第17章平行四边形（单元复习课件）数学新教材华东师大版八年级下册

单元复习课件 第17章 平行四边形 华师版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 熟练掌握平行四边形的定义、性质（边、角、对角线、对称性），能准确复述并灵活运用性质解决线段相等、角相等、平行等相关问题。掌握三角形中位线定理和“平行线间距离”的核心性质，并能进行初步应用。 3.提示几何推理证明能力、图形转化能力及综合解题能力，能运用本章知识解决相关实际问题 2. 全面掌握平行四边形的5种判定方法（定义法、边判定、角判定、对角线判定），能根据不同题干条件，选择最优判定方法证明一个四边形是平行四边形。 单元学习目标 3 平 行 四 边 形 性质 ①对边平行且相等 ②对角相等，邻角互补 ③对角线互相平分 判定 ①两组对边分别平行的 ②两组对边分别相等的 ③一组对边平行且相等的 ④对角线互相平分的 四 边 形 平行四边形 单元知识图谱 题型一 平行四边形的定义 平行四边形的定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. A B D C 记作：□ ABCD 双重 含义 ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. 几何语言： 注意：定义既是平行四边形的“性质”（平行四边形的两组对边分别平行）， 也是最基础的“判定方法”（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 考点串讲 题型一 平行四边形的定义 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 对边 角 邻角 对角 对角线 四组：AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA 两组：AB 和 DC，AD 和 BC 四组：∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC 两组：∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC 两条：AC 和 BD D A C B O 考点串讲 题型二 平行四边形的性质 （已知平行四边形，可推导的结论） 几 何 语 言 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∴ AD = BC，AB = DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 1. 平行四边形的性质 对角线 互相平分 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O ∴ OA = OC，OB = OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC. A B C D O 平行四边形是中心对称图形. ∴邻角互补∠BAD +∠ABC =180°， ∠BCD +∠ADC =180°（其余邻角同理） 易错点：切勿误认为平行四边形是轴对称图形 考点串讲 2. 平行四边形的性质易错点解析 题型二 平行四边形的性质 （1） “两组对边分别相等”，而非“一组对边相等”，也不是“邻边相等”；若仅一组对边平行且相等，可判定为平行四边形，但仅一组对边平行、另一组对边相等，不能判定为平行四边形（可能是等腰梯形）。 （2）平行四边形对角相等、邻角互补，切勿记成“对角互补、邻角相等” （3）平行四边形对角线“互相平分”≠“相等”，也不是“互相垂直” 3.常用结论 （1）平行四边形的对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形 （推导：等底等高的三角形面积相等，结合对角线互相平分可证明）； （2）平行四边形中，过对称中心的任意一条直线，都能把平行四边形分成两个全等的图形（面积相等、形状相同，可用于折叠、旋转类题目）。 （3）平行线之间的距离处处相等 考点串讲 8 题型三 平行四边形的判定方法 1.平行四边形的判定 几 何 语 言 文字叙述 两组对边分别平行 （定义） ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD∥BC，AB∥DC， B C A D 两组对边分别相等 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD = BC，AB = DC， B C A D 一组对边平行且相等 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AB = DC，AB∥DC， B C A D 对角线互相平分 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OA = OC，OB = OD， B C A D O 角判定法 ∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形； B C A D 图形 考点串讲 题型三 平行四边形的判定方法 方法一：定义法（适用于题干有“两组对边分别平行”的条件） （1）判定语言：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）几何语言：∵ AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形； （3）适用场景：题干明确给出两条对边分别平行，或可通过平行线的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）推导得出两组对边分别平行。 方法二：边判定法1（适用于题干有“两组对边分别相等”的条件） （1）判定语言：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）几何语言：∵ AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形； （3）易错提醒：需满足“两组对边”分别相等，仅一组对边相等，不能判定（例如：一组对边相等，另一组对边平行，可能是等腰梯形）。 2.平行四边形判定方法选择 考点串讲 题型三 平行四边形的判定方法 方法三：边判定法2（适用于题干有“一组对边平行且相等”的条件） （1）判定语言：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）几何语言： ∵ AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC） ∴ 四边形ABCD是平行四边形； （3）核心要点： “平行”和“相等”必须是“同一组对边”，不能是“一组对边平行，另一组对边相等” （4）适用场景：题干仅给出一组对边的关系，或可推导得出一组对边既平行又相等，是中考中档题、基础题的常用判定方法。 考点串讲 题型三 平行四边形的判定方法 方法四：角判定法（适用于题干有“两组对角分别相等”的条件） （1）判定语言：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （2）几何语言： ∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形； （3）适用场景：题干给出角的关系，或可通过三角形内角和、平行线的性质推导得出两组对角分别相等，难度较低，基础题中偶尔出现。 考点串讲 题型三 平行四边形的判定方法 方法五：对角线判定法（适用于题干有“对角线”的条件） （1）判定语言：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）几何语言： ∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO ∴ 四边形ABCD是平行四边形； （3）适用场景：题干涉及对角线，或有“中点”“线段平分”的条件，常与三角形全等、线段相等结合考查，是中档题、提高题的常用判定方法； （4）易错提醒：切勿把“对角线互相平分”记成“对角线相等”或“对角线互相垂直”，避免与矩形、菱形的判定混淆。误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 判定平行四边形（可能是等腰梯形） 考点串讲 题型四 性质与判定的核心区别 性质：已知是平行四边形，推导得出边、角、对角线的关系 由“平行四边形”→ 边/角/对角线的特点； 判定：未知是平行四边形，通过边、角、对角线的关系， 证明该四边形是平行四边形，即由“边/角/对角线的特点”→ 平行四边形； 口诀记忆： 性质“知平行，推特点”； 判定“找特点，证平行”。 考点串讲 题型五 三角形的中位线 1、中位线定义： 连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. 2、三角形中位线定理 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 用符号语言表示： D E 在△ABC 中， ∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点， ∴DE∥BC且 DE = BC . 如图，点 D、E 分别是 △ABC 的两边 AC、BC 的中点，即 DE 是连结 △ABC 的两边中点的线段， DE 为中位线 应用场景：求线段长度、证明线段平行、构造中位线辅助线（遇中点连线优先考虑）。 考点串讲 题型五 三角形的中位线 3.三角形的中位线与三角形的中线的区别: F E A B C D A B C E D F 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段， 三角形的中线是连结三角形顶点与其对边中点的线段. 考点串讲 题型一 平行四边形的性质应用 题型特点 题干明确给出“四边形是平行四边形”，要求运用平行四边形的边、角、对角线性质，求线段长度、角的度数、周长、面积等，题型简单，侧重基础知识点的直接运用。 解题思路 第一步：标注已知条件，明确平行四边形的边、角、对角线的关联（例如：对角线相交于点O，则AO=CO，BO=DO）； 第二步：结合所求问题，选择对应的性质（求角用角的性质，求线段用边或对角线的性质）； 第三步：规范书写解题步骤，先说明“四边形是平行四边形”，再引用性质，最后推导得出答案。 易错点 混淆平行四边形的性质（例如：误将“对角线互相平分”当成“对角线相等”）； 忽略邻角互补的性质，无法通过已知角求出未知角； 计算线段长度时，忘记平行四边形对边相等，导致计算错误。 题型剖析 题型一 平行四边形的性质应用题 例1.（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 题型剖析 题型一 平行四边形的性质应用 例2.（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是 。 (2)求证： （1）解：由作图可知，为的角平分线 （2）证明：四边形为平行四边形 题型剖析 题型二 平行四边形的判定证明题 题型特点 题干给出一个四边形的边、角、对角线的部分条件，要求证明该四边形是平行四边形，是中考中档题的核心题型，常结合三角形全等、平行线的判定等知识点考查。 解题思路 第一步：分析题干已知条件（边、角、对角线的关系），确定最优判定方（优先选择“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”，这两种方法中考最常考）； 第二步：若条件不足，可通过三角形全等、平行线的性质（同位角、内错角相等）等，推导得出判定所需的条件； 第三步：规范书写证明步骤，先推导所需条件，再引用平行四边形的判定方法，最后得出结论。 易错点 选错判定方法（例如：题干给出一组对边平行、另一组对边相等，误用来判定平行四边形）； 证明过程不规范，未先推导判定所需的条件，直接引用判定定理； 混淆“性质”和“判定”，用平行四边形的性质来证明四边形是平行四边形（逻辑错误）。 题型剖析 题型二 平行四边形的判定证明题 例3.（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 解： A．由作法得，而，则四边形是平行四边形， 所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形， 所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形， 不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． D 题型剖析 例4.（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，D，E分别为，的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，，，求的长 （1）证明： 点，分别为边，的中点， 是的中位线，， ，. 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如解图，连接， ，， . ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ， . 是的中点， ，即的长为． 题型二 平行四边形的判定证明题 题型剖析 题型三 平行四边形的性质与判定综合题 题型特点 题干需先证明四边形是平行四边形（判定），再运用平行四边形的性质解决后续问题（求线段、角、周长，或证明线段相等、角相等），是“判定+性质”的综合运用，侧重逻辑推理能力。 解题思路 第一步：先分析题干条件，证明四边形是平行四边形（选择合适的判定方法）； 第二步：再运用平行四边形的性质，结合题干其他条件（如三角形全等、线段垂直平分线等），解决所求问题； 第三步：反思解题过程，确保“判定”和“性质”的运用顺序正确，步骤规范。 易错点 判定过程不完整，无法准确推导得出平行四边形的判定条件； 忘记先判定平行四边形，直接运用平行四边形的性质解题（逻辑错误）； 综合运用多个知识点时，思路混乱，无法串联起判定和性质。 题型剖析 例5.（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D， ∵AF=CE， ∴AD-AF=BC-CE即DF=BE， 在△ABE与△CDF中， ∵ ∴△ABE≌△CDF(SAS )； （2）添加 如图所示，连接． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥ BE， 当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形． 题型二 平行四边形的判定证明题 （答案不唯一） 题型剖析 题型三 平行四边形的性质与判定综合题 例6（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上． 若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 解：添加②为条件， 则四边形是平行四边形． 理由如下， 如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵∴ ∴四边形是平行四边形． ② ③ 选择①无法得出四边形是平行四边形 添加③为条件， 则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 题型剖析 题型四 平行四边形的实际应用题 题型特点 结合生活实际场景（如栅栏、衣架、折叠、测量等），将实际问题转化为平行四边形的数学问题，运用平行四边形的性质与判定解决，侧重“数形结合”和“转化”思想。 解题思路 第一步：审题，将实际场景转化为数学图形（构造平行四边形）； 第二步：分析图形中的已知条件，结合平行四边形的性质与判定，推导得出所求结论； 第三步：将数学结论转化为实际问题的答案，确保符合实际意义。 易错点 无法将实际问题转化为数学图形，找不到平行四边形的模型； 忽略实际场景的限制条件（如线段长度为正数），导致答案不符合实际； 运用性质与判定时，出现逻辑错误。 题型剖析 例7.（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：．∴线段长最小为． 题型四 平行四边形的实际应用题 题型剖析 例8.（2024·山东青岛·二模）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 例如：如图1，在四边形中，点是的中点，点是的中点，是四边形的中位线． 【方法探究】 如图2，已知是的中位线，以点为中心将旋转得到，可证． 【方法应用】 (1)如图3，是梯形的中位线．若，，则__________； 若，，且，则__________． (2)如图4，是四边形的中位线． 若，，则的取值范围是__________； 若，，且，则的取值范围是__________． 题型四 平行四边形的实际应用题 题型剖析 例8（2024·山东青岛·二模）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 【方法应用】(1)如图3，是梯形的中位线．若，， 则__________； 若，，且，则__________． （1）解：如图，以为中心，将梯形旋转得到梯形， 则，， 且四边形都是平行四边形 , 若，，则， 若，，则， 题型四 平行四边形的实际应用题 题型剖析 例8（2024·山东青岛·二模）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 【方法应用】 (2)如图4，是四边形的中位线． 若，，则的取值范围是__________； 若，，且，则的取值范围是__________． （2）如图，以为中心，将四边形旋转得到四边形,连接，则四边形都是平行四边形， ,, 在中得（在同一直线上时，等号成立） 即 若，，则，即， 若，，且，则． 题型四 平行四边形的实际应用题 题型剖析 例9（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 题型五 平行四边形与函数综合 （1）解∶ ∵经过 ∴，解得， ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 得 解得 ∴ 把，代入 题型剖析 例9（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 题型五 平行四边形与函数综合 （2）解：观察图像得： 当或时， 一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集： 或； 题型剖析 例9（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 得 解得： ∴，∴ ②以、为对角线， 得 解得 ∴，∴ 方法提示： 平行四边形对角线互相平分， 则对角顶点的横、纵坐标之和分别相等 ③以、为对角线 得 解得 ∴， 综上，当C的坐标为或或时， 以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形 题型五 平行四边形与函数综合 题型剖析 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 C 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵DE∥AC，CE∥ BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴DE=OC=1.5,CE=OD=2.5， ∴周长为：2×(1.5+2.5)=8， 针对训练 34 2.（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． D 解：A．∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵AD∥BC，AB∥ DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵AD∥"BC，∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=∠C，∴∠ABC+∠C=180°， ∴AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵AD∥ BC，AB=DC， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 针对训练 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取 AC 的中点 F，连接 BF. ∵ BD＝AB， ∴ BF 为△ADC 的中位线， ∴DC＝2BF. ∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC， ∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵ BC＝CB， ∴ △EBC≌△FCB. ∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE. F 针对训练 4.如图，E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点．求证：四边形 EFGH 为平行四边形. 证明：如图，连接 BD. ∵ E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点， ∴EH 是△ABD 的中位线， FG 是△BCD 的中位线， ∴ EH∥BD 且 EH = BD， FG∥BD 且 FG = BD， ∴ EH∥FG 且 EH = FG， ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形. 针对训练 5.（2024·浙江金华·二模）如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． D 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ∴， 故C正确，不符合题意， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∟ ∟ ，， ， 故A正确，不符合题意； 只有当时， ， 故D错误，符合题意； 针对训练 平行四边形 定义 有两组对边分别______的四边形叫做平行四边形. 性质 对称性 边 角 对角线 两条平行线之间的距离 是中心对称图形，对角线的______就是对称中心. 平行四边形的两组对边分别平行. 平行四边形的对边_______(性质定理1) 平行四边形的相邻两个内角互补. 平行四边形的对角_______(性质定理2) 平行四边形的对角线互相_______(性质定理3) 定义：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：平行线之间的距离处处_______ 平行 交点 相等 相等 平分 相等 课堂总结 平行四边形 判定 定义法 判定定理1 三角形的 中位线 有两组对边分别______的四边形是平行四边形. 定义：连结三角形两边_______的线段， 叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线_______第三边， 判定定理2 两组对边分别______的四边形是平行四边形. 一组对边___________的四边形是平行四边形. 判定定理3 对角线___________的四边形是平行四边形. 拓 展 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 且等于第三边的_______ 平行 相等 平行且相等 互相平分 中点 平行于 一半 课堂总结 复习题 A 组 1. 判断题（对的在括号内填“√”，错的在括号内填“×”） （1）平行四边形的两组对边分别平行.（ ） （2）平行四边形的四个内角都相等.（ ） （3）平行四边形相邻两个内角的和等于 180°.（ ） （4）如果平行四边形相邻两边的长分别是 3、5， 那么它的周长是 16.（ ） （5）在 □ ABCD 中，如果∠A = 40°，那么∠B = 50°.（ ） √ × √ √ × 教材p106页 课后练习 2. 如图，点 P 是 □ABCD 内一点，过点 P 作直线 EF、GH 分别平行于 AB、BC，并与 □ABCD 分别相交于点 G、F、 H、E，试找出图中的平行四边形，与你的同伴比一比， 看谁找得多. □ AGPE □ EDHP □ FCHP □ GPFB □ ADHG □ GHCB □ ABFE □ EFCD □ ABCD A B C D E F G H P 课后练习 3. 如图，在 □ ABCD 中，∠BAC = 68°，∠ACB = 36°. 求 ∠D 和 ∠BCD 的大小. 解: ∵ ∠BAC ＝ 68°，∠ACB ＝ 36°， ∴ ∠B ＝180°－68°－36° ＝ 76°. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠D ＝∠B ＝76°，AB∥CD， ∴ ∠BCD + ∠D ＝ 180°， ∴ ∠BCD ＝180°－∠D ＝180°－76°＝ 104°. A B C D 课后练习 4. 如图，在 □ ABCD 中，∠A + ∠C = 140°. 求∠A、∠B、 ∠C、∠D 的大小. D A B C 解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C，∠B ＝∠D，AD∥BC. ∵ ∠A + ∠C ＝140°，∴ ∠A ＝∠C ＝70°. ∵ AD∥BC，∴ ∠B + ∠C ＝ 180°， ∴ ∠B ＝∠D ＝ 180°－∠C ＝180°－70° ＝ 110°. ∴ ∠A、∠B、∠C、∠D 的大小分别是 70°、110°、70°、110°. 课后练习 5. 已知平行四边形相邻两边长的比是 3 ∶ 4，其中较长的 边长是 6 cm. 求这个平行四边形的周长. 解: 设平行四边形相邻两边的长分别为 3x cm、4x cm， 则 4x ＝ 6， 解得 x ＝ . ∴ 3x ＝3× ＝ . ∴ 平行四边形相邻两边的长分别为 cm 和 6 cm. ∴ 这个平行四边形的周长为 ( + 6 )×2 ＝ 21 (cm) . 课后练习 6. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D，∠1 = ∠2. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 1 2 证明: 在△ABC 和△CDA 中， ∵ ∠B ＝∠D，∠1 ＝∠2，AC ＝ CA， ∴ △ABC ≌ △CDA. ∴ AB ＝ CD，BC ＝ DA. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是 平行四边形). 课后练习 7. 如图，延长 □ ABCD 的边 AD 到点 F，使 DF = DC， 延长边 CB 到点 E，使 BE = BA，分别连结点 A、E 和点 C、F . 求证：AE = CF . A B C D E F 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ABC ＝∠ADC，AB ＝ CD， ∴ ∠ABE ＝∠CDF. ∵ BE ＝BA，DF ＝ DC， ∴ BE ＝BA ＝DF ＝DC， ∴ △ABE≌△CDF，∴ AE ＝ CF. 课后练习 8. 证明：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等. 解:已知: 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE ⊥ AD 于点 E，OF ⊥ BC 于点 F . 求证: OE ＝ OF. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC，AD∥BC. ∴ ∠CAD ＝∠ACB，即∠OAE ＝∠OCF. ∵ OE ⊥ AD，OF ⊥ BC， ∴ ∠OEA ＝∠OFC ＝ 90°. ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE ＝ OF . 课后练习 9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，M、P、N 分别是 AD、BD、BC 的中点. 求证：∠PMN = ∠PNM . 证明: ∵ P、M 分别是 BD、AD 的中点， ∴ PM 是△ABD 的中位线. ∴ PM ＝ AB. 同理可得 PN ＝ CD. ∵ AB ＝CD，∴ PM ＝ PN. ∴ ∠PMN ＝∠PNM. A B C D M N P 课后练习 复习题 B 组 10. 如图，E 是 □ ABCD 边 BC 上的一点，且 AB = BE， 连结 AE，并延长 AE 与 DC 的延长线交于点 F， ∠F = 60°. 求这个平行四边形各内角的大小. A B C D E F 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC，∠B ＝∠D，∠BAD ＝∠BCD. ∴ ∠BAE ＝∠F ＝60°，∠B +∠BAD ＝180°. ∵ AB ＝ BE，∴ ∠BEA ＝∠BAE ＝60°. ∴ ∠B ＝∠D ＝ 60°. ∴ ∠BAD ＝∠BCD ＝180°－∠B ＝120°. 课后练习 11. 如图，在 □ ABCD 中，点 M、N 分别在边 AD、BC 上， 点 E、F 在对角线 BD 上，且 DM = BN，BE = DF． 求证：四边形 MENF 是平行四边形. D A B C M N E F 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，∴ ∠ADB ＝∠CBD，即∠MDF ＝∠NBE. 又∵ DM ＝BN，DF ＝BE， ∴ △DMF ≌ △BNE . ∴ FM ＝ EN，∠MFD ＝∠NEB. ∴ ∠MFE ＝∠NEF. ∴ FM∥EN. ∴ 四边形 MENF 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 课后练习 12. 如图，D 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的一点， 点 E、F 分别在边 AC、AB 上，且 DE//AB，DF//AC. 试问：DE、DF 与 AB 之间有什么关系？请说明理由. D A B C E F 解: DE + DF ＝AB. 理由如下: ∵ DE∥AB，DF∥AC， ∴ 四边形 AFDE 是平行四边形， ∴ DE ＝ FA. ∵ △ABC 是等腰三角形，∴ ∠B ＝∠C. ∵ DF∥AC，∴ ∠FDB ＝∠C， ∴ ∠B ＝∠FDB，∴ BF ＝ DF， ∴ DE + DF ＝FA + BF ＝AB. 课后练习 13. 如图，以 □ ABCD 的边 AD、BC 为边分别向外作等边 三角形ADE 和 BCF. 求证：四边形 DEBF 是平行四边形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝CD，AD ＝BC，∠DAB ＝∠BCD. 又∵ △ADE 与△BCF 都是等边三角形， ∴ AD ＝AE ＝DE ＝BC ＝CF ＝BF， ∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴ ∠EAB ＝∠FCD. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE ＝DF. 又∵ DE ＝BF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形). A B C D E F 课后练习 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC，OB ＝ OD. 又∵ AE ＝ CF，BG ＝ DH， ∴ OA－AE ＝ OC－CF， OB－BG ＝OD－DH， 即 OE ＝ OF，OG ＝ OH. ∴ 四边形 EGFH 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). ∴ GF ＝ HE . 14. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 在 AC 上，点 G、H 在边 BD 上，且 AE = CF，BG = DH. 求证： GF = HE . A B C D E G F H O 课后练习 15. 如图，点 O 为 □ ABCD 的对角线 BD 的中点，直线 EF 经过 点 O，分别交 BA、DC 的延长线于点 E、F，分别连结点 B、 F 和点 D、E，求证：四边形 BFDE 是平行四边形. A B C D E F O 证明: ∵ 点 O 为 □ ABCD 的对角线 BD 为中点， ∴ OB ＝ OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD， ∴ ∠ABD ＝∠BDC，即∠EBO ＝∠FDO. 又∵ ∠BOE ＝∠DOF， ∴ △BOE≌△DOF，∴ OE ＝ OF . 又∵ OB ＝ OD， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). 课后练习 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，OB ＝ OD，OA ＝ OC. ∴ ∠ABD ＝∠BDC，即∠EBO ＝ ∠FDO. 又∵ ∠BOE ＝∠DOF，∴ △BOE≌△DOF. ∴ OE ＝ OF. ∵ OA ＝ OC，点 G、H 分别为 OA、OC 的中点， ∴ OG ＝ OH . ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 16. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 经过点 O 且分别交 AB、CD 于点 E、F，点 G、H 分别为 OA、OC 的 中点. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形. A B C D E F G H O 课后练习 复习题 C 组 17. 如图，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，过点 C 作 AD 的垂线， 交 AD 的延长线于点 E，F 为边 BC 的中点，连结 EF . 求证：EF // AB. 证明: 如图，延长 AB 交 CE 的延长线于点 O. ∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠OAE ＝ ∠CAE. ∵ AE ⊥ CE，∴ ∠OEA ＝∠CEA ＝ 90°. ∵ AE ＝AE，∴ △OAE ≌△CAE. ∴ OE ＝CE，即 E 为 OC 的中点. ∵ F 为 BC 的中点，∴ EF 是△OBC 的中位线， ∴ EF∥OB，即 EF∥AB . A B C D E F O 课后练习 18. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，CD = BF. 求证：四边形 CDEF 是平行四边形. 证明: 如图，连结 BE. 在等边三角形 ABC 和等边三角形 ADE 中， AC ＝ AB，AD ＝ AE， ∵∠CAD ＝60°－∠BAD ＝∠BAE， ∴ △ACD≌△ABE. ∴ CD ＝ BE，∠ACD ＝∠ABE ＝ 60°. ∵ CD ＝BF，∴ BE ＝BF. ∴ △BEF 是等边三角形. ∴ EF ＝BE ＝BF，∠EFB ＝60°. ∴ EF ＝ CD. 又∵ ∠ABC ＝∠EFB ＝ 60°， ∴ EF∥BC，即 EF∥CD. ∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. A B C D E F 课后练习 19. 如图，在 □ ABCD 中，过对角线 AC 的中点 O 作直线 EF 分别与 AD、BC 交于点 E、F，连结 BE、AF 相交于点 G， 连结 EC、FD 相交于点 H，图中有几个平行四边形，为什么？ 解:图中有 4 个平行四边形，分别是 □ABCD、 □ AFCE、 □ BFDE、 □ EGFH. 理由如下: 在□ ABCD 中，AD∥BC，AD ＝ BC， ∴ ∠EAO ＝∠FCO. ∵ O 为 AC 的中点，∴ AO ＝ CO. 又∵ ∠AOE ＝∠COF，∴ △EAO≌△FCO， ∴ EO ＝ FO，∴ 四边形AFCE 是平行四边形， A B C D E F G H O 课后练习 感谢聆听! $