精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中数学试卷

2026复旦附中高一下期中数学试卷 试卷结构： 填空 12 题 + 选择 4 题 + 解答 5 题 考试时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、填空题 (第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分， 共 54 分) 1. 已知 ，若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：，解得. 2. 函数的最小正周期是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期. 【详解】，所以函数的最小正周期. 故答案为： 3. 当函数 取到最大值时， 的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，即，. 4. 若复数满足(为虚数单位)，则的虚部为______． 【答案】 【解析】 【详解】由得， 所以的虚部为. 5. 函数 的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式下被开方数非负及分母不为0可得. 【详解】由题意，解得，所以. 6. 在中，角所对的边分别为，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】，，， 由余弦定理得， ，或（舍去）， 的面积. 故答案为： 7. 已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 8. 在平面直角坐标系中，点． 将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意得 ， 所以 在 方向上的数量投影为 . 9. 在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，可得，由得，设，，代入，然后根据三角函数的辅助角公式直接得最大值. 【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 则， 又，所以 ， 设，， 则， 所以的最大值是. 10. 在四边形 中，若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的线性运算即可求解. 【详解】由题意得： . 11. 已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，又根据函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，进而得的范围，最后验证即可求解. 【详解】由题意得： ，所以，解得， 又，所以， 又函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点， 由 ，所以， 当时，， 所以，所以在区间上无最大值点，不满足题意； 当时，， 所以，所以在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，满足题意， 当时，，所以， 所以在区间上无最大值点，有最小值点，不满足题意， 当时，，所以， 所以在区间上有最大值点，有最小值点，不满足题意， 当时，在区间上有最大值点，有最小值点，不满足题意， 所以. 12. 已知函数 的部分图象如图所示，过 的直线交图象于 两点，若 且 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】把图象向左平移，使得点平移到原点，使得问题简化，在新坐标系中，函数解析式变为，可设，则，且，代入求出后可得. 【详解】把图象向左平移，使得点平移到原点，如下图，则函数解析式变为，两点的纵坐标不变， 由于，在新坐标系中，设，则，且， 所以，即 ， ，解得（舍去）， 所以. 二、选择题 (第 13-14 题每题 4 分， 第 15-16 题每题 5 分， 共 18 分) 13. 复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，故对应的点在第二象限. 14. 设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】 是钝角时， ，必要性满足， 是平面向量的一组基底，则 ， 时， ， 时， ，充分性也满足， 所以应为充要条件. 15. 已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作直线，分别延长交直线于点，则在直线上的射影在线段上，利用数量积的定义可得结论. 【详解】是正六边形，则， 所以， ，则， 过作直线，则，分别延长交直线于点， 则是矩形，， 作于，由图可知，当在正六边形的边上移动时，在线段之间移动， ， 又由向量夹角定义知， ， 当在线段时，，当在线段时，， 所以. 16. 已知函数 在区间 上有且仅有 3 个零点．给出下面两个说法： ①函数 在区间 上单调递增； ② 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则其在区间 上有且仅有 2 条对称轴． 下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】D 【解析】 【详解】若，则. 由函数  在区间  上有且仅有 3 个零点，得 ， 解得. 若，则， 又，所以函数  在区间  上先单调递增，后单调递减，所以①错误； 将  的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所以， 若，则. 因为，所以， 所以成立，可能成立， 所以函数  的图象，在区间  上可能有 3 条对称轴． 所以②错误. 三、解答题 (共 78 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． （1）若为实数，求实数 的值； （2）若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算结合复数的概念即可求解； （2）设，由得，再由，即可解出，进而求解. 【小问1详解】 由 ， 又因为为实数，所以，解得； 【小问2详解】 设，所以 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点为 由 ， 又 ，所以， 所以， 又，所以 ，即， 解得，又，所以， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以. 18. 平面向量 ，函数 ． （1）若 ，求 的值域； （2）设函数 ． 若 是偶函数，求 的单调增区间． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，并利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简，然后根据已知范围，结合正弦函数性质得出结论； （2）由图象变换写出的表达式，并由偶函数性质求得，得函数式，然后结合余弦函数的单调性求得结论. 【小问1详解】 由已知 ， 时，，所以， 所以，即值域为； 【小问2详解】 由（1）知， 因为是偶函数，所以， 又，所以， 所以， 由，，得，， 所以所求增区间是，. 19. 如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】（1）海里 （2）巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【小问1详解】 根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； 【小问2详解】 因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 20. 对任意两个非零向量 ，定义： ． （1）若向量 ，求 的值，并求 在 方向上的投影； （2）若单位向量 , 满足 ，求 的值； （3）在 中，设 ，若 ，判断 的形状并说明理由． 【答案】（1）， 在 方向上的投影为； （2） （3）等边三角形 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，再根据投影的定义计算投影； （2）利用新定义求得，再根据向量夹角的余弦公式计算； （3）记，把新定义化为数量积，结合余弦定理得出，即，设，利用三个分子相加等于0求得，从而可得出结论. 【小问1详解】 ，， 所以， 在 方向上的投影是； 【小问2详解】 由， 解得， 所以； 【小问3详解】 记 ， 由题意 ， ， ， 因为，所以， 所以， ，可得， 由余弦定理，，即， 设，则， 三式相加得，所以， 将其代入各式，可得，即是等边三角形. 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？并说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的关联函数”，若方程在上至少有26个根，求的最小值； （3）已知函数和的定义域都为．当时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解． 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有．取即可得到矛盾． （2）由的偶性和周期性，先确定时，从而 ．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第26个解的位置． （3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可． 【小问1详解】 假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得 取，则 ，矛盾． 故不存在这样的函数． 【小问2详解】 因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以 ． 由，得．当时， ． 令，得，所以或． 当时，或 ，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为 故的最小值为． 【小问3详解】 由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得；若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得 因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026复旦附中高一下期中数学试卷 试卷结构： 填空 12 题 + 选择 4 题 + 解答 5 题 考试时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、填空题 (第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分， 共 54 分) 1. 已知 ，若 ，则 ______． 2. 函数的最小正周期是_____________． 3. 当函数 取到最大值时， 的值为______． 4. 若复数满足(为虚数单位)，则的虚部为______． 5. 函数 的定义域为______． 6. 在中，角所对的边分别为，则的面积为__________. 7. 已知复数和复数满足（为虚数单位），则__________. 8. 在平面直角坐标系中，点． 将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为______． 9. 在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______． 10. 在四边形 中，若 ，则 ______． 11. 已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为______． 12. 已知函数 的部分图象如图所示，过 的直线交图象于 两点，若 且 ，则 ______． 二、选择题 (第 13-14 题每题 4 分， 第 15-16 题每题 5 分， 共 18 分) 13. 复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数 在区间 上有且仅有 3 个零点．给出下面两个说法： ①函数 在区间 上单调递增； ② 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则其在区间 上有且仅有 2 条对称轴． 下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题 (共 78 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． （1）若为实数，求实数 的值； （2）若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 18. 平面向量 ，函数 ． （1）若 ，求 的值域； （2）设函数 ． 若 是偶函数，求 的单调增区间． 19. 如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 20. 对任意两个非零向量 ，定义： ． （1）若向量 ，求 的值，并求 在 方向上的投影； （2）若单位向量 , 满足 ，求 的值； （3）在 中，设 ，若 ，判断 的形状并说明理由． 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？并说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的关联函数”，若方程在上至少有26个根，求的最小值； （3）已知函数和的定义域都为．当时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $