上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

复旦大学附属中学2024学年第二学期 高一年级数学期中考试试卷（A卷) 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非 选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第16题每题4分，第7一12题每题 5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果 1.函数y=sinx·cosx的最小正周期为 2.设i是虚数单位，若复数z满足(1+i)z=1,则Rez= 3.把5sina+12cosa化成Asin(a+p)(A>0,pe[0,2π)）的形式，则常数p的值 为 (结果用反三角符号表示) 4.若cos(2025r-a)=3则cos2a= 5。在平面直角坐标系xOy中，点A化，V月)，将向量OA绕原点O逆时针旋转3江得到向 4 量OB,则OB在OA方向上的投影向量的坐标为 6.将函数y=si血2x的图像向右平移元个单位得到函数y=g()的图像，则函数y=g() 的单调增区间为 7。已知f网=2sm(2025x+周引4是函数y-代因的最大值。若存在实数小为：使 得对任意实数x总有f(:)≤f(x)≤f(x)成立，则Ax-x的最小值为 8.已知圆O的内接四边形ABCD的边长依次为AB=7、BC=15、CD=20、DA=24, 则圆O的面积为 9.已知平面向量a、万、满足问-例=ac=2,且邮+6-式 对任意实数入都 成立，则5-(a+c的最小值为 10已知=油8x+5 o(@o>0,}/月)-0，且函数y=f在 区间 云君}上是单调数。则的值为 扫描全能王创建 11.已知向量m=(a+cosx,1),n=(-l,a+cosy),若存在xyeR,使得ml∥n,则实数a的 取值集合为】 12.若对于向量a,存在与向量a在同一平面上的单位向量g、e2,使得 ā-(6+g23,-(日-6≥4，则日的最小值为 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13一14题每题4分，第15一16题每 题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13.设a、b为非零向量，则“存在1>0，使得a=1b"是“a,b>0的( )条件」 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 14.古希腊数学家帕普斯(Pappus)利用如图所示的几何图形，由OC=OD+CD直观 简洁地证明了当必、阝为锐角时的一个三角函数公式，这个公式为( A.cos(a+B)=cosacos B-sinasin B B.cos(a-B)=cosacosB+sinasin B C. sin(a-B)=sinacos B-cosasin B D.sin(a+B)=sinacosB+cosasin B 15.已知函数y=sinx+cosx的定义域为[a,b小，值域为[-l,V2],则b-a的取值范围 为( [ 割 B. 16.某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD),路的一侧划有 20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形AEFG).由于停车位不足，高峰期时段道路拥 堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通 道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所 示).若绿化带被压缩的宽度AM为3米，停车位相对道路倾斜的角度∠EAM=日，其中 按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为(). 绿化带 绿化带 G E 汽车通道 汽车通道 B B 图1（改造前） 图2（改造后） A.6 B.7 C.8 D. 9 扫描全能王创建 号规定区域内写出必要的步骤。 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知向量a=(3,2),b=(x,-1) (1)当(a+26)1(2a-)且x>0时，求实数x的值： (2)当c=(-8,-),a∥（仿+d),求向量a与i的夹角a. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点O,始边与x轴的正半轴重合， 终边经过点P(1,2) (1)求ta 2a+到的值 (2)若a、B为锐角，且sin(a+P)=5,求cosB的值 19。(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着 类似冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB=元，线段AB=22,弓形花园上一点M,其 中∠MB=∠MBA=F, o4=00得》 “冰淇淋”设计图 B (1)将线段OA、OB的长度a、b分别用含有8的代数式表示出来； (2)现准备在M点处修建喷泉，求点M与点O距离的最大值以及对应的B的值. 扫描全能王创建 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设OM,ON是平面上的两条射线，其中∠MON=ax(0<a<元)，e1、e2分别是与 OM、O示同向的单位向量，以射线OM、ON分别为x轴、y轴的正半轴，建立的平面坐 标系xOy称为a-仿射坐标系.在a-仿射坐标系中，若OP=xe,+ye2,则记 OP=(x,y). (1)在a-仿射坐标系中，若a=(m,),求日（用含m,儿，a的代数式表示）： (2)在a-仿射坐标系中，若a=(-l,3),石-(-3，)，且ā与6的夹角为号，求 cosa的值： (3)在工-仿射坐标系中，如图所示，点B、C分别在 x轴、y轴正半轴上运动， BC=1,OD-T0C, 10 E E、F分别为BD、BC中点，求OE.OF的最大值. B 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设y=f(x)和y=g(x)都是定义域为R的函数.若对任意的x∈R，均有 cos(f(x)>sin(g(x),则称函数y=f(x)“三角优于函数y=g(x) (1)如果f(x)=C(C为常数)，且对于任意的实数A∈ 函数y=f(x) “三角优于”函数y=Acosx,求满足上述条件的函数y=f(x)的表达式（写出一个即可）： (2)试问：函数y=cosx是否“三角优于”函数y=sinx?请说明理由； (3)若a、b为常数，且使得函数y=asinx“三角优于”函数y=bcosx, 证明：a2+b< 4 扫描全能王创建