精品解析：湖南邵阳市邵阳县第二高级中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试题

2026年上学期高二期中考试数学 考试时间：120分钟 分：150分 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “或为有理数”是“为有理数”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. （ ） A. 大于 B. 小于 C. 相等 D. 不确定 4. 函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（ ） A. 奇函数､ B. 偶函数 C. 奇函数､6 D. 既不是奇函数也不是偶函数､6 5. 已知，求的值（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 18 B. -25 C. 30 D. 0 7. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（ ） A. 24 B. 32 C. 30 D. 28 8. 甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 最大值为 10. 设，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 各项系数之和为1 11. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ） A. B. C. 小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D. 当时， 第II卷（非选择题） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若向量满足，则的最小值为__________. 13. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 14. 已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 18. 某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； （2）现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二期中考试数学 考试时间：120分钟 分：150分 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解集合中的不等式：，所以，又由题可知集合，因此. 2. “或为有理数”是“为有理数”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 3. （ ） A. 大于 B. 小于 C. 相等 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【详解】因为在上单调递减，所以. 4. 函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（ ） A. 奇函数､ B. 偶函数 C. 奇函数､6 D. 既不是奇函数也不是偶函数､6 【答案】D 【解析】 【详解】因为不关于原点对称，所以在区间上既不是奇函数也不是偶函数， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以其最小值为. 5. 已知，求的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， ， 故. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 18 B. -25 C. 30 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【详解】的展开式中，的系数分别为，，所以的展开式中的系数为. 7. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（ ） A. 24 B. 32 C. 30 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种； 8. 甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式及概率的乘法公式可得. 【详解】记“选到甲箱”，“摸到红球”. 则， 从甲箱摸到红球的概率为，从乙箱摸到红球的概率为. 根据全概率公式，摸到红球的概率为. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由前项和公式解得等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式，因此可判断各个选项. 【详解】因为设等差数列的公差为，且，由等差数列的前项和公式， ，即，解得，所以A正确，B错误； 所以，所以C错误； 又因为， 所以当或时，有最大值，故D正确. 10. 设，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 各项系数之和为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A，令，可得， ，，故A正确； 对于B：因为，取，因此，故B正确； 对于C：令，可得， 结合B选项，，故C错误； 对于D：令，可得，故D正确. 11. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ） A. B. C. 小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，，A错误，B正确； 对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为， 星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 设，则， 令，则（舍去）或或， 当或时，，当时，， 故时，取得最大值，即， 即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为， 此时，C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为， 所以，D错误， 故选：BC 【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题. 第II卷（非选择题） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若向量满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由向量三角不等式可得最小值. 【详解】因为对任意的向量，有：，且， 所以，当与反向时等号成立. 所以的最小值为. 13. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，题中八面体由正四棱锥和正四棱锥底面贴合而成，正方形为公共底面，边长为.取正方形的中心，记为.连接和，则，，且,,三点共线，线段为八面体的高，连接. . 则是正方形的一条对角线.因为正方形边长为，由勾股定理得对角线.所以. 八面体的每一个面都是正三角形，因此侧面是正三角形，侧棱. 在中，，，， 由勾股定理：. 由对称性，，所以八面体的高； 底面正方形面积. 八面体体积等于两个正四棱锥体积之和： . 故八面体的体积为. 14. 已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围. 【详解】联立与，消去，得. 双曲线与直线相交于互异两点， 等价于同时成立. 解不等式,解得或. 因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以. 当时，；当时，. 所以正数的取值范围是. 四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在等边中，因为 为的中点，所以， 在正方形 中，， 又因为平面平面 ，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面 所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接. 则，又正方形 中，，所以, 在等边中，因为为 的中点，所以. 因为平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，因为平面 ，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面 所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 【点睛】 18. 某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； （2）现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 【答案】（1）（人），平均数，中位数为 （2） 均值 【解析】 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算样本的平均数及中位数可得； （2）根据随机变量服从超几何分布，从而可得分布列及期望. 【小问1详解】 由图可知，健康上网天数未超过天的频率为. 所以健康上网的天数超过天的人数是（人）. 频率分布直方图中的平均数 设频率分布直方图中的中位数为，因为前三组的频率和为，前四组的频率和为， 所以中位数在第四组中，得：， 整理得： 【小问2详解】 因为名学生中健康上网天数超过天的人数有人， 随机变量的所有可能的取值为，且服从超几何分布，所以有： ，，， 所以Y的分布列为 所以的均值. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递减； 当，在单调递减，在单调递增. （2）. 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $