精品解析：河南省周口市第十九初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度八年级下学期数学期中考试试题卷 （满分：120；考试时间：100分） 一、选择题 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件即二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出不等式求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵二次根式有意义, ∴被开方数需满足非负条件，即 解不等式得 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个二次根式的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式为最简二次根式． 【详解】A、，因为被开方数含能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； B、因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除运算法则，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法合并，，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意． 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵原点坐标为，点P坐标为， ∴点P到x轴的距离为，点P到y轴的距离为， ∴由勾股定理得，点P到原点的距离． 5. 如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC， 又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE=DC，OE∥DC， ∴OE∥AB， ∴∠BOE=∠OBA， ∴选项A、B、C正确； ∵OB≠OC， ∴∠OBE≠∠OCE， ∴选项D错误； 故选D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，还考查了三角形中位线定理，解决问题的方法是采用排除法解答． 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理． 根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 二、填空题 11. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 12. 若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题先化简二次根式，再根据二次根式为整数的性质，确定的最小正整数值． 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又是正整数， 可取的最小正整数为． 13. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 【答案】22.5 【解析】 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴， ∴． 14. 青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元． 【答案】 7200 【解析】 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得；在中，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形；然后利用直角三角形的面积公式求得两个直角三角形的面积，求其和；最后由面积单价总额计算这块地种植草皮需要投入的资金． 【详解】解：连接， 在中，，，， 则， 在中，，，， ， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴， 即． ∴（元）． 则这块地种植草皮需要投入7200元． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：当时，当时，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图1，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ，， ， ， 解得， ；    如图2，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 四边形是正方形， ；    综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法和减法运算法则进行计算即可； （2）根据平方差和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知，求代数式． 【答案】39 【解析】 【分析】根据题意可计算出，，再把所求式子变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：， ，， ． 18. 如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 19. 图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． （1）线段__________；线段__________； （2）以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． （3）点为轴上的动点，则的最小值为_______． 【答案】（1）； （2） 如图所示，正方形即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意以为边画正方形，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接，进而可得的最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴，； 【小问2详解】 解：∵图1为5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个小正方形组成的图形面积为，边长为， 又∵， ∴以为边画正方形； 【小问3详解】 解：如图，作关于轴的对称点，连接，此时 ∵ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 20. 如图所示，一根长2.5米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，则B端沿地面向右滑行． （1）木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？请说明理由；若不变，求的长． （2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米？ 【答案】（1）1.25米；（2）1.3米 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可； （2）根据勾股定理求出OA，求出OA´，即可得到结论． 【详解】（1）的长不变． 连接，如图． ∴P是的中点， ∴． ∵， ∴（米）． （2）如图． 由题意得米． ∵， ∴（米）， 又（米）， ∴（米）， ∴（米）． ∴木棍的顶端A沿墙下滑1.3米． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据勾股定理求出各个边的长是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 选择①：四边形为菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 选择②：四边形为矩形，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）选择①：根据矩形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答；选择②：根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）当t为何值时，的长度为10？ （3）在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 解：四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足， ， ， 此时， 过点作于点，则，， 在中，， ，即， 故四边形不可能是菱形． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，若四边形是平行四边形，则，即可得到答案； （2）过点作于点，，求出，即，即可得到答案； （3）四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足，则，此时，过点作于点，则，得到． 【小问1详解】 解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， ， 点到达点需要，点到达点需要，且其中一个到达端点即停止， ， 若四边形是平行四边形，则， ， 解得； 【小问2详解】 解：过点作于点， 则， 在中，， ， ， ， ， 当时，； 当，； 和都在范围内， 答：当为或时，的长度为； 【小问3详解】 略 23. 小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： （1）四边形的中点四边形的形状为 ； （2）当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； （3）如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）菱形 （2） 答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3） 答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【小问1详解】 解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级下学期数学期中考试试题卷 （满分：120；考试时间：100分） 一、选择题 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 二、填空题 11. 化简：________ 12. 若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 13. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 14. 青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 已知，求代数式． 18. 如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求之间的距离． 19. 图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． （1）线段__________；线段__________； （2）以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． （3）点为轴上的动点，则的最小值为_______． 20. 如图所示，一根长2.5米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，则B端沿地面向右滑行． （1）木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？请说明理由；若不变，求的长． （2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米？ 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 22. 如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）当t为何值时，的长度为10？ （3）在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 23. 小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： （1）四边形的中点四边形的形状为 ； （2）当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； （3）如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $