广东省佛山市南海区南海中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段考试数学试题

第 1 页 共 4 页 南海中学 2024～2025 学年度第二学期高一年级数学科 第一次阶段考考试 命题人：罗思明 审题人：陈奕佳 ★祝同学们测试顺利★ 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必填写答题卷上的相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内； 如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以 上要求作答的答案无效. 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一．单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请把正确选项的序号填在括号内) 1. 已知 ( )2,3A − ， ( )1, 2B − ， ( )1, 1C − ，则 AB BC+ =（ ） A． 5 B． 2 5 C．5 D．3 5 2. 已知向量 ( )2,3a = − ， ( ),6b m= ，若a b⊥ ，则m =（ ） A． 9− B． 4− C．4 D．9 3. 要得到 π cos 3 3 y x   = +    的图象，只需将 cos3y x= 的图象（ ） A．向左平移 π 3 个单位长度 B．向右平移 π 3 个单位长度 C．向左平移 π 9 个单位长度 D．向右平移 π 9 个单位长度 4．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 4BC BD= ，E 是线段 AB 的中点，则DE =（ ） A． 1 1 4 4 AC AB− − B． 1 3 4 4 AC AB− C． 1 1 4 4 AC AB+ D． 1 3 4 4 AC AB− + 5．设函数 y m= 与函数 sin , cos , tany x y x y x= = = 的图象在 π 0, 2       内交点的横坐标依次是 1 2 3x x x､ ､ ，且 ( )1 2 3 1 sin 2 2 x x x+ + = ，则实数m =（ ） A． 2 2 B． 1 2 C． 3 3 D． 1 3 6．已知向量 ( )2,6a = ， ( ), 4b x= ，若a b− 与b 的夹角为锐角，则 x 的取值范围为（ ） A． ( )2,4− B． ( )4,2− C． 4 4 2, , 4 3 3     −        D． 4 4 4, , 2 3 3     −        第 2 页 共 4 页 7．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的 一个几何图形，其中 AB BC⊥ ， AC AD⊥ ， 2AB BC= = ， AD AC= ，若 BD xAC yAD= + ，则 xy =（ ） A． 3 4 B． 3 4 − C． 3 2 D． 3 2 − 8．如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台 M处，M到楼地面底部点 N的 距离MN 为 ( )40 2 3 m− ，假设电视塔底部为 E 点，塔顶为 F 点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点 P，且 E，N，P 三点共处同一水平线，在 P 处测得阳台 M处、电视塔顶F 处的仰角分别是 15 = 和 60 = ， 在阳台 M处测得电视塔顶 F 处的仰角 45 = ，假设EF ，MN 和点 P 在同一平面内，则小明测得的电视塔 的高EF 为（ ） A．120m B．90m C．40 3m D． ( )80 3 120 m− 二．多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目 要求的，部分选对得部分分数，选错不得分) 9．下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A． ( )3, 2m = − ， ( )4,1n = B． ( )2,3m = − ， ( )4, 6n = − C． ( )2,0m = ， ( )0,3n = D． ( )1,3m = − ， ( )2,6n = − 10．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知 ABC 是以BC 为 斜边的等腰直角三角形， 4BC = ，分别以 AB ， AC 为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形， P 是 两个半圆弧上的动点，则BP BC 的值可能是（ ） A． 4− B．1 C．8 D．18 第 3 页 共 4 页 11．在 ABC 中，内角 A， B ，C 所对的边分别为a，b ， c，下列与 ABC 有关的结论，正确的 是（ ） A．若 2a = ， 60A = ，则 2 4 3 sin 2sin 3 b c B C + = + B．若 ABC 是锐角三角形，则sin cosA B C．若 cos cosa A b B= ，则 ABC 一定是等腰三角形 D．若 ABC 为非直角三角形，则 tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = 三.填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若向量a ，b 满足 6a b = ， ( )2,1b = ，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是 . 13．已知 ，  都是锐角，且 ( ) 3 sin 5  − = ， ( ) 6 cos 3  + = − ，则 ( )sin 3 − = . 14．已知平面向量a ，b ， c满足 | | 1a = ， | |b x= ， | | 1c x= + ，其中 2x  ，且3 0a b c+ + = ，则a c 的最大 值是 . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 已知向量a ，b 满足 2a = ， ( )3, 3b = − . （1）若a ，b 同向，求a 的坐标； （2）若 2 2 7a b− = ，求a ，b 的夹角. 16．（15 分） 如图，在 ABC 中， 3, 4, 60AB AC A= =  = ，点 ,D E 满足 2 , 2 ,AD DB AC CE AC= = 边上的中线 BM 与DE 交于点O．设 ,BD a CE b= = ． （1）用向量 ,a b 表示 ,BM DE ； （2）求 MOE 的大小． 第 4 页 共 4 页 17．（15 分） 记 ABC 内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 2 2 2 2 sin cos , 3 2 C B a b c ab= + − = ， （1）求 B ； （2）若 2 2c = ，求 ABC 的面积． 18．（17 分） 已知函数 ( ) ( )sin 0, 0, 2 2 f x A x A         = +   −      的部分图像如图所示，且 ( )0, 1D − ， ABC 的 面积等于 π 2 . （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）将 ( )f x 图像上所有的点向左平移 π 4 个单位长度，得到函数 ( )y g x= 的图像，若对于任意的  1 2, π ,x x m m − ，当 1 2x x 时， ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x g x g x−  − 恒成立，求实数m 的最大值. 19．（17 分） 类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系:设数轴 x、 y 的交点为O，与 x、 y 轴正方向同向的单位 向量分别是 i 、 j ，且 i 与 j 的夹角为 ，其中 0, , 2 2                  ，由平面向量基本定理:对于平面内的向 量OP ，存在唯一有序实数对 ( ),x y ，使得OP xi yj= + ，把 ( ),x y 叫做点 P 在斜坐标系 xOy中的坐标，也叫 做向量OP 在斜坐标系 xOy中的坐标，记为 ( ),OP x y= ，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平 行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式 定义，如 45 = 时，方程 1 3 2 3 x y+ + = 表示斜坐标系内一条过点 ( )1, 3− − ，且方向向量为 ( )2,3 的直线． （1）若 45 = ， ( )1 1,a x y= ， ( )2 2,b x y= ，求a b ； （2）若 45 = ，已知直线 : 2 2l y x= − , 求 l的一个法向量.