精品解析：广东佛山市南海科学高中2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

南海科学高中2028届高一年级第二学期数学学科第一次统测 命题人：曾文科 审核人：蒲少珊 一､单选题（以下题目每题只有一个正确答案，请将正确答案填入答题卷指定位置，每题5分，共40分） 1. 若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】 故选：A． 2. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 3. 设是的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A. 与的长度相等 B. C. 与一定相等 D. 是的相反向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相反向量的定义判断即得. 【详解】由是的相反向量，得与的长度相等，，是的相反向量，ABD正确； 当不是时，与不相等，C错误. 故选：C 4. 计算：（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由两角和的余弦公式得. 故选：D 5. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 6. 设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2或4 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解. 【详解】因为， 化简得， 即，又，， 所以. 8. 对于集合和常数，集合其相对常数的“余弦方差”定义为：.若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题意 . 二､多选题（以下题目每题有多个正确答案，请将正确答案填入答题卷指定位置，每题6分，共18分，注意若答案含有错误选项不得分，漏选正确选项则无满分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列关于函数的表述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，函数取得最大值2 C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二倍角公式及余弦型函数的性质逐项判断即可. 【详解】. 选项A：，，结合余弦函数的性质可知，在上不单调，故A错误. 选项B：当时，，故B错误. 选项C：的定义域为，， 所以函数是偶函数，故C正确. 选项D：的值域为，所以的值域为，故D正确. 三､填空题（请将正确答案填入答题卷指定位置，每题5分，共15分） 12. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，所以扇形面积是. 13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 又角与的终边关于x轴对称， 所以角的终边经过点，所以. 所以. 14. 已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，根据垂直关系及向量运算画出图形，数形结合求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 如图，设， 则，可得， 则点在以为直径的圆上运动， 由图可得，当时，， 设，则， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 四､解答题（共77分） 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式计算即可. （2）根据二倍角的三角函数公式以及和差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 可得. 【小问2详解】 由二倍角公式得， ∴． 16. 已知. （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积定义直接计算可得结果； （2）计算由向量数量积的运算律直接计算即可求出； （3）根据向量垂直可求得两向量数量积，再求出夹角余弦值可得夹角. 【小问1详解】 若，则与的夹角为或， 所以或， 即或； 【小问2详解】 易知 ； 所以. 【小问3详解】 若，则，即， 所以，即， 所以，又， 所以. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的解析式及单调递增区间； （3）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再由正弦函数的性质计算可得； （3）利用三角恒等变换公式化简，再由的范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设该函数的最小正周期为，所以有， 所以，因为，所以，解得， 即函数， 又，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以； 【小问2详解】 依题意将函数图象向左平移个单位长度， 得到， 将图象上每个点的横坐标变为原来的，可得 令，解得 所以的单调递增区间为； 【小问3详解】 因为 . 因为，所以，所以， 所以，即函数在上的值域为. 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角转化，再应用余弦定理求解即可； （2）选条件①先应用面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；选条件②先应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理结合余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， ， ． 【小问2详解】 若选条件①： ∵的面积，，， ， ， 为的中点，， 在中，， ． 若选条件②： ， 由正弦定理得，， ，解得或（舍）， 为的中点，， 在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海科学高中2028届高一年级第二学期数学学科第一次统测 命题人：曾文科 审核人：蒲少珊 一､单选题（以下题目每题只有一个正确答案，请将正确答案填入答题卷指定位置，每题5分，共40分） 1. 若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 3. 设是的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A. 与的长度相等 B. C. 与一定相等 D. 是的相反向量 4. 计算：（    ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2或4 B. 3 C. 5 D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 对于集合和常数，集合其相对常数的“余弦方差”定义为：.若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二､多选题（以下题目每题有多个正确答案，请将正确答案填入答题卷指定位置，每题6分，共18分，注意若答案含有错误选项不得分，漏选正确选项则无满分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 11. 下列关于函数的表述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，函数取得最大值2 C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 三､填空题（请将正确答案填入答题卷指定位置，每题5分，共15分） 12. 已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是__________. 13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 14. 已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 四､解答题（共77分） 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知. （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的解析式及单调递增区间； （3）求函数在上的值域. 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $