01 期末复习-专题1 一元二次方程（同步学练测）-【全效学习】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（人教版）

这是一份初中数学九年级上册的期末复习课件，共47页，聚焦“一元二次方程”专题。内容分为题型归类与过关训练两部分，涵盖概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用五大题型，每个题型配备例题解析与变式训练，过关训练含基础达标和能力提升层次。 资料特色突出核心素养培养，通过“已知根求系数”例题强化抽象能力与推理意识，如例1强调二次项系数不为0的易错点，应用题结合商场盈利、小区改造等情境培养模型意识与应用意识。分层训练设计助力学生巩固基础、提升能力，为教师提供系统教学资源，有效支持九年级学生升学备考。

专题1 一元二次方程 数学九年级上册 [RJ版] 1 01 02 题型归类 过关训练 2 01 题型归类 3 一 一元二次方程的概念 例1 若关于的一元二次方程 有一个根 是0,则 的值是( ) A A. B.2 C.0 D. 或2 【点悟】 已知一元二次方程的根求未知系数,方法如下:（1） 已知一根,直接代入原方程,得到一个关于待定系数的方程,解方程求 出待定系数的值;（2）已知两根,把两根直接代入原方程,列出关于 待定系数的方程组,解方程组,求待定系数;（3）利用根与系数的关 系求解.注意,求出的待定系数不能使二次项系数等于0. 专题1 一元二次方程 返回目录 4 1.[2024宁乡模拟] 若关于 的一元二次方程 有一个根为0,则 ___. 1 专题1 一元二次方程 返回目录 5 二 一元二次方程的解法 例2 解方程: 解： , , , , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 6 2.用配方法解一元二次方程 ,配方后的方程为 ( ) A A. B. C. D. 专题1 一元二次方程 返回目录 7 3.根据要求解下列方程: （1） （用配方法）; 解：, . （2） （用公式法）; 解：, . （3） （用因式分解法）; 解：, . （4） . 解：, . 专题1 一元二次方程 返回目录 8 三 一元二次方程根的判别式 例3 [2024常宁模拟] 已知关于的一元二次方程 . （1）当该方程的一个根为1时,求 的值及该方程的另一根; 解：设该方程的另一个根为 , 则, , 解得, , 即的值为,方程的另一个根为 . 专题1 一元二次方程 返回目录 9 （2）求证:不论 取何实数,该方程都有两个不等的实数根. 【点悟】 当时,方程 有两个不等 的实数根;当时,方程 有两个相等的实 数根;当时,方程 无实数根.另外,解决这 类问题时必须分清方程是一元一次方程还是一元二次方程,是一元 一次方程有实数解还是一元二次方程有实数解. 证明： , 不论 取何实数,该方程都有两个不等的实数根. 专题1 一元二次方程 返回目录 10 4.已知关于的一元二次方程 有两个不等的 实数根,则 的取值范围为( ) C A. B.且 C.且 D. 专题1 一元二次方程 返回目录 11 5.已知关于的一元二次方程 . （1）求证:方程一定有实数根; 证明： , , 方程一定有实数根. 专题1 一元二次方程 返回目录 12 （2）若此方程有两个不等的整数根,求整数 的值. 解： , , 或 , , . ,为整数,或 . ,,即 , 整数的值为 ,1,2. 专题1 一元二次方程 返回目录 13 四 一元二次方程根与系数的关系 例4 已知关于的一元二次方程 有两个不 等的实数根, . （1）求 的取值范围; 解： 关于的一元二次方程 有两个不等 的实数根, , 解得且 . 专题1 一元二次方程 返回目录 14 （2）若,求 的值. 解：,是方程 的两个实数根, , . ,即 , , . 【点悟】 运用根与系数的关系时,要注意二次项系数不为0和 判别式大于或等于0的前提. 专题1 一元二次方程 返回目录 15 6.已知方程的两根是,,则 的值为 ____. 专题1 一元二次方程 返回目录 16 7.[2024长沙模拟] 已知关于 的一元二次方程 . （1）若方程有实数根,求实数 的取值范围; 解： 关于的一元二次方程 有实数根, , 解得 . 专题1 一元二次方程 返回目录 17 （2）若方程两实数根分别为,,且满足,求实数 的值. 专题1 一元二次方程 返回目录 18 解：, , . , ,即 , 解得或 . , 的值为2. 专题1 一元二次方程 返回目录 19 五 一元二次方程的应用 例5 [2024长沙模拟] 商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利 50元,为了促销,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品 每降价1元,商场平均每天可多售出2件. （1）若某天该商品每件降价4元,当天可获利多少元？ 解： （元）. 答:某天该商品每件降价4元,当天可获利1 748元. 专题1 一元二次方程 返回目录 20 （2）为了减少库存,又要使商场日盈利达到2 100元,则每件商品应 降价多少元？ 解：设每件商品应降价 元. 根据题意,得 , 整理,得 , 解得, （舍去）, 答:每件商品应降价20元. 专题1 一元二次方程 返回目录 21 8.如图,在一块长为,宽为 的矩形荒地上,要建造一个花园 （阴影部分）,使得花园的面积为荒地面积的 ,小明设计出如图所示 的方案,则图中 的值为____. 10 专题1 一元二次方程 返回目录 22 02 过关训练 23 1.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项 分别为( ) B A.4,,5 B.4,, C.4,5, D.4,, 专题1 一元二次方程 返回目录 24 2.把方程配方成的形式,则, 的值分 别是( ) A A., B., C., D., 专题1 一元二次方程 返回目录 25 3.若一元二次方程有两个不等的实数根,则实数 的 取值范围是( ) D A. B. C. D. 专题1 一元二次方程 返回目录 26 4.有 支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则 下列方程符合题意的是( ) A A. B. C. D. 专题1 一元二次方程 返回目录 27 5.已知关于的一元二次方程 的一个实数根为2,则 另一个实数根及 的值分别为( ) D A.4, B., C.4,2 D. ,2 专题1 一元二次方程 返回目录 28 6.如图,一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,它的长为,宽为 . 如果地毯中央长方形图案的面积为 ,那么花边的宽是 ( ) B A. B. C. D. 专题1 一元二次方程 返回目录 29 7.解一元二次方程 时,可转化为解两个一元一次方程, 请写出其中的一个一元一次方程:______________________. 8.若将配方成的形式,则 ___. 9.若关于的方程的两根分别是,,且 , 则 ___. 或 2 专题1 一元二次方程 返回目录 30 10.用适当的方法解下列方程: （1） ; 解：, , , , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 31 （2） ; 解： , , , , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 32 （3） ; 解： , , , , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 33 （4） . 解： , . ,, , , . , . 专题1 一元二次方程 返回目录 34 11.已知是关于的方程 的一个根,并且这个方 程的两个根恰好是等腰的两条边的长,则 的周长为 ( ) B A.10 B.14 C.10或14 D.8或10 12.已知,是关于的方程的两个实数根,, 满 足,且 . （1） 的值为___; 专题1 一元二次方程 返回目录 35 （2）不解方程,求 的值. 解：当时,原方程为 , ,,, , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 36 13.[2024长沙模拟] 为建设美丽城市,改造老旧小区.某市2021年投入 资金1 000万元,2023年投入资金1 440万元.现假定每年投入的资金 年增长率相同. （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率. 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 . 根据题意,得 , 解得, （不符合题意,舍去）. 答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 . 专题1 一元二次方程 返回目录 37 （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元,2024年为提 高老旧小区品质,每个小区改造费用增加 .如果投入资金的年平均 增长率保持不变,那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：设该市在2024年可以改造 个老旧小区. 根据题意,得 , 解得 , 的最大值为12. 答:该市在2024年最多可以改造12个老旧小区. 专题1 一元二次方程 返回目录 38 14.某地园林部门计划在某公园建一个长方形花圃 ,花圃的一面 靠墙（墙足够长）,另外三边用木栏围成,如图①, ,建成后 所用木栏总长 .在图①总面积不变的情况下,该园林部门在花圃 内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路,如图 ②,小路的宽度是正方形网红打卡点边长的 ,其余部分种植花卉,花卉 种植的面积为 . ① ② 专题1 一元二次方程 返回目录 39 （1）求长方形花圃 的长和宽; 解：设 , . 根据题意,得 , 解得 , , . 答:长方形花圃的长为,宽为 . 专题1 一元二次方程 返回目录 40 （2）求网红打卡点的面积. 解：设网红打卡点的边长为 . 根据题意,得 , 解得, （舍去）, 网红打卡点的面积为 , 答:网红打卡点的面积为 . 专题1 一元二次方程 返回目录 41 15.（1）若关于的一元二次方程,, 为常数, 的两个实数解为,,则有, .这个结论 课本上称为一元二次方程根与系数的关系,因为是法国数学家韦达 发现的,人们又称它为“韦达定理”.请你证明这个定理. 证明： 关于的一元二次方程,, 为常数, 的两个实数解为, , , , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 42 （2）若一元二次方程的两个实数解为, ,求 的值. 专题1 一元二次方程 返回目录 43 解：一元二次方程的两个实数解为, , , , , . 专题1 一元二次方程 返回目录 44 （3）若关于的一元二次方程 的两个 实数解为,,求 的最小值. 解：关于的一元二次方程 的两个实 数解为, , , . 又, , 专题1 一元二次方程 返回目录 45 . , 当时,有最小值,最小值为 . 专题1 一元二次方程 返回目录 47 $