则﹣3S＝（﹣3）2+（﹣3）3+⋯+（﹣3）110， 可得S﹣（﹣3）S＝4S＝﹣3﹣（﹣3）110， 故． 18．观察下列等式： ①32﹣12＝8＝8×1； ②52﹣32＝16＝8×2； ③72﹣52＝24＝8×3； … （1）请写出第④个等式：　92﹣72＝32＝8×4　 ； （2）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：　（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n ； （3）证明你发现的规律． 【分析】（1）模仿题干过程，进行分析作答即可； （2）设n是自然数，且n≥1，则相邻的两个奇数为2n﹣1和2n+1，两个连续奇数的平方差等于8n； （3）利用乘法公式展开，证明左边等于右边即可； 【解答】解：（1）依题意，第④个等式：92﹣72＝32＝8×4； 故答案为：92﹣72＝32＝8×4； （2）设n是自然数，且n≥1，则相邻的两个奇数为2n﹣1和2n+1， 规律可以表示为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n（n为正整数）； 故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n（n为正整数）； （3）证明：由（2）得（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n（n为正整数）， 则左边＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n＝右边， 故结论得证． 19．观察下列等式，回答问题： ①32﹣12＝8×1； ②52﹣32＝8×2； ③72﹣52＝8×3； ④92﹣72＝8×4； … （1）写出第⑤个等式：　112﹣92＝8×5　 ； （2）写出第n个等式：　（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n ； （3）证明第n个等式成立． 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）对（2）中的结论进行证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；72﹣52＝8×3；92﹣72＝8×4；…， 所以第n个等式可表示为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． 当n＝5时， 第⑤个等式为：112﹣92＝8×5． 故答案为：112﹣92＝8×5； （2）由（1）知， 第n个等式可表示为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． 故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n； （3）左边＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n＝右边， 所以此等式成立． 20．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【解答】解：（1）第5个等式为． 故答案为：． （2）第n个等式为，理由如下： ∵左边， 又∵右边＝n+2． ∴左边＝右边， ∴原等式成立． 21．【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“◎”的个数为　15　 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，…，第n个图案中“★”的个数可表示为　　 ． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“◎”的个数的3倍． 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据题意可知第n个图案中“◎”的个数为3n个，，故可得出方程，解出n的值即可． 【解答】解：（1）根据图形可知： 第1个图案中“◎”的个数为3个； 第2个图案中“◎”的个数为6个； 第3个图案中“◎”的个数为9个； 第4个图案中“◎”的个数为12个； ……， 第n个图案中“◎”的个数为3n个； ∴当n＝5时，“◎”的个数为15个． 故答案为：15； （2）第n个图案中“★”的个数可表示为． 故答案为：； （3）第n个图案中“◎”的个数为3n个， ∵， 结合题意，得出方程， 化简得n2﹣17n＝0， 解得n＝0（舍去）或n＝17． 22．用长度相等的木棍按一定规律拼成如图图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形． （1）第3个图案中用了28根木棍拼成了　3　 个正六边形和　4　 个正方形； （2）第n个图案中用的木棍根数为　（8n+4）　 个（用含n的代数式表示）； （3）如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【分析】（1）第3个图案中用了28根木棍拼成了3个正六边形和4个正方形解答即可； （2）罗列推出变化规律即可； （3）根据发现的规律解答即可． 【解答】解：（1）第3个图案中用了28根木棍拼成了3个正六边形和4个正方形； 故答案为：3，4； （2）第1个图案用了12根木棍， 第2个图案用了20根木棍， 第3个图案用了28根木棍， ……， 第n个图案用了4×（2n+1）＝（8n+4）根木棍； 故答案为：（8n+4）； （3）由题意得8n+4＝212， 解得n＝26， 第1个图案拼成1个正六边形和2个正方形， 第2个图案拼成2个正六边形和3个正方形， 第3个图案拼成3个正六边形和4个正方形， ……， 第26个图案拼成26个正六边形和27个正方形． 答：由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个． 23．如图，反比例函数与一次函数相交于A（5，1），两点． （1）求反比例函数的解析式及m的值； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数，求得k的值，即可得反比例函数的解析式；将点B的坐标代入一次函数，即可求得m的值； （2）先求得一次函数与x轴、y轴的交点，然后根据三角形面积的和差解答即可． 【解答】解：（1）将点A（5，1）代入，得k＝5 ∴反比例函数解析式为； 将点代入，得 解得m＝2． （2）如图，设一次函数分别与x轴，y轴相交于点C，D， 对于，令y＝0，则x＝7；令x＝0，， 由题意可得：OC＝7，， ∵A（5，1），， ∴S△AOB＝S△COD﹣S△AOC﹣S△BOD ． 24．如图，反比例函数y1（m≠0）的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣3，﹣1）和点B（n，3）． （1）求反比例函数表达式y1和一次函数表达式y2； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围． 【分析】（1）先将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案，再求出点B的坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出解即可； （2）先求出点M的坐标，再根据S△AOB＝S△AOM+S△BOM得出答案； （3）先观察图象的交点，再根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围即为答案． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得m＝3， ∴反比例函数关系式为； 将点B（n，3）代入关系式得： ， 解得n＝1， ∴点B（1，3）． 由条件可得： ， 解得， ∴一次函数关系式为y2＝x+2； （2）令直线AB与x轴交于点M， 当y＝0时，x+2＝0， 解得x＝﹣2， ∴点M（﹣2，0），即OM＝2． ∵点A（﹣3，﹣1）B（1，3）， ∴； （3）当x＜﹣3或0＜x＜1时，y1＞y2． 25．如图，直线y1＝k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知A（2，n），B（3，2）． （1）分别求出直线和双曲线的函数表达式； （2）设点M是线段AB上的一个动点，过点M作MC⊥x轴于点C，N是y轴上一点，当△MNC的面积最大时，请求出此时M点的坐标． 【分析】（1）将B（3，2）代入求出反比例函数解析式，再将A（2，n）代入反比例函数解析式求出n的值，进而可求直线的函数表达式； （2）设M（m，﹣m+5），先求出m的取值范围，再根据题意得到△MNC的面积的函数表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得：k2＝6， ∴， 将A（2，n）代入得， ∴A（2，3）， 由条件可得：， 解得：， ∴y1＝﹣x+5； （2）设M（m，﹣m+5）， ∵点M是线段AB上的一个动点， ∴2≤m≤3， ∴MC＝﹣m+5，N到MC的距离为m， ∴△MNC的面积， ∵， ∴当时，△MNC的面积最大， ∵在2≤m≤3的范围内，， ∴当△MNC的面积最大时，． 26．画图题 在平面直角坐标系中有△ABC，其中格子均为正方形且边长为1单位长度． （1）△ABC绕某点顺时针旋转90°至△A1B1C1，求旋转点坐标（　1　 ，　2　 ）； （2）画出△ABC沿着y轴负方向移动3个单位的图形△A2B2C2； （3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A3B3C3； （4）求△AA1A3的面积． 【分析】（1）连接AA1，BB1，分别作AA1，BB1的垂直平分线，相交于点P，则点P为旋转中心，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据中心对称的性质作图即可． （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）连接AA1，BB1，分别作AA1，BB1的垂直平分线，相交于点P， 则旋转中心P的坐标为（1，2）． 故答案为：1；2． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）如图，△A3B3C3即为所求． （4）△AA1A3的面积为10． 27．如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1． （2）将△ABC作一次平移运动，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2，求线段BC在平移过程中扫过的面积； （3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是　（2，4）或（﹣4，4）或（﹣2，0）　 ． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； （3）根据平行四边形的判定方法，作出点D，有三种情形． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求，线段BC在平移过程中扫过的面积＝四边形BCC2B2的面积＝3×6﹣21×2﹣22×4＝8； （3）如图，点D1，D2，D3即为所求，点D的坐标（2，4）或（﹣4，4）或（﹣2，0）． 故答案为：（2，4）或（﹣4，4）或（﹣2，0）． 28．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上）． （2）在图2中画一个平行四边形A′B′C′D′，使平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称． 【分析】（1）根据题目要求画出图形即可（答案不唯一）； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可． 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，四边形A′B′C′D′即为所求． 29．某体育场为满足市民运动需求，计划对体育场进行升级改造．现有甲、乙两个施工队，已知甲施工队改造5000平方米与乙施工队改造3000平方米所用时间相同，且甲施工队平均每天比乙施工队平均每天多改造20平方米，求甲、乙两施工队平均每天改造多少平方米． 【分析】设甲施工队平均每天改造x平方米，则乙施工队平均每天改造（x﹣20）平方米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲施工队改造5000平方米与乙施工队改造3000平方米所用时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲施工队平均每天改造的面积），再将其代入（x﹣20）中，即可求出乙施工队平均每天改造的面积． 【解答】解：设甲施工队平均每天改造x平方米，则乙施工队平均每天改造（x﹣20）平方米， 根据题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝50﹣20＝30（平方米）． 答：甲施工队平均每天改造50平方米，乙施工队平均每天改造30平方米． 30．某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖，用于铺设一个村民活动场所．现向某运输公司同时租赁A，B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满路面砖，一次可分别运多少吨？ （2）若A型车每辆租金为400元/次，B型车每辆租金为500元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 【分析】（1）根据设1辆A型车装满路面砖一次可运x吨，1辆B型车装满路面砖一次可运y吨，已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖．列方程求解即可； （2）设计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【解答】解：（1）设1辆A型车装满一次可运x吨路面砖，1辆B型车装满一次可运y吨路面砖， 由题意得：，解得：， 答：1辆A型车装满一次可运3吨路面砖，1辆B型车装满一次可运5吨路面砖； （2）若A型车每辆租金为400元/次，B型车每辆租金为500元/次， 设租用A型车a辆，B型车b辆，由题意得：3a+5b＝33，整理得：， 由题意可得：或， ∴有2种租车方案： ①租A型车6辆，B型车3辆，方案租金：6×400+3×500＝3900（元）， ②租A型车1辆，B型车6辆，方案租金：1×400+6×500＝3400（元）， ∵3400＜3900， ∴较省钱的一种租车为方案②：A型车1辆，B型车6辆． 31．已知在⊙O中，点C为的中点，连接OC交弦AB于点E，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，CD． （Ⅰ）如图①，连接AC，若∠D＝28°，求∠OBA和∠OAC的度数； （Ⅱ）如图②，过点A作⊙O的切线交OC延长线于点F，若∠D＝30°，OA＝3，求AB和AF的长． 【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠BOC＝∠AOC＝2∠D＝56°，再根据等腰三角形的性质即可解答； （Ⅱ）由圆周角定理得∠AOE＝60°，可求出AE，AF的长，进而可求出AB的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵C为的中点， ∴， ∴OC⊥AB， ∵∠BDC＝28°， ∴∠BOC＝∠COA＝2∠D＝56°， ∴∠OBA＝90°﹣∠BOC＝34°， ∵OC＝OA， ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知∠COA＝2∠D，OC⊥BA， ∵∠D＝30°，OA＝3， ∴∠AOE＝60°， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵AF切⊙O于点A， ∴OA⊥AF， 即∠OAF＝90°， 又∵∠AOF＝60°， ∴． 32．如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC上的一点，以O为圆心作⊙O，分别与AB，AC相切于点D，E，连接OD，OE． （1）证明：△BOD≌△COE； （2）若∠A＝120°，BC＝12，求的长（结果保留π）． 【分析】（1）根据切线的性质得出∠BDO＝∠CEO，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，证明△BOD≌△COE（AAS）即可； （2）先根据四边形内角和定理得出∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，再根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式进行求解即可． 【解答】（1）证明：△ABC为等腰三角形，点O是底边BC上的一点，以O为圆心作⊙O，分别与AB，AC相切于点D，E， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， ∵△ABC为等腰三角形， ∴∠B＝∠C， ∵OD＝OE， ∴△BOD≌△COE（AAS）； （2）解：根据解析（1）可得：OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°， ∵∠A＝120°， ∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵△ABC为等腰三角形， ∴， ∵△BOD≌△COE， ∴， ∵∠BDO＝90°， ∴， ∴． 33．如图，CD与⊙O相切于点C，直径AB的延长线交CD于点D，连接AC，BC． （1）求证：∠BAC＝∠BCD； （2）若，CD＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O直径，CD与⊙O相切于C，得∠OCB+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，从而得出∠ACO＝∠BCD，即∠CAB＝∠ACO，即可证明结论； （2）先解直角三角形得到，由题意易证△CAD∽△BCD，得，得到AD＝12，BD＝3，根据AB＝AD﹣BD，从而求出AB的长即可得到答案． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90° ∴∠BCD+∠OCB＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO， ∴∠CAB＝∠BCD． （2）解：∵∠ACB＝90°，CD＝6， ∴， ∵∠BCD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△DCB∽△DAC， ∴， ∴AD＝2CD＝12，， ∴AB＝2OB＝AD﹣BD＝12﹣3＝9， ∴， ∴⊙O的半径为． 34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O在AB边上，以O为圆心，OA为半径作圆，分别与AB，AC边交于点D，E，连接BE，BE＝BC． （1）求证：直线BE是⊙O的切线； （2）过点A作AM⊥BE，交BE的延长线于点M，AM交⊙O于点N，若，AN＝6，求BC的长． 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠AEO，∠C＝∠BEC，求得∠BEO＝90°，根据切线的判定定理得到直线BE是⊙O的切线； （2）过O作OH⊥AN于H，根据垂径定理得到AH＝HNAN＝3，根据矩形的性质的OE＝MH，OH＝EM，设AO＝5k，ME＝4k得到OH＝4k，根据勾股定理得到AH3k＝3，求得k＝1，得到OA＝OE＝HM＝5，EM＝OH＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵AO＝EO， ∴∠A＝∠AEO， ∵BE＝BC， ∴∠C＝∠BEC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠AEO+∠BEC＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴直线BE是⊙O的切线； （2）解：过O作OH⊥AN于H， ∴AH＝HNAN＝3， ∵AM⊥BE， ∴∠M＝∠OEM＝∠OHM＝90°， ∴四边形OHME是矩形， ∴OE＝MH，OH＝EM， ∵，∴设AO＝5k，ME＝4k ∴OH＝4k， ∴AH3k＝3， ∴k＝1， ∴OA＝OE＝HM＝5，EM＝OH＝4， ∵OE∥AM， ∴△OEB∽△AMB， ∴， ∴， ∴BE， ∴BC＝BE． 35.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，过点D作⊙O的切线与BC的延长线相交于点E，连接AC． （1）求证：∠E＝∠BAC； （2）若ED∥AC，，求CD的长． 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，根据切线的性质得到BD⊥DE，得到∠BDC+∠CDE＝90°，根据圆内接四边形的性质求出∠BCD＝90°，证明∠BDC＝∠E，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDE，得到∠E＝∠BAC； （2）证明△ABC为等边三角形，得到∠ABC＝60°，根据平行线的性质得到BD⊥AC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝30°，解直角三角形求出CD． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵∠BAD＝90°， ∴BD为⊙O的直径， ∵DE为⊙O的切线， ∴BD⊥DE， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴∠E+∠CDE＝90°， ∴∠BDC＝∠E， 由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDE， ∴∠E＝∠BAC； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵ED∥AC， ∴∠E＝∠ACB， ∵∠E＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵ED∥AC，BD⊥DE， ∴BD⊥AC， ∴∠DBC＝30°， ∴CD＝BC•tan∠DBC＝44． 36.如图，点A，B，C，D均在⊙O上，连接AB，BC，AC，AD，CD，且AD经过圆心，延长BC交⊙O的切线AE于点E，切点是A． （1）求证：∠B＝∠CAE； （2）若，，求BC的长． 【分析】（1）由圆周角定理得∠B＝∠D，由AD是⊙O的直径，得∠ACD＝90°，则∠D+∠CAD＝90°，由切线的性质得AE⊥AD，则∠CAE+∠CAD＝∠DAE＝90°，所以∠B＝∠D＝∠CAE． （2）由∠B＝∠CAE，∠E＝∠E，证明△ABE∽△CAE，则，而AE＝3cm，CE＝2cm，所以BEcm，求得BC＝BE﹣CEcm． 【解答】（1）证明：∵点A，B，C，D均在⊙O上，且AD经过圆心， ∴AD是⊙O的直径，∠B＝∠D， ∴∠ACD＝90°， ∴∠D+∠CAD＝90°， ∵AE与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点E， ∴AE⊥AD， ∴∠CAE+∠CAD＝∠DAE＝90°， ∴∠D＝∠CAE， ∴∠B＝∠CAE． （2）解：∵∠B＝∠CAE，∠E＝∠E， ∴△ABE∽△CAE， ∴， ∵AE＝3cm，CE＝2cm， ∴BE（cm）， ∴BC＝BE﹣CE2（cm）， ∴BC的长是cm． 37.如图，AB，CD均为⊙O的直径，作弦AE⊥CD于点F，连接AC．过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点G． （1）求证：； （2）连接DE，若，求EG的长． 【分析】（1）连接CE，由垂径定理可得∠AEC＝∠CAE，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知∠CED＝90°，根据余弦定义可知，可以求出AB＝CD＝12，由垂径定理可知AE＝2EF，利用∠CDE的余弦求出DF，利用勾股定理求出EF，从而可得，，可以求出，利用三角函数求出，根据EG＝AG﹣AE求出结果即可． 【解答】（1）证明：如图1，弦AE⊥直径CD，连接CE， ∴， ∴∠AEC＝∠CAE， ∵， ∴； （2）解：如图2，CD是⊙O的直径，连接CE， ∴∠CED＝90°， ∵∠CDE＝∠CAE，， ∴， ∵在Rt△CED中，， ∴， 解得：CD＝12， ∴CD＝AB＝12，OA＝6， ∵弦AE⊥直径CD， ∴AF＝EF，AE＝2EF， 在Rt△EFD中，∠EFD＝90°， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， 在Rt△OAF中，， ∵BG为⊙O切线，OB是半径， ∴BG⊥OB， ∴∠ABG＝90°， ∵在Rt△ABG中，， ∴， ∴， ∴． 38.