第五章 图形的轴对称（单元自测·提升卷）数学新教材北师大版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 图形的轴对称·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形. 【详解】解：B项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形. 2．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 3．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 5．如图，在四边形中，平分，．若，，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点， 又平分，， ， ， ， ， 故选：D． 6．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 7．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和中点的定义，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．先求出点到的距离，再利用该性质得到点到直线的距离． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∵是的平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴点到直线的距离为， 故选：A． 8．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 9．如图，中，，沿过点的直线折叠这个三角形，折痕为（点在线段上且不与重合）．若点落在边下方的点处，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形三边关系，根据翻折变换的性质可得， ，再求出，根据三角形三边关系得到的取值范围，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵折叠这个三角形顶点落在边下方的点处， ∴，， ∴在中，， 在中，，即， ∴ 故选：C． 10．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键． ①由折叠可得，，则，再由求解即可；②若点与点重合，则，，那么，据此即可求解；③分两种情况讨论，在的下方和在的上方；④此时，则，再由角度和差求解即可． 【详解】解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，．通过尺规作图的痕迹，可得___________度． 【答案】60 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 【答案】16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的性质及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点． 因为是的角平分线， 所以． 已知， 则． 因为， 且 所以． 又已知， 则． 故答案为：16． 13．如图，把沿直线对折，点C恰好落在点B处，若，，则的周长是______． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴ ∵，， ∴， 故答案为：6． 14．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知，然后根据及三角形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ∵，的周长， ∴的周长， 故答案为：9． 15．如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是____________．（填写一个正确的结论即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解本题的关键熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短． 由对称得，，再根据两点之间，线段最短，即可得出结果． 【详解】解：连接，，， 点关于直线，的对称点分别是点，， ，， ∵ ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 16．将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，先分别表示三次裁剪后的正方形的边长，再建立方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第二次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第三次操作后剩余长方形的两边分别为，，或，； ∴或， 解得：或； 故答案为：或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴． 18．如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理得到，求得，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ， ， ， ． 19．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 20．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 21．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 22．【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 23．有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，______，______； (3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)；0 (3)，见详解 【分析】本题考查了图形的翻折，角度的和差，由翻折前后角度不变且相等结合等量代换，利用平角为求解角度是解决本题的关键． （1）①根据平角为即可求解，再根据三角形翻折可得角度相等，即可求解； ②根据三角形翻折可得，，再由平角为，整体求解的度数，即可求解； （2）根据点落在直线，以及图形翻折可得，且这四个角相加为求解即可； （3）根据图形翻折可得，，设出未知数x和y，由平角表示出角的关系即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∴， 故答案为：；； ②∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， 则有， 解得， ∴； （2）解：∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ， 故答案为：；0； （3）解：，理由如下： 设，， 则， ∴， ∵， 即， ∴， 即． 24．已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）由轴对称的性质可知，进而可得的度数； （2）由轴对称的性质可知，则，，求出，即可求出的度数； （3）同（2）得，，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵是点P分别关于，的对称点， ∴， ∵ ∴ 故答案为： （2）解：因为分别为点P关于AB，BC的对称点， 所以由轴对称可知， 所以． 同理可得． 因为， 所以， 所以； （3）解：同（2）可得，， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 25．【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章图形的轴对称·能力提升（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D B A C C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.60 12.16 13.6 12 14.9 15.3(答案不唯一) 16.5或3 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)证明：连接AD,如图所示： E B 在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD AD=AD :△MBD≌aACD(SSS .∠ABD=∠ACD;3分 (2)证明：由(1)可知：△ABD≌△ACD, .∠BAD=∠CAD, :DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF.6分 18. 【详解】(1)解：△BEC≌AFC,理由如下： CD是AB的垂直平分线， 119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=BC,∠ABC=∠B4C=459 .∠ACB=180°-45°-45°=90°=∠ACF, 在△BEC和△AFC中， BC=AC ∠BCE=∠ACF CE=CF ∴.△BEC≌AAFC(SAS ;3分 (2)解：BG⊥AF,理由如下： 由(1)知△BEC≌△AFC, .∠ABG=∠FBG, :∠AEG=∠BEC, ∠AGE=∠BCE=90°， BGLAF.6分 19. 【详解】(1)解：直线DOEO分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴.AD=BD,AE=CE, .AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC, ,'△ADE的周长为9cm,即AD+DE+AE=9cm, .BC=9cm;3分 (2)解：，∠BAC=118°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=62°， DA=DB,EA=EC, .∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, ∠BAC=118°， :.∠DME=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=∠BAC-(∠ABC+∠ACB=118-62°=56 .6分 20. 【详解】(1)解：画出AB、C关于直线的对称点A'、B、C',依次连接得到△A'B'C'如下： 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2分 (2)解：如图，连接BC交于点P,则点P即为所求： C4分 由对称知，PC=PC',则PB+PC=PB+PC最小值为线段BC的长： (3)解：如图，延长CB交直线I于点M,则点M即为所求 M 此时MC-MB 的最大值为线段BC的长. 证明：如图， MC-MB<BC 根据三角形三边关系可知 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即M,B,C在同一直线时， MC-MB的最大值为线段BC的长.6分 21. 【详解】(1)解：如图， ●B B 保护区 A 保护区 5分 (2)解：如图， p M 8分 B 22 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等.…2分 (探究)：AD是△ABC的角平分线， .点D到AB和AC的距离相等（角平分线性质）. 设点D到AB和AC的距离为h, 则5c=方×4Bxh,及ox4Cxh, 1 SM:SAcD=AB AC AB:AC=7:5, .△ABD与△ACD的面积比7：5：5分 (应用)BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB, 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·点O是△ABC的内心，内心到三边的距离相等， OD⊥BCOD=3 ∴点O到AB、AC的距离也为3， △ABC的面积可分割为△AOB、△BOC、△AOC的面积之和（如图）， E 即S4c=S0+Sac+SAoc 8x3+c3+分40x3 1 =(AB+BC+4C)×2×3 -B+8C+40. “ABC的周长是1B即48+C+40-。 39 故答案为：2.8分 23. 【详解】(1)解：①：∠BEF=20°，DCEG=35°， ∴.DFEG=180°-DBEF-DCEG=180°-20°-35°=125°， ,△EB'F由△EBF翻折得到，△EC它由△ECG由翻折得到， ∴.∠B'EF=∠BEF=20°，DCEG=DCEG=35° .∠B'EC'=∠FEG-∠B'EF-∠CEG=125°-20°-35°=70°. 故答案为：125；70；2分 ②：△EB'F由△EBF翻折得到，△EC它由△ECG由翻折得到， ∴.∠B'EF=∠BEF,∠CEG=∠CEG, .∠B'EC'=64°， 5/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B'EC'+∠B'EF+∠BEF+∠C'EG+∠CEG=I80°， 即64°+2∠B'EF+2∠C'EG=180°， 则有2（∠B'EF+∠CEG)=I16° 解得∠B'EF+∠C'EG-58°， .DFEG-DB座CG+DB座Ct=58°+64°=122°；5分 (2)解：：△EB'F由△EBF翻折得到，△EC由△ECG由翻折得到， .∠B'EF=∠BEF,∠C'EG=∠CEG, DBEF+DBEF +C空G+DCEG=180°， ∴.2DBF+2DC9G=180°」 即DB座FDC座G=90°， ∴.DFEG=DB空FDC空G=90° ∠B'EC'=0° 故答案为：90；0： (3)解：2∠FEG+∠B'EC=180°，理由如下： 设DBF-OREF=x,DC座G-DCEG=y FEG=∠B'EF+∠C'EG-∠B'EC'=x+y-∠B'EC' 则 x+y=∠FEG+∠B'EC .DB座F+DBEF +DC电G+DCEG-DB座C4=180°， 2x+2y-DB座C4=180° 即 2(DFEGC-DBCC=180 即2∠FEG+∠B'EC'=180°.8分 24. 【详解】1)解：：PB是点P分别关于4B,4C的对称点， :∠PAB=∠PAB,∠B4C=∠PAC .'∠PAB+∠PAC=∠CAB=60° 619 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠R4B=∠RAB+∠PAB+∠RAC+∠PAC=120 故答案为：120°.…4分 (2)解：因为，B分别为点P关于B,BC的对称点， ∠PBA=∠PBA,∠PBC=∠PBC 所以由轴对称可知 所以∠PBS=∠PBA+∠PBA+∠RBC+∠PBC=2∠ABC ∠PCP=2∠ACB 同理可得 因为∠CAB=60° 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=120°， 所以∠RB3+∠BC3=2∠ABC+2∠ACB=2乙ABC+∠ACB)=2x120=240 8分 ∠PBE=2∠ABC+2∠PBC∠PCP,=2∠ACB+2∠PCB (3)解：同(2)可得 所t以∠PBR+ZPCR=2∠ABC+2∠PBC+2∠ACB+2∠PCB-2ZABC+乙ACA)+2(∠PBC+∠PCB) 因为∠CAB=60°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=120°， 因为∠BPC-146°， 所以∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=34°， ∠PBP+∠PCD=2×120°+2×34°=308° 所以 12分 25. 【详解】解（0484C=C,B-44C-3C=5 43x5x, 2 AH=12 5；2分 ②连接AP, 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M P SAA0C=SP+S4cr B4C=BPM+号4CPN, 2 2 1 即2x4×3=2x4xd+2×3x4, :4d+3d,=12 ;5分 ®猜想：3刘，-4d=12 ,理由如下： 如图，作PM⊥AB,PN⊥AC, W A PYB M SAARC =SAACP-SAABP AB-C-2ACPN-2 4B-PM. 即2×4x3= 1 x3×- ×4×d, :34,-4d=12 ;8分 (2)作点D关于直线BE的对称点DA, 819 6 学科网 单元速记·巧练 ww6O掌科网0M处好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 D B H 则PD=PD', PD+PO=PD'+PO 点D在BC延长线上， ∴点D、B、C、D'共线， ∴.BD=BD'=BC+CD=24+6=30, .CD'=BD'+BC=30+24=54. 过A作AH⊥BC于H,过D作D'G⊥CA的延长线于G, :S=)BCAH=192, 2 2×24×AH=192, 1 ∴.AH=16, 5.cw-CD-AH -ACDG 1 x54×16=方×20xDG, 1 ∴.D'G=43.2, PD+PQ=PD+PQ 当D、P0共线，且D0L1C时，PD+P的值最小，最小值为垂线段D0的长，即为82.2 分 6 919………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 图形的轴对称·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，平分，．若，，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 6．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 7．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 8．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 9．如图，中，，沿过点的直线折叠这个三角形，折痕为（点在线段上且不与重合）．若点落在边下方的点处，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，．通过尺规作图的痕迹，可得___________度． 12．如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 13．如图，把沿直线对折，点C恰好落在点B处，若，，则的周长是______． 14．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是________． 15．如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是____________．（填写一个正确的结论即可） 16．将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 19．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数． 20．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 21．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 22．【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 23．有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，______，______； (3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 24．已知在中，． (1)如图1，点P在内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________． (2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数． (3)如图3，若点P在的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数． 25．【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章图形的轴对称·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列图形中，是轴对称图形的是() 2.如图，在ABC中，AB=AC,AD是ABC的中线，则∠ADB的度数为() A.110° B.100° C.95 D.90° 3.如图，在正方形网格中，点A,B为格点，点P为直线1上的动点，则使PA+PB的值为最小的点是() B 4. P PP P A.P B.B C.B D.P 4.如图，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.若∠A=40°，则 ∠DBC的度数为() M A.40° B.30° C.70° D.25 5.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,∠ABC=90°，若BC=4,AD=5,则△ACD的面积为() 1/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 B A.3 B.6 C.8 D.10 6.如图，若ABC与△A'B'C关于直线MN对称，BB'交MN于点O,则下列说法中，不一定正确的是() B N A.AB=A'B B.AB B'C C.BB'⊥MN D.BO=BO 7.新情境)如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上， 图2是其侧面结构示意图，现量得托板长AB=8cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕 点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线 DE的距离是() D 图1 图2 A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm 8. 【C新防向如图4×4的正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为 格点)，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形共有()个（注：与 ABC重合的不计) A.7 B.9 C.11 D.13 9.如图，ABC中，AB=5,BC=4,AC=3,沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD(点D在线段 AC上且不与A、C重合).若点C落在AB边下方的点E处，则ADE的周长P的取值范围是() 2/8 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E A.7<p<10 B.5<p<10 C.4<p<12 D.1<p<12 1O.将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,AF为折痕，点B,D折叠后的对应点分别为 B,D,则下列结论正确的个数有() D E B ①若∠DAF=∠BAE=15°，则∠B'AD'=60°；②若点B与点D重合，则LEAF=45°； ③若∠B'AD'=10°，则∠EAF=50°或30°；④若∠EAF=60°，则∠B'AD'=40°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在ABC中，∠B=35°，∠DAE=25°.通过尺规作图的痕迹，可得∠C= 度 12.如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=4,AB+AC=8,则ABC的面积 为 D A B 13.如图，把ABC沿直线DE对折，点C恰好落在点B处，若AB=2,AC=4,则△ABD的周长是 3/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C 14.如图，点C是∠AOB内的一点，点C,C,分别是点C关于OA,OB的对称点，C,C2交OA于点D, 交OB于点E,若CC2=9cm,则△CDE的周长是 cm. C2 15.如图，直线1，m相交于点0，P为这两条直线外一点，且0P=2.若点P关于直线1，m的对称点分 别是点P,,则P,之间的距离可能是 (填写一个正确的结论即可) P ●P2 16.做学思翘将一张长方形纸片ABCD如图方式折叠并压平，点B恰好与AD上与B点重合，沿BE剪 去一个边长等于长方形宽的正方形ABEB',得到一个长方形B'DCE,这种“折→剪”的过程称为一次操作.现 在有一张长为4，宽为a2<a<4)的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则a的值 为 B B 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.己知，如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 4/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B (I)求证：∠ABD=∠ACD; (2)求证：DE=DF. 18.如图，己知ABC中，∠BAC=45°，CD是AB的垂直平分线，E为线段AC上一点，延长BC至点F, 使得CF=CE,连接AF,延长BE交AF于点G D E G B (I)BEC与△AFC全等吗？为什么？ (2)BG垂直于AF吗？为什么？ 19.如图，在ABC中，边AB的垂直平分线I交BC于点D,边AC的垂直平分线马交BC于点E,I与马相 交于点O,ADE的周长为9cm. (I)求线段BC的长. (2)若∠BAC-118°，求∠DAE的度数 20.如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A,B,C在正方形的顶点上. (1)在图中画出与ABC关于直线1成轴对称的△A'B'C'. (2)在直线1上找一点，使PB+PC的值最小， 5/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)在直线1上找一点M,使MC-MB值最大.（在图形中标出点P、M,保留作图痕迹）. 21. 新情境)利用图形的变换可以解决很多生活中问题。 如图1，要在一条笔直的路边1上建一个燃气站，向1同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确 定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短， 如图2，作出点A关于1的对称点A,线段A'B与直线1的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所 得路线APB是最短的， ●B ●B A● 图1 图2 ()如果在A,B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的 铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限） ●B ●B 保护区 A● 保护区 A● / (②)如图，已知∠AOB及其内部一点P,试在OA,OB上分别确定点M,N,使PM+PN+MN最小（不需 说明理由，作图工具不限)， A ●P -B 22.【感知】如图①，0C是∠A0B的平分线，点P是0C上任一点，作PD⊥OA,PE10B.垂足分别为 D和E.易知PD=PE;由此可得角平分线的性质定理：一， 【探究】如图②，在ABC中，AD是它的角平分线.若AB:AC=7:5.求△ABD与△ACD的面积比；（写 出完整的推理过程) 【应用】如图③、ABC的周长是13.BO、C0分别平分∠ABC和∠ACB.OD⊥BC于点D.若 OD=3,则ABC的面积为· 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E D D A 图① 图② 图③ 23.有一张长方形纸片ABCD,点E是边BC上的一定点，点F是边AB上一动点，连接EF,将△BEF沿 EF折叠得到△B'EF;点G是边CD上一动点，连接EG,将△CEG沿EG折叠得到△C'EG. D B' B B B B E E 图1 图2 图3 (I)如图1，当折叠得到的△B'EF与aC'EG没有重叠部分时. ①当∠BEF=20°，LCEG=35°时，LFEG=°，∠B'EC'=°； ②若LB'EC'=64°，求∠FEG的度数 (2)如图2，当点B落在直线EC'上时，∠FEG= °，∠B'EC'=°； (3)如图3，当折叠得到的△BEF与aC'EG有重叠部分时，试猜想∠B'EC'与∠FEG的数量关系，并说明理由. 24. 新方向已知在ABC中，LCAB=60°. B 图1 图2 图3 P (1)如图1，点P在ABC内，且P,P是点P分别关于AB,AC的对称点，连接AP,AP,则∠PAP= (②)如图2，在(1)的基础上，若P是点P关于BC的对称点，求∠PBP+∠P,CP的度数， (3)如图3，若点P在ABC的外部（靠近BC边），点P关于直线AB,AC,BC的对称点分别为P,P,P, 分别连接BP,BP,CP,CP,CP,若∠BPC=146°，求∠PBP+∠PCP的度数. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25. C新防向【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AH⊥BC,可列式： 4BAC=号Ch. E M H C D 图1 图2 图3 图4 【解决问题】 (1)当AB=4,AC=3,BC=5时， ①如图1，求AH的长： ②如图2，点P为BC上一点，作PM⊥AB,PN⊥AC,设PM=d,PN=d2,求：4d,+3d的值； ③如图3，当点P在CB延长线上时，作PM⊥AB,PN⊥AC,设PM=d,PN=d2,猜想d,d2之间又有什 么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 (2)如图4，在ABC中，AB=AC=20,BC=24,S。ABc=192,若点D是BC延长线上一点，且 CD=6,过点B作BE⊥BC,点P是直线BE上一动点，点Q是直线AC上一动点，连接PD,PQ,求 DP+PQ的最小值. 8/8