02 期末复习-专题2 二次函数（同步学练测）-【全效学习】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（人教版）

这是一份初中数学九年级上册二次函数专题课件，围绕期末复习构建学习支架，包含题型归类（图象性质、平移等六类题型及例析、变式训练）和过关训练（A组基础达标、B组能力提升），共77页内容。 资料特色突出，以核心素养为导向，通过例析二次函数最值求法培养推理能力（数学思维），结合销售利润、大棚设计等实际问题发展模型意识（数学语言），变式与分层训练提升抽象能力与创新意识（数学眼光），能帮助学生系统巩固知识，为教师教学提供结构化资源。 九年级学生面临升学考试，二次函数是中考重点，资料通过系统题型梳理和针对性训练，助力学生掌握核心考点，提升解题能力。

专题2 二次函数 数学九年级上册 [RJ版] 1 01 02 题型归类 过关训练 2 01 题型归类 3 一 二次函数的图象和性质 例1 已知二次函数的图象的对称轴为直线 , 函数的最大值为4. （1）求, 的值; 专题2 二次函数 返回目录 4 解： 二次函数的图象的对称轴为直线 , ,且当 时,该函数取得最大值, , . 将代入 , 得 , . 专题2 二次函数 返回目录 5 （2）直线与抛物线 的图象交于 和两点,求, 两点的坐标. 解：由（1）可得二次函数的解析式为 . 令 , 整理,得 . , , , 专题2 二次函数 返回目录 6 解得 . 将代入 , 解得 . 将代入 , 解得 . 点的坐标为,点的坐标为 . 专题2 二次函数 返回目录 1.关于函数 的图象,有下列说法:①对称轴为直线 ;②抛物线开口向上;③图象经过原点;④从图象可以判断出, 当时,随着 的增大而减小.其中正确的是( ) C A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 专题2 二次函数 返回目录 8 2.[2024长沙模拟] 已知二次函数与 轴交 于点,,且 . （1）若,求 的值; 解： , , , 抛物线的解析式为 . 抛物线的解析式为 , , . 专题2 二次函数 返回目录 9 （2）在（1）的条件下,若该函数在时,有最小值 ,求该 二次函数的解析式. 解：由（1）得 , 抛物线的对称轴为直线 . 该函数在时,有最小值 , 若 , 当时,有最小值 , 专题2 二次函数 返回目录 10 ,即 , 该二次函数解析式为 ; 若 , , 此时当时,有最小值 , ,解得 , 该二次函数解析式为 . 综上所述,该二次函数解析式为 或 . 专题2 二次函数 返回目录 二 二次函数图象的平移 例2 将抛物线 向右平移 1个单位长度,再向上平移1个 单位长度,所得抛物线的解析式为 ( ) C A. B. C. D. 【点悟】 二次函数图象的平移,实质上是顶点位置的变化,只要 确定平移前、后的顶点坐标,就可以确定平移后抛物线的解析式. 专题2 二次函数 返回目录 12 3.将抛物线先向右平移 1个单位长度,再关于 轴作 轴对称变换,则此时抛物线的解析式为( ) A A. B. C. D. 专题2 二次函数 返回目录 13 三 二次函数与一元二次方程或不等式的关系 例3 [2023长沙模拟] 已知二次函数 的图象经过点 . （1） 的值为___; 专题2 二次函数 返回目录 14 （2）方程 是否有实数根？若有,请求出它的实数根. 解：, , 则 , 方程有实数根, 由,解得, . 专题2 二次函数 返回目录 15 （3）当时,求 的取值范围. 例3答图 解：由（1）,得 , 对称轴为直线 , ,即顶点坐标为, , 由（2）,得函数与轴的交点坐标为, . 如答图,当时,的取值范围为 . 专题2 二次函数 返回目录 16 【点悟】 抛物线与 轴的交点 （若存在）的横坐标,就是方程 的两个 根.判断抛物线与轴是否有交点,只要判断 与0的大小即可. 专题2 二次函数 返回目录 17 4.[2023常德模拟] 已知二次函数的图象与 轴有公 共点,则 的取值范围是_______. 5.二次函数 的图象如图所示, 有下列结论:; ;③一元二次方 程 有两个不相等的实数 根;④当或时, .上述结论正确的是 ________（填序号）. ②③④ 专题2 二次函数 返回目录 18 四 二次函数的图象与系数之间的关系 例4 二次函数 的图象如图所示,其对称轴为 直线 ,则下列结论不正确的是( ) D A. B. C. D. 专题2 二次函数 返回目录 19 【点悟】 对于二次函数 （1）二次项系数决定抛物线的开口方向和大小.当 时,抛物线 开口向上;当时,抛物线开口向下. 越大,开口越小. （2）一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置.当与 同 号（即时,对称轴在轴左侧;当与异号（即 时,对 称轴在 轴右侧（简称:左同右异）. （3）常数项决定抛物线与轴的交点位置,抛物线与 轴交于点 . 专题2 二次函数 返回目录 20 6.如图,二次函数 的图象 与轴交于,两点,与轴交于点 ,且对称轴为直 线,点的坐标为 .有下列四个结论: ;;③当时, 或 ; .其中正确的有( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 专题2 二次函数 返回目录 21 五 二次函数的实际应用 例5 某商家销售一种成本为20元/件的商品,销售一段时间后发现,每 天的销量（件）与当天的销售单价 （元）满足一次函数关系,并 且当时,;当时, .物价部门规定,该商品 的销售单价不能超过52元. （1）关于 的函数解析式为___________________________. 专题2 二次函数 返回目录 22 （2）问销售单价定为多少元时,商家销售该商品每天获得的利润是 8 000元？ 专题2 二次函数 返回目录 23 解：由题意,得 , 整理,得 , 解得, . 销售单价不能超过52元, . 答:销售单价定为40元时,销售该商品每天获得的利润是8 000元. 专题2 二次函数 返回目录 24 （3）当销售单价定为多少元时,商家销售该商品每天获得的利润最 大?并求出最大利润. 解：设利润为 元,则 . , 当时, 取得最大值为9 000. 故当销售单价定为50元时,商家销售该商品每天获得的利润最大,其 最大利润为9 000元. 专题2 二次函数 返回目录 25 【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题,实际上 就是求函数的最大值（或最小值）.解题时,要先根据题目提供的条 件,确定函数解析式,并将它配成顶点式 ,再根据二 次函数的性质及自变量的取值范围确定最大值（或最小值）. 专题2 二次函数 返回目录 26 7.[2024长沙模拟] 根据以下素材,探索解决下列问题. 素材1:图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图,其下半部分 是一个长为,宽为 的矩形,其上半部分是一条抛物线,现测得, 大棚顶部的最高点距离地面.以矩形长的中点为原点 ,竖直方向 为轴,水平方向为 轴,建立如图②所示的平面直角坐标系,大棚顶部 的最高点为 . 专题2 二次函数 返回目录 27 素材2:为了让苗木更好地生长需要在大棚内安装补光灯,补光灯采 用吊装模式悬挂在顶部,已知补光灯在距离地面 时补光效果最好. 专题2 二次函数 返回目录 28 （1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数解析式; 解：根据图中的坐标系以及题意,可得点的坐标为,点 的坐标 为 . 抛物线的顶点的坐标为 , 可设抛物线的函数解析式为 . 把点代入,得 , 解得 . 抛物线的函数解析式为 . 专题2 二次函数 返回目录 29 （2）若在距离处水平距离 的地方挂补光灯,为了使补光效果 最好,求补光灯悬挂部分的长度.（灯的大小忽略不计） 解： . 当时, . , 补光灯悬挂部分的长度应是 . 专题2 二次函数 返回目录 30 六 二次函数的综合题 例6 [2023湖南模拟] “厚德楼”“博学楼”分别是某校两栋教学楼的名 字,“厚德”出自《周易大传》:天行健,君子以自强不息;地势坤,君子以 厚德载物.“博学”源自《论语·雍也》:君子博学于文,约之以礼.博学 乃华夏古今治学之基础.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,横、纵 坐标相等的点称为“厚德点”,横、纵坐标互为相反数的点称为“博学 点”.把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为 “厚德博学函数”. 专题2 二次函数 返回目录 31 （1）一次函数 是一个“厚德博学函数”,分别求出该函数 图象上的“厚德点”和“博学点”; 解：由题意,得,即,解得 ,即“厚德点”为 ; 当时,即 , 解得,即“博学点”为, . 专题2 二次函数 返回目录 32 （2）已知二次函数 的图象可以由二次函数 平移得到,二次函数 图象的顶点就是一个 “厚德点”,并且该函数图象还经过一个“博学点” ,求该二次函 数的解析式. 解：二次函数的图象可以由二次函数 平 移得到, 则该函数的解析式为 , 该函数图象的顶点就是一个“厚德点”, 专题2 二次函数 返回目录 33 即 , 该函数的解析式为 , 还经过一个“博学点” , 即 , 将点 代入函数解析式,得 ,解得或 , 即二次函数的解析式为或 . 专题2 二次函数 返回目录 34 8.对某一个函数给出如下定义:对于函数,若当,函数值 的 取值范围是,且满足,则称此函数为“ 系 郡园函数”. （1）已知正比例函数为“1系郡园函数”,则 ____; 专题2 二次函数 返回目录 35 （2）已知二次函数,当时,是“ 系郡 园函数”,求 的取值范围; 解：二次函数图象的对称轴为直线 . 当时, ; 当时, ; 当, . 专题2 二次函数 返回目录 36 ①当时,, . 是“ 系郡园函数”, , . , , ; 专题2 二次函数 返回目录 37 ②当时,, , , . , , ; 专题2 二次函数 返回目录 38 ③当时,, , , . , , ; 专题2 二次函数 返回目录 39 ④当时,, , , , , , . 综上所述,的取值范围是 . 专题2 二次函数 返回目录 40 （3）已知一次函数,且 为“2系郡园函 数”,是函数上的一点.若不论 取何值,二次函数 的图象都不经过点 ,求满足要求的点 的坐标. 专题2 二次函数 返回目录 41 解： 一次函数,且 为“2系郡园函数”, , 解得 , 一次函数解析式为 . , 当时, 是定值,即函数图象过定点. 由,得, , , , 抛物线过定点, . 专题2 二次函数 返回目录 42 在中,令,得 ; 令得 , 直线过点, , 或 . 由待定系数法知,过点,的直线的解析式为 . 联立解得 两直线,相交于 , 抛物线也不会过点 , 点的坐标为,, . 专题2 二次函数 返回目录 02 过关训练 44 1.抛物线 的对称轴是( ) A A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 专题2 二次函数 返回目录 45 2.二次函数 的图象的顶点坐标是( ) D A. B. C. D. 专题2 二次函数 返回目录 46 3.关于抛物线 ,下列说法错误的是( ) C A.开口向下 B.对称轴是直线 C.当时,随 的增大而增大 D.顶点坐标为 专题2 二次函数 返回目录 47 4.将抛物线 向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位 长度,得到抛物线的解析式为( ) C A. B. C. D. 专题2 二次函数 返回目录 48 5.如图为抛物线 在平面直角坐标系中的位 置,给出以下结论:;;; ; ; .其中正确结论的个数是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 专题2 二次函数 返回目录 49 6.已知二次函数 . （1）它的顶点坐标是__________; （2）当______时,随 的增大而增大; （3）图象与 轴的交点坐标是______________; （4）当____时, 有最____值为______; （5）当_____________时, 的值小于0. , 小 专题2 二次函数 返回目录 50 7.已知二次函数的图象经过点,和 ,求这个二次 函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为 . 由题意,得解得 这个二次函数的解析式为 . 专题2 二次函数 返回目录 51 8.已知抛物线和直线 在同一平面直角坐标 系内的图象如图所示,其中正确的是( ) D A. B. C. D. 专题2 二次函数 返回目录 52 9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原 点,与轴的另一个交点为.过抛物线的顶点分别作 轴于点 ,轴于点 ,则图中阴影部分的面积和为( ) A A.18 B.12 C.9 D.6 专题2 二次函数 返回目录 53 10.如图,已知抛物线的图象与轴分别交于, 两 点,与轴交于点,是其对称轴上一动点.当 取得最小值时, 点 的纵坐标与横坐标之和为__. 专题2 二次函数 返回目录 54 11.如图,一个横截面为抛物线形的隧道底部宽、高 .车辆双 向通行.若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘 的范围内 行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于 的空隙,则通过隧道车辆的 高度限制应为___ . 3 ① ② 专题2 二次函数 返回目录 55 12.[2023常德模拟] 某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成 本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量 与销售 价元/有如下关系: .设这种产品每天的销售利润 为 元. （1）求与 之间的函数关系式.该产品销售价定为每千克多少元时, 每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：由题意,得 , 当 时,每天的利润最大,最大利润为200元. 专题2 二次函数 返回目录 56 （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农 户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元？ 解：令 , 解得或 , 这种产品的销售价不高于每千克28元, , 答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元. 专题2 二次函数 返回目录 57 13.[2023长沙模拟] 在“校园劳动节”活动中,某劳动小组借助如图所 示的直角墙角（墙角两边和足够长）,用 长的篱笆围成一 个矩形劳动基地（篱笆只围和两边）,设 ,则 . 专题2 二次函数 返回目录 58 （1）求关于 的函数解析式,并写出自变量的取值范围; 解：由题意, , . . , . 关于的函数解析式为 . 专题2 二次函数 返回目录 59 （2）当矩形劳动基地的面积为时,求 的长; 解：由题意,令,则 , 解得或 , 长为或 . 专题2 二次函数 返回目录 60 （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细）,它与墙和 的距离 分别是和 ,如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部 （含边界）,试求矩形劳动基地面积的最大值. 专题2 二次函数 返回目录 61 解：由题意, 点 在矩形内部, 解得 . , 当时,随 增大而增大, 时, 取最大值为196. 答:花园面积的最大值为 . 专题2 二次函数 返回目录 62 14.[2024长沙模拟] 如图,已知抛物线与 轴交于 ,两点（点在点的左侧）,与轴交于点 . 专题2 二次函数 返回目录 63 （1）求抛物线的解析式; 解：由抛物线与轴交于, 两点,设抛 物线的解析式为 , , , 解得 , 抛物线的解析式为 . 专题2 二次函数 返回目录 64 （2）是第四象限内抛物线上的一个动点（与点, 不重合）,过点 作轴于点,交直线于点,连接,若 , 求点 的坐标; 专题2 二次函数 返回目录 65 解：在中,令,得 , , 设直线的解析式为 . 把, 代入, 得解得 直线的解析式为 . 设,则, , 专题2 二次函数 返回目录 66 , . , , , 解得（不合题意,舍去）, . 点的坐标为 ; 专题2 二次函数 返回目录 （3）若为轴上一动点,为抛物线上一动点,是否存在点, ,使得 以点,,,为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出 的坐 标;若不存在,请说明理由. 专题2 二次函数 返回目录 68 解：存在点,,使得以点,,, 为顶点的四边形是平行四边形,理 由如下: 设,,且, . ①当,为对角线时,则, 的中点重合, 解得或（此时, 两点重合,舍去）, ; 专题2 二次函数 返回目录 69 ②当,为对角线时,, 中点重合, 解得或 或 ; 专题2 二次函数 返回目录 70 ③当, 为对角线时, （舍去）或 . 综上所述,点的坐标为或或或 . 专题2 二次函数 返回目录 71 15.在关于的函数中,对于实数,,当且 时,函数 有最大值,最小值,设,则称为 的“极差函 数”（此函数为关于的函数）.特别地,当 为一个常 数（与无关）时,称 有“极差常函数”. （1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果有,请在对应（ ） 内画“√”;如果没有,请在对应（ ）内画“×”. ① ;( ) √ ② ;( ) √ ③ .( ) × 专题2 二次函数 返回目录 72 （2）关于的一次函数 ,它与两坐标轴围成的面积为1, 且它有“极差常函数” ,则一次函数的解析式为_______________ ___________; 或 专题2 二次函数 返回目录 73 （3）若,当 时,写出函数 的“极差函数”,并求 的取值范围. 解： , 函数的对称轴为直线 . , 对称轴为直线 . , 专题2 二次函数 返回目录 74 , . , , , 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离, 当时,有最大值 , 当时,有最小值 , 专题2 二次函数 返回目录 75 , . , , , . 专题2 二次函数 返回目录 76 77 $