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的半圆O交AC于点D，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，且BF＝BE． （1）如图1，求证：AC是⊙O的切线； （2）如图2，连接BD，若∠A＝30°，BC＝6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OE，得出∠ODE＝∠BEF，根据BF＝BE，得出∠F＝∠BEF，则∠ODE＝∠F，证出OD∥BF，则∠ADO＝∠ACB＝90°，结合OD是⊙O的半径，即可证明AC是⊙O的切线． （2）根据∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，得出∠AOD＝60°，AB＝2BC＝12，结合OD＝OE，证出△DOE是等边三角形，则OD＝OE＝DE，∠OED＝60°，求出OB＝OE＝AE＝DE＝4，BE＝2OE＝8，勾股定理求出，即可求出S△BED，S△BOD，再求出S扇形BOD，结合S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD即可求解． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠BEF， ∵BF＝BE， ∴∠F＝∠BEF， ∴∠ODE＝∠F， ∴OD∥BF， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且AC⊥OD， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°，BC＝6，∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝12， ∵OD＝OE， ∴△DOE是等边三角形， ∴∠OED＝60°，OD＝OE＝DE， ∴∠EDA＝∠OED﹣∠A＝30°＝∠A， ∴AE＝DE， ∴， ∴BE＝2OE＝8， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BOD＝2∠OED＝120°， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 39.综合与实践． 探究小车轮的形状原理 圆形车轮 车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，且最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为10cm，其车轮最高点到地面的距离始终为20cm． 正方形车轮 若车轮的形状为正方形，显然，车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O．任务一：若正方形的边长为8cm，计算车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差； 等边三角形车轮 任务二：如图3，等边三角形的边长为6cm，车轮轴心为O（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长； 莱洛三角形车轮 如图4，以等边三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以等边三角形的边长为半径作60°弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．小明经过探究发现，“莱洛三角形”车轮在滚动过程中（如图4）最高点离地面的距离始终相等，即莱洛三角形滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡．显然，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，大致为A ．（填写对应的字母） 任务三：已知OA＝6cm，请计算莱洛三角形的轴心O距离地面的最高点和最低点的高度差． 【分析】任务一：利用正方形的性质，点的运动轨迹的特征解答即可； 任务二：由题意画出符合题意的图形，类比得到点O的轨迹，再利用圆的弧长公式解答即可； 任务三：利用“莱洛三角形”的特征，分别对“最高点”和“车轮轴心O”的运动轨迹进行分析即可得出结论． 【解答】解：任务一：如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为8cm，过点O作OB⊥AB于点B，以点A为圆心，OA为半径画弧交正方形的边于点C， ∴轴心O距离地面的最低距离为OB＝AB＝4cm， 由勾股定理得， ∵点O的移动轨迹为以点A为圆心，OA为半径的弧， ∴点C为车轮轴心O距离地面的最高点， ∵， ∴车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为； 任务二：如图3，等边三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为O（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周， 连接OA，O'A，过点O作OC⊥AC于点C， ∴∠CAO＝∠BAO＝30°， ∵O'为等边三角形的中心， ∴∠DAO'＝30°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠OAO'＝120°， ∵OC⊥AC， ∴AC＝3cm， ∴OA2＝OC2+AC2， ∴， ∴， ∴的长， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点O经过的路径长为； 任务三：由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变， ∴其“最高点”的移动路径是水平的， ∵“车轮轴心O”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环， ∴其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为：A， 故答案为：A． 如图4，过点O作OM⊥AB，垂足为点M， ∵O为正△ABC的中心， ∴， 在Rt△OMA中，∠OMA＝90°，OA＝6cm， ∴， ∴， ∵O为圆心，OM⊥AB， ∴， 延长AO交弧BC于点N， ∴， 当AN与地面垂直且点N落在地面上时，轴心离地面的距离最小， 最小距离为， 当AN与地面垂直，且点A落在地面上时，轴心离地面的距离最大， 最大距离为OA＝6cm， ∴轴心距离地面最高点和最低点的高度差为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $