04-第二十四章质量评估-【全效学习】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（人教版）
2026-05-06
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教辅
摘要：
该初中数学九年级上册第二十四章圆的单元复习资料，系统梳理了圆的基本性质、位置关系、切线判定与性质、圆周角定理、弧长及扇形面积计算等核心知识，通过例题解析和证明过程串联知识点间的逻辑联系，如切线性质与圆周角定理结合、内接四边形性质与圆心角关系等，帮助学生构建完整的圆知识体系。
其亮点在于融入现实情境如高铁转弯的圆曲线问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过几何证明题如切线判定发展推理能力（数学思维），用规范几何语言表达证明过程（数学语言）。题目分层设计从基础选择到综合解答题，满足不同学生需求，助力知识巩固，教师可借此精准把握学情提升复习效率。
内容正文：
第二十四章质量评估
数学九年级上册 [RJ版]
1
［时间:120分钟 分值:120分］
一、选择题（共10个小题,每小题3分,共30分）
1.已知点在外,,那么 的半径可能为( )
A
A. B. C. D.
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2.如图,点,,在上,连接,,, .若
,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
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3.如图,是的弦,若的半径,圆心 到弦
的距离,则弦 的长为( )
C
A.4 B.6 C.8 D.10
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4.如图,,是的切线,,为切点, 是
的直径, ,则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
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5.如图,是的直径,,是 上的两点.若
,则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
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6
6.如图,等边三角形的顶点在上,边,
与分别交于点,,是上一点,且与点, 不
重合,连接,,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
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7.中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设
的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的
圆曲线（即圆弧）,高铁列车在转弯时的曲线起
点为,曲线终点为,过点, 的两条切线相交于
点,列车在从点到点行驶的过程中转角 为
.若圆曲线的半径 ,则这段圆曲
线 的长为( )
B
A. B. C. D.
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8.如图,在边长为2的正方形中,是以 为直
径的半圆的切线,则图中阴影部分的面积为( )
D
A. B. C.1 D.
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9.如图,是的直径,弦平分,过点 的
切线交于点, ,则下列结论错误的
是( )
C
A. B.
C. D.
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10.如图,是的内切圆,若 的周长为
18,面积为9,则 的半径为( )
A
A.1 B. C.1.5 D.2
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二、填空题（共6个小题,每小题3分,共18分）
11.一个扇形的圆心角为 ,弧长为,则扇形的半径为___ .
3
12.如图,在中,弦垂直平分半径,垂足为 .若
的半径为2,则弦 的长为_____.
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13.如图,已知的半径为2,是 的弦.若
,则劣弧 的长为___.
14.如图,与相切于点,与 相交
于点,点在上,且与点, 不重合.若
,则的度数为____ .
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15.如图,是矩形的外接圆.若 ,
,则图中阴影部分的面积为_ ________.
16.如图,在中,,,点在
上,以点为圆心,长为半径的圆与 相切于
点,是边上的动点.当 为直角三角形
时, 的长为_ ____.
或
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三、解答题（共9个题,共72分）
17.（6分）如图,为的直径,点在上,与过点 的切线
互相垂直,垂足为.连接并延长,交的延长线于点 .求证:
.
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证明：如答图,连接 .
第17题答图
为切线, .
,, ,
, ,
, .
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18.（6分）如图,的半径,于点 ,
.求:
（1）弦 的长;
解：的半径,, ,
, ,
, .
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（2） 的长.
解：, , .
,的长为 .
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19.（6分）如图,在的内接四边形中,, .
若点在上,求 的度数.
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解：如答图,连接 .
第19题答图
四边形 是圆内接四边形,
,
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.
, ,
.
四边形 为圆内接四边形,
,
.
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20.（8分）如图,某地新建的一座圆弧形的拱桥,正常水位时,水面宽
为,拱高为 .今年夏季汛期受上游涨水影响,水位持续
上涨到达警戒水位,求此时水面 的宽度.
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解：由题意,知, .
设,则 .
在中,根据勾股定理,得 ,
解得,则 .
连接（图略）,在 中,
,
,
.
即水位到达警戒水位时,水面的宽为 .
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21.（8分）如图,为的直径,过圆上一点作的切线 交
的延长线于点,过点作交于点,连接.直线 与
相切吗？并说明理由.
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第21题答图
解：直线与 相切.理由如下:
如答图,连接 .
切于点,,即 .
, .
,, ,
.
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在和中,
,
,即 .
为的半径, 直线与 相切.
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22.（9分）如图,在中,, ,以为直径的
与相交于点,为上一点,且 .
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（1）求 的长;
第22题答图
解：如答图,连接 .
,
,
.
, 的半径是2,
的长为 .
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（2）若 ,求证:直线是 的切线.
证明： , ,
.
,
,
直径, 直线是 的切线.
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23.（9分）如图,是的直径,,为 上的点,
且,过点作于点 .
（1）求证:平分 ;
证明：, .
, ,
,平分 .
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（2）若,,求 的半径.
第23题答图
解：如答图,过点作于点 .
, .
, ,
, .
, .
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在和中,
, .
在中, .
即的半径为 .
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24.（10分）如图,已知直线,过直线上一点
作于点,以为直径作,直线与 交
于点,且,连接, .
（1）求证:直线是 的切线;
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第24题答图
证明：如答图,连接 .
,, ,
.
在和中,
,
,即 .
是的半径, 直线是 的切线.
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（2）若的半径为3,且,求 的值.
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解：如答图,过点作于点 .
在和 中,
, ,
,
,
,即 .
在 中,
.
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①
25.（10分）如图①,四边形内接于, 为直
径,过点作,交的延长线于点,连接 .
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（1）求证: .
证明： 四边形是 的内接四边形,
.
为的直径, ,
, .
, , .
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（2）若是的切线, ,连接 ,如图②.
②
①请判断四边形 的形状,并说明理由;
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解：四边形 是菱形.理由如下:
,
, .
是的切线, .
,, .
由（1）知, ,
,
, 四边形 是平行四边形.
, 四边形 是菱形.
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②当 时,求图中阴影部分的面积.
解：由①,知四边形 是菱形,
, .
由①知, .
在中, ,, .
.
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