精品解析：湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试范围：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数(是虚数单位)在复平面内对应的点是（ ） A B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 5 设，且⊥，则（ ） A. 8 B. -8 C. 5 D. -5 6. 已知正四棱台的上、下底面边长为2，4，棱台的高为2，则其体积为（ ） A. 56 B. C. 40 D. 7. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于曲线，下面说法正确的是（ ） A. 若，曲线的长轴长为2 B. 若曲线是椭圆，则的取值范围是 C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D. 若曲线是焦点在轴上椭圆，离心率为，则值为3 11. 已知函数，则（ ） A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线对称中心 D. 有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 过三点的圆的方程为___________． 13. 已知，则___________． 14. 已知函数，则曲线经过点的切线方程是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 将数列和公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求使得的的最小值． 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率； （3）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望． 18. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程的解的个数． 19. 已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． （1）求双曲线的方程； （2）证明：以为直径的圆过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试范围：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合所满足的条件即可直接得出答案。 【详解】因为，且，所以. 故选：C 2. 复数(是虚数单位)在复平面内对应点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把复数变成的形式再判断即可。 详解】. 所以复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：A 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程得出斜率，再利用斜率公式计算得到倾斜角； 【详解】直线的斜率为， 因为，所以. 故选：B. 4. 在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法法则得到答案. 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 5. 设，且⊥，则（ ） A. 8 B. -8 C. 5 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：D 6. 已知正四棱台的上、下底面边长为2，4，棱台的高为2，则其体积为（ ） A. 56 B. C. 40 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入台体的计算公式即可. 【详解】 故选：B 7. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算法则得到答案. 【详解】 . 故选：D 8. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，联立方程，求出的坐标，然后求解. 【详解】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：， 联立，消去可得：，解得, 不妨令,则, 故． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】只有已知两角及一边对角的情况才有可能有两解，根据正弦定理计算出另一个角的正弦值的大小再结合是否满足三角形内角为和大边对大角来判断。 【详解】对于A：已知两角及一边只有唯一解，故A错误； 对于B：由正弦定理得：， 因为且，所以或，有两解，故B正确； 对于C：由正弦定理得：， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故C正确； 对于D：由正弦定理得：， 因为，所以只有一解且为锐角，故D错误。 故选：BC 10. 对于曲线，下面说法正确的是（ ） A. 若，曲线的长轴长为2 B. 若曲线是椭圆，则取值范围是 C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 11. 已知函数，则（ ） A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导后令，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。 【详解】，故A正确； 令，解得，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，在取得极大值， 即，， 只有一个零点，故B正确D错误； ，所以关于对称，故C正确。 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 过三点的圆的方程为___________． 【答案】(或者写成) 【解析】 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法计算即得. 【详解】由，得. 故答案为： 14. 已知函数，则曲线经过点的切线方程是______． 【答案】或. 【解析】 【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点即可. 【详解】设切点为对求导得： ， 切线方程为：， 切线过， 解之：或1，所以斜率或， 又过， 代入点斜式得切线方程为：或， 故答案：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求使得的的最小值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）列举法写出数列和，从而找到公共项成等差数列，即可得解； （2）先求出等差数列的前n项和，再解不等式即可. 【小问1详解】 , 所以公共项就是以为首项，2为公差的等差数列， 即； 【小问2详解】 由（1）知， 由，得， ，即， ，故的最小值为7． 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）由证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：在正方体中，因为，且， 所以四边形为平行四边形． 所以． 又平面，所以平面． 【小问2详解】 不妨设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则． 所以． 设平面的法向量为，则即， 令，则， 于是． 设直线与平面所成的角为， 则 17. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率； （3）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算概率； （2）利用条件概率的公式求解或者利用缩小事件空间的方法求解； （3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 【小问1详解】 记第i次抽到选择题为，则 【小问2详解】 【小问3详解】 可能为0，1，2， 分布列为： 0 1 2 18. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程的解的个数． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； （2）作图见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的极值. （2）结合（1）分析函数的特性，作出函数图象. （3）结合（2）中的图象，数形结合求出方程解的个数. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图： 【小问3详解】 方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 19. 已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． （1）求双曲线的方程； （2）证明：以为直径的圆过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给条件求出、，即可求出，从而得解； （2）设，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出以为直径的圆的方程，根据对称性，定点坐标在轴上，令求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得，， 双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知， 设，，， 由，消去整理得， ， ，， ， ， 以为直径的圆方程：， ， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点， 令， ， ， 对恒成立， ， ∴以为直径的圆过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$