第17章 平行四边形（复习讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

第17章 平行四边形（复习讲义） 1. 基础目标：①能复述平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形）和基本性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形）。②能识别平行四边形的图形特征（包括边、角、对角线和对称性），能区分平行四边形与梯形、矩形等其他四边形。③能复述三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）和基本性质（平行于第三边且等于第三边的一半）。④能指出平行四边形的对称中心（对角线交点）。 2. 进阶目标：①会推导平行四边形的性质定理（利用全等三角形证明对边相等、对角相等、对角线互相平分）。②会推导平行四边形的判定定理（利用全等三角形证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形）。③会推导三角形中位线定理（利用平行四边形性质证明中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。④能理解并应用"对角线互相平分"的判定方法解决简单几何问题。 3. 拓展目标： ①能理解并应用平行四边形的性质解决几何问题（如求边长、角度、对角线长度等）。②能理解并应用平行四边形的判定方法解决证明问题（如证明四边形是平行四边形）。③能理解并应用三角形中位线定理解决几何问题（如求线段长度、证明线段关系等）。④能理解中点四边形的形状与原四边形对角线的关系（对角线相等→菱形，对角线垂直→矩形，对角线相等且垂直→正方形）。 说明：梳理章节重点知识，理科可总结归纳常见结论、易错点等；文科可将常考知识点利用挖空的形式体现，如： 知识点 重点归纳 常见易错点 平行四边形的概念 1.平行四边形的概念：两组对边分别 平行 的四边形，平行四边形ABCD符号记作，顶点字母按顺序书写.平行四边形的定义既是性质也是判定依据. 书写符号表示时，顶点字母没按一定的顺序写. 平行四边形的性质 2.平行四边形的性质1（边）：对边平行且相等. 3.平行四边形的性质2（角）：对角相等，邻角互补. 4.平行四边形的性质3（对角线）：对角线互相平分. 5.平行四边形的性质4（对称性）：平行四边形是中心对称图形. 1.混淆“对边相等”与“邻边相等” 典型错误：看到平行四边形ABCD，误认为AB = BC；或在计算周长时，仅用一条边乘以4。 原因分析：受正方形、菱形等特殊图形影响，忽视一般平行四边形只有“对边相等”，邻边不一定相等。 2. 对角线互相平分 ≠ 对角线相等 典型错误：认为平行四边形的对角线相等，或将“互相平分”误解为“长度相等”。 原因分析：与矩形性质混淆，未理解“平分”是指交点将每条对角线分成两段相等，而非两条对角线总长相等。 3. 忽视平行四边形的中心对称性 典型错误：无法利用对称性判断点、线的位置关系，如认为对角线交点不是对称中心。 原因分析：教材虽提及中心对称，但学生缺乏主动应用意识。 平行四边形的判定 6.平行四边形的判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 7.平行四边形的判定2（边）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 8.平行四边形的判定3（对角线）：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1. 判定条件记忆混乱，条件不充分就下结论 典型错误：仅凭“一组对边平行”就断定是平行四边形；将“一组对边相等 + 一组对角相等”当作判定依据（此条件不充分！）；混淆“两组对角分别相等”与“一组对角相等”。 原因分析：死记硬背五种判定方法，未理解其逻辑来源（多由全等三角形推导而来）。 2. 证明过程中跳步或逻辑断裂 典型错误：在证明“四边形ABCD是平行四边形”时，直接写“因为AB∥CD且AD∥BC，所以是平行四边形”，但未证明这两组对边确实平行。 原因分析：缺乏严谨的推理链条，把待证结论当作已知条件。 3. 忽略“在同一平面内”的隐含前提 典型错误：在空间想象题中（如立体图形展开图），误将不在同一平面的四边形当作平行四边形。 原因分析：初中阶段默认平面几何，但部分拓展题会涉及空间背景。 三角形的中位线 9.三角形的中位线概念：连接三角形 两边中点的线段（一个三角形有3条）；与中线的异同：相同点：两种线都涉及到了中点；不同点：所涉及的中点的数量不同，中位线涉及两个中点，中线仅涉及一个中点. 10.三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 1. 三角形中位线与中线混淆 典型错误：将三角形的中线误认为是中位线；认为三角形的中位线等于第三边；不能正确应用三角形中位线定理. 原因分析：学生对三角形中位线的定义和性质理解不透彻，容易与中线混淆。 2. 中点四边形判断失误 典型错误：“顺次连接任意四边形各边中点所得四边形一定是矩形”（正确：一定是平行四边形；仅当原四边形对角线垂直时才是矩形） 原因分析：未理解中点四边形本质是“两次应用三角形中位线”；混淆原四边形对角线性质与中点四边形形状的对应关系. 题型一 利用平行四边形性质求解 【例1】如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【变式1-1】已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是 ． 【变式1-2】如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    题型二 利用平行四边形性质证明 【例2】如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 【变式2-1】如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 【变式2-2】如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 题型三 平行四边形的判定 【例3】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-1】已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 题型四 构造平行四边形 【例4】如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【变式4-2】在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型五 平行四边形性质与判定的综合 【例5】如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为 ． 【变式5-1】如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【变式5-2】如图，在中，．若，则的度数是 ． 题型六 中位线的相关求解 【例6】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式6-1】如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若四边形的面积为3，则四边形的面积为 ． 【变式6-2】如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 题型七 中位线的相关证明 【例7】如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【变式7-1】如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【变式7-2】如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．在四边形中，，，，的度数之比如下，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 二、填空题 9．已知三角形的三条中位线的长分别为，，，则这个三角形的周长是 ． 三、解答题 10．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 11．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 12．如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 13．如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 14．如图，在四边形中，，，，且，，，分别为，，，的中点． (1)求证：． (2)若连接，交于点，则，有何关系？请说明理由． 15．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 16．如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 2．（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，是正六边形对角线上的两点，若添加下列选项中的一个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 二、填空题 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在锐角等腰中，，，分别是边，上的动点，连接．若，，，则的最小值是 ．    7．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ． 三、解答题 8．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 9．（24-25八年级上·河南南阳·月考）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 10．（24-25八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，且，求的长度． 11．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 12．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点． (1)尺规作图：作的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连结、．求证：四边形是平行四边形． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，在四边形中，且，连接，交于点．求证：为中点； （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线．求证：． 16．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中．连接，M为的中点，连接，求证：． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 平行四边形（复习讲义） 1. 基础目标：①能复述平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形）和基本性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形）。②能识别平行四边形的图形特征（包括边、角、对角线和对称性），能区分平行四边形与梯形、矩形等其他四边形。③能复述三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）和基本性质（平行于第三边且等于第三边的一半）。④能指出平行四边形的对称中心（对角线交点）。 2. 进阶目标：①会推导平行四边形的性质定理（利用全等三角形证明对边相等、对角相等、对角线互相平分）。②会推导平行四边形的判定定理（利用全等三角形证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形）。③会推导三角形中位线定理（利用平行四边形性质证明中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。④能理解并应用"对角线互相平分"的判定方法解决简单几何问题。 3. 拓展目标： ①能理解并应用平行四边形的性质解决几何问题（如求边长、角度、对角线长度等）。②能理解并应用平行四边形的判定方法解决证明问题（如证明四边形是平行四边形）。③能理解并应用三角形中位线定理解决几何问题（如求线段长度、证明线段关系等）。④能理解中点四边形的形状与原四边形对角线的关系（对角线相等→菱形，对角线垂直→矩形，对角线相等且垂直→正方形）。 说明：梳理章节重点知识，理科可总结归纳常见结论、易错点等；文科可将常考知识点利用挖空的形式体现，如： 知识点 重点归纳 常见易错点 平行四边形的概念 1.平行四边形的概念：两组对边分别 平行 的四边形，平行四边形ABCD符号记作，顶点字母按顺序书写.平行四边形的定义既是性质也是判定依据. 书写符号表示时，顶点字母没按一定的顺序写. 平行四边形的性质 2.平行四边形的性质1（边）：对边平行且相等. 3.平行四边形的性质2（角）：对角相等，邻角互补. 4.平行四边形的性质3（对角线）：对角线互相平分. 5.平行四边形的性质4（对称性）：平行四边形是中心对称图形. 1.混淆“对边相等”与“邻边相等” 典型错误：看到平行四边形ABCD，误认为AB = BC；或在计算周长时，仅用一条边乘以4。 原因分析：受正方形、菱形等特殊图形影响，忽视一般平行四边形只有“对边相等”，邻边不一定相等。 2. 对角线互相平分 ≠ 对角线相等 典型错误：认为平行四边形的对角线相等，或将“互相平分”误解为“长度相等”。 原因分析：与矩形性质混淆，未理解“平分”是指交点将每条对角线分成两段相等，而非两条对角线总长相等。 3. 忽视平行四边形的中心对称性 典型错误：无法利用对称性判断点、线的位置关系，如认为对角线交点不是对称中心。 原因分析：教材虽提及中心对称，但学生缺乏主动应用意识。 平行四边形的判定 6.平行四边形的判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 7.平行四边形的判定2（边）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 8.平行四边形的判定3（对角线）：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1. 判定条件记忆混乱，条件不充分就下结论 典型错误：仅凭“一组对边平行”就断定是平行四边形；将“一组对边相等 + 一组对角相等”当作判定依据（此条件不充分！）；混淆“两组对角分别相等”与“一组对角相等”。 原因分析：死记硬背五种判定方法，未理解其逻辑来源（多由全等三角形推导而来）。 2. 证明过程中跳步或逻辑断裂 典型错误：在证明“四边形ABCD是平行四边形”时，直接写“因为AB∥CD且AD∥BC，所以是平行四边形”，但未证明这两组对边确实平行。 原因分析：缺乏严谨的推理链条，把待证结论当作已知条件。 3. 忽略“在同一平面内”的隐含前提 典型错误：在空间想象题中（如立体图形展开图），误将不在同一平面的四边形当作平行四边形。 原因分析：初中阶段默认平面几何，但部分拓展题会涉及空间背景。 三角形的中位线 9.三角形的中位线概念：连接三角形 两边中点的线段（一个三角形有3条）；与中线的异同：相同点：两种线都涉及到了中点；不同点：所涉及的中点的数量不同，中位线涉及两个中点，中线仅涉及一个中点. 10.三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 1. 三角形中位线与中线混淆 典型错误：将三角形的中线误认为是中位线；认为三角形的中位线等于第三边；不能正确应用三角形中位线定理. 原因分析：学生对三角形中位线的定义和性质理解不透彻，容易与中线混淆。 2. 中点四边形判断失误 典型错误：“顺次连接任意四边形各边中点所得四边形一定是矩形”（正确：一定是平行四边形；仅当原四边形对角线垂直时才是矩形） 原因分析：未理解中点四边形本质是“两次应用三角形中位线”；混淆原四边形对角线性质与中点四边形形状的对应关系. 题型一 利用平行四边形性质求解 【例1】如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 【变式1-1】已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，注意掌握数形结合思想的应用． 利用平行四边形的对角线互相平分，构造三角形，应用三角形的三边关系求解． 【详解】解：如图所示： 假设，， ∴， 由三角形三边关系， 可得， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    【答案】，． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得对边平行，对角相等，根据平行线的性质即可求出这个平行四边形其余各内角的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵比大， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 题型二 利用平行四边形性质证明 【例2】如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 题型三 平行四边形的判定 【例3】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 【变式3-1】已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且，结合角度比例即可求解. 【详解】解：设，，，. 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且， 由可得，解得； 由可得，解得 此时. ∴当时，能判定四边形是平行四边形， 故选：C． 【变式3-2】根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 题型四 构造平行四边形 【例4】如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 【变式4-1】如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-2】在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 题型五 平行四边形性质与判定的综合 【例5】如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形中位线的性质，是解答本题的关键； 取的中点，连接，根据三角形中位线的判定与性质可得，，且有直线与直线重合，进而可得证明，即可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵为的中点，点为的中点，， ∴，，， ∵，直线与直线重合， ∴直线与直线重合， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】如图，在中，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 题型六 中位线的相关求解 【例6】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 【变式6-1】如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若四边形的面积为3，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据线段的中点，分别得出，，，，从而可利用，结合四边形的面积为3，求得，再利用求得四边形的面积． 【详解】解：因为F为的中点， 所以，， 因为D为的中点， 所以， 因为E为的中点， 所以， 所以 ， 因为四边形的面积为3， 所以， 所以， 所以四边形的面积为 ， 故答案为：6． 【变式6-2】如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 题型七 中位线的相关证明 【例7】如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理证，，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：分别是的中点， ，且（三角形中位线定理）， 同理，可得，且， 且， 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【变式7-1】如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线和三角形全等的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键； 连接得到等腰三角形可推导出角相等，根据SAS判定得到线段相等，再根据中位线得到线段长度关系推导出． 【详解】证明：连接和，如图． 和都为等腰三角形，且其顶角， ，，， ， ． ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ． 【变式7-2】如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，且，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出相等角和边，利用三线合一表示出相关角的度数，最后利用证明，得出对应边相等即可； （2）连接，根据三线合一得出，根据全等三角形的性质得出，证明为等边三角形，再根据三线合一得出，利用三角形的中位线定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，且，证明如下： 如图，连接， 由（1）得， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，且． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对角线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质，将的周长转化为平行四边形相邻两边的和，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ． 的周长为， ， 的周长为． 故选：D． 2．如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 3．如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ∴能推出四边形为平行四边形的有种． 故选：B． 4．在四边形中，，，，的度数之比如下，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据两组对角相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解： A、四个角的度数比中不存在相等的角，不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、根据角度比可得，，不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、根据角度比可得，，能判定四边形是平行四边形，故符合题意； D、根据角度比可得，，但，不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：C ． 5．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 6．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 7．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 8．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 二、填空题 9．已知三角形的三条中位线的长分别为，，，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线定理，三角形的边长等于对应中位线长的两倍． 本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵三角形的三条中位线的长分别为、、， ∴三角形的三条边长分别为、、， ∴这个三角形的周长． 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 12．如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； （2）解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 13．如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 14．