04 期末复习-专题4 圆（同步学练测）-【全效学习】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（人教版）

这是初中数学九年级上册期末专题复习课件，聚焦“圆”知识，通过垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定等9类题型归类，搭配例题解析、点悟总结及变式训练，结合A组基础达标与B组能力提升的过关训练，搭建系统学习支架。 资料特色突出核心素养培养，如“点悟”提炼勾股定理应用等解题方法培养推理能力，例题融入2023长沙模拟等中考真题强化应用意识，变式训练分层设计发展抽象思维与创新意识。能助力学生掌握圆的综合应用，为教师提供梯度教学资源。九年级学生面临升学考试，本资料覆盖圆的高频考点，通过分层训练巩固基础、提升能力，帮助学生适应中考要求，教师可据此高效开展复习教学。

专题4 圆 数学九年级上册 [RJ版] 1 01 02 题型归类 过关训练 2 01 题型归类 3 一 垂径定理及其推论 例1 如图,的直径,弦, , 垂足为,则 的长为( ) D A.5 B.6 C.7 D.8 【点悟】 在已知直径与弦垂直的问题中,常 连半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半径,两直角边是弦长的一 半和圆心到弦的距离,从而可以运用勾股定理来计算. 专题4 圆 返回目录 4 1.如图,为的弦,为的中点,, , 则 的半径为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 专题4 圆 返回目录 5 二 圆周角定理的综合 例2 如图,为的外接圆的直径,若 ,则 ____. 专题4 圆 返回目录 6 【点悟】（1）在同圆（或等圆）中,圆心角（或圆周角）、弧、 弦中只要有一组量相等,则其他对应的各组量也分别相等,利用这个 性质可以将问题互相转化,达到求解或证明的目的. （2）注意圆中的隐含条件（半径相等）的运用. （3）圆周角定理及其推论是进行圆内角度转化与计算的主要 依据,遇直径,要想到直径所对的圆周角是 ,从而得到直角三角形; 遇弧所对的圆周角与圆心角,要想到同弧所对的圆心角等于圆周角 的2倍以及同弧所对的圆周角相等. 专题4 圆 返回目录 7 2.[2023湘西模拟] 如图,内接于, , 的平 分线交于点.若,,则 的长为___. 8 专题4 圆 返回目录 8 三 点和圆、直线和圆的位置关系 例3 已知的半径为3,点在内,点到圆心的距离为,则 的 取值范围是( ) C A. B. C. D.无法确定 专题4 圆 返回目录 9 3.如图,点,在半径为1的上, ,延长至点 ,过点 作直线的垂线记为 ,则下列说法正确的是( ) D A.当等于0.5时,和 相离 B.当等于2时,和 相切 C.当等于1时,和 相交 D.当不等于1时,和 不相切 专题4 圆 返回目录 10 四 切线的性质 例4 如图,在中,以为直径的交于点,与 的延长线 交于点,的切线与垂直,垂足为 . （1）与 的数量关系是_________; 专题4 圆 返回目录 11 （2）若,,求 的半径. 例4答图 解：如答图,连接, . 是 的直径, , . , . , , . 专题4 圆 返回目录 12 , . , . , , , , 的半径为6. 专题4 圆 返回目录 4.[2023长沙模拟] 如图,以的边为直径作,交边 于点 ,为的切线,弦于点,连接 . 专题4 圆 返回目录 14 （1）求证: ; 证明：为的直径,为 的切线, , . , , . , . 专题4 圆 返回目录 15 （2）若为的中点,且,求线段 的长. 专题4 圆 返回目录 16 变式跟进4答图 解：如答图,连接 . 为的中点, , . , , . 弦于点,为 的直径, . 专题4 圆 返回目录 五 切线的判定 例5 [2023长沙模拟] 如图,为的直径,为上一点, 的平分线交于点,于点 . 专题4 圆 返回目录 18 （1）试判断直线和 的位置关系,并说明理由; 例5答图 解：直线和 相切.理由如下: 如答图,连接 . 的平分线交于点 , . , , , . , . 又是 的半径, 直线和 相切. 专题4 圆 返回目录 19 （2）过点作于点,若 , ,求图中阴影 部分的面积. 解：的平分线交于点, , , , , , , . , 专题4 圆 返回目录 20 , . , , 解得, . . 专题4 圆 返回目录 21 【点悟】 证明某直线为圆的切线时,如果已知直线与圆有公共 点,即可作出过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“作半径,证垂 直”;若不能确定某直线与已知圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段, 证明它到圆心的距离等于半径,即“作垂直,证半径”.证明垂直时,常用 到“直径所对的圆周角是直角”. 专题4 圆 返回目录 22 5.[2023长沙模拟] 如图,是的弦,是外一点,, 交于点,交于点,且 . 专题4 圆 返回目录 23 （1）判断直线和 的位置关系,并说明理由; 变式跟进5答图 解：直线和 相切.理由如下: 如答图,连接 . , , , . , , . 专题4 圆 返回目录 24 , , ,即 . , 过圆心 , 直线和 相切. 专题4 圆 返回目录 （2）若 , ,求图中阴影部分的面积. 解： , , , , , 即 . , . , 专题4 圆 返回目录 26 , . 由勾股定理,得 , 即 , 解得 （负值已舍）, . 专题4 圆 返回目录 六 切线长定理及三角形的内切圆 例6 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作.书中有下 列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何？”其意思是:今有 直角三角形,勾（短直角边）长为8步,股（长直角边）长为15步,问 该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）的直径是多少？( ) C A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 专题4 圆 返回目录 28 【点悟】（1）求证三角形内切圆的问题时,常用到面积法: ,其中为的内切圆半径,,,为 的三条边的长度; （2）已知直角三角形的三边长,,（其中 为斜边）,则内切 圆半径 ; （3）解决三角形与圆相切的问题时,常利用切线长定理及勾股 定理等列方程（组）来求半径. 专题4 圆 返回目录 29 6.如图,在中, , , 是 的内心,延长交的外接圆于点 ,则 的度数是( ) C A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 30 七 弧长的计算 例7 如图,是正三角形,曲线 叫“正 三角形的渐开线”,其中,, 的圆心依次 是点,,,它们依次相连接.若 ,则曲线 的长是____（结果保留 ）. 【点悟】 理解弧长公式中各个量所代表的意义, 是圆 心角的度数,是扇形的半径, 表示弧长. 专题4 圆 返回目录 31 7.[2023沈阳] 如图,四边形内接于, 的半径为3, ,则 的长为____. 专题4 圆 返回目录 32 八 扇形面积的计算 例8 [2023长沙模拟] 如图,在中, , . 以点为圆心,长为半径画弧,与的延长线交于点 ,则图中阴影 部分的面积为__________. 【点悟】 求不规则图形的面积时,常将其转化为易解决的基本 图形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果. 专题4 圆 返回目录 33 8.[2023广元] 如图,半径为5的扇形中, ,是 上一 点,,,垂足分别为,.若 ,则图中阴影部分 的面积为____. 专题4 圆 返回目录 34 九 圆锥的侧面积与全面积 例9 一个圆锥的底面半径,高 ,则这个圆锥的侧面积是 ( ) C A. B. C. D. 【点悟】（1）圆锥的侧面展开图是一个扇形;（2）圆锥的底 面周长是其侧面展开图的弧长;（3）圆锥的母线就是其侧面展开图 所得扇形的半径. 专题4 圆 返回目录 35 9.如图,圆锥的底面半径为,母线长为 ,其侧面 展开图是圆心角为 的扇形,则 的长为( ) A A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 36 02 过关训练 37 1.下列说法不正确的是( ) D A.直径是最长的弦 B.同圆中,所有的半径都相等 C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D.长度相等的弧是等弧 专题4 圆 返回目录 38 2.[2024长沙模拟] 如图,四边形内接于 , 弦.若 ,则 的度数为( ) B A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 39 3.往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以 后,截面如图所示.若水面宽 ,则水的最 大深度为( ) C A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 40 4.已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的 圆心角为 ,则扇形的面积是( ) C A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 41 5.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点为圆心, 为半径的 圆的一部分,是中弦的中点,经过圆心交于点 .若 ,则隧道的高（ 的长）为( ) D A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 42 6.若扇形的圆心角为 ,半径为6,则该扇形的弧长为_ __. 7.如图,的内切圆与三边分别相切于点,,.若 ,则 ____. 专题4 圆 返回目录 43 8.[2024长沙模拟] 如图,已知是的直径,弦,垂足为 , 且 , ,则图中阴影部分的面积为_ ________. 专题4 圆 返回目录 44 9.[2023娄底] 如图,正六边形 的外接圆 的半径为2,过圆心的两条直线, 的夹角为 ,则图中的阴影部分的面积为( ) C A. B. C. D. 专题4 圆 返回目录 45 10.如图,正方形的边长为8,是的中点,是边 上的动点, 连接,以点为圆心,的长为半径作.当与正方形 的边相切时, 的长为________. 3或 专题4 圆 返回目录 46 11.[2023长沙模拟] 如图,在中,弦, 相交 于点,连接, . （1）求证: ; 证明： , , ,即 , . 专题4 圆 返回目录 47 （2）连接,,若,的半径为4,求 的长. 第11题答图 解：如答图,连接, . , , . 由圆周角定理,得 , 的长为 . 专题4 圆 返回目录 48 12.如图①,为的直径,于点,,与 相交 于点 . ① ② 专题4 圆 返回目录 49 （1）求证: ; 证明：为的直径,于点, . , , ,即 , . 专题4 圆 返回目录 50 （2）若,,求 的长; 解：如答图①,连接 . 第12题答图① 由（1）,得, , , . 专题4 圆 返回目录 51 为的直径,于点 , . 设,则 , 在中, , 即 , 解得,的长为 . 专题4 圆 返回目录 52 （3）连接,,如图②,求证: . 第12题答图② 解：如答图②,连接,交于点 . , . 在和中, , 专题4 圆 返回目录 53 , . ,为 的半径, , , , . 专题4 圆 返回目录 55 $