如图，在四边形中，，，，且，，，分别为，，，的中点． (1)求证：． (2)若连接，交于点，则，有何关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)且平分   见解析 【分析】（1）如图，连接，利用三角形中位线定理证得结论； （2）利用全等三角形的判定定理证得，则其对应角相等：，由等腰“三线合一”的性质推知且平分． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，分别为，的中点， 是的中位线， ． 同理可得是的中位线， ， ． （2）且平分．理由如下： 如图，连接，交于点． ，， ． 在与中， ， ， 又∵， 且平分． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，掌握上述知识点是解题的关键． 15．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键． 通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边形对边相等． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴． ∵，分别是对角线，的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”． 16．如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【详解】证明：连接， ∵四边形各边中点分别是E、F、G、H， 是的中位线，是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长， 故选：D． 2．（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，是正六边形对角线上的两点，若添加下列选项中的一个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判断A选项；．证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判断B选项；连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断C选项；不能证明与全等，则可判断D选项． 【详解】解：连接交于点， ，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A选项不符合题意， ，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； 正六边形， ， 和是等边三角形， ， 又， ， 四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； ，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是构造中位线，将转化为直角三角形的斜边计算． 取中点，连接，利用中位线定理得的长度与位置关系，再用勾股定理求． 【详解】解：取的中点，连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 又， ，即． 在中，由勾股定理得： ． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在锐角等腰中，，，分别是边，上的动点，连接．若，，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过构造平行四边形将转化为，利用等腰三角形三线合一、平行线判定，结合面积公式求高，再根据垂线段最短确定的最小值（即的最小值）． 【详解】解：过点作于，过点作，过点作交于，作射线，过点作于，    ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为垂直于的定直线，直线，间的距离为， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短的性质，熟练掌握“通过构造平行四边形转化线段长度，利用等腰三角形三线合一和平行线性质确定最小值”是解题的关键． 7．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质； （1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可； （2）要使面积最大，值则要最大，则的值要最大，故当时最大，求出面积即可． 【详解】解：（1）点P，N是，的中点， ， 点P，M是，的中点， ， ∵， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， 故， 故答案为：； （2）由（1）可知为等腰直角三角形， 则， 最大时，面积最大，即最大时，面积最大， 点在的延长线上， ， ， ∴面积的最大值； 故答案为：． 三、解答题 8．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性． （1）由平行四边形的中心对称性可得， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，由平行四边形对边平行可得，，由此可证，即可得出结论； （2）由可得，由可得，再由平行四边形的中心对称性可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点是平行四边形的对称中心， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上． 四边形是平行四边形， ． ， ． 又， ． ． （2）解：， ． ， ． ． ． ． 9．（24-25八年级上·河南南阳·月考）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 10．（24-25八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为1 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 11．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 12．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点． (1)尺规作图：作的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连结、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，证明四边形是平行四边形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用尺规作的垂直平分线即可； （2）通过证明四边形有一组对边平行且相等，来证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线交于点F， 点F即为所求作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是上的中点，点F是上的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵， 延长交于，连接， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，在四边形中，且，连接，交于点．求证：为中点； （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论； （2）延长，交于点，证明，推出 ，再证明即可解决问题． 【详解】证明：（1），， 四边形是平行四边形． ． 为中点． 如图2，延长，交于点， 在四边形中，， ． ∵点是的中点， ∴ 在和中， ， ． ． 是的平分线， ． ． ． ， ． 16．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中．连接，M为的中点，连接，求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，则；再由三角形中位线定理即可得到； （2）延长到N，使得，连接，由三角形中位线定理可得；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：如图所示，延长到N，使得，连接， ∵M为的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $