第四章 三角形（必备知识+7大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形 思维导图 分析法一 几何证明思路 定义 综合法 一定义与构成要素 边 连接两点 甚本元素 顶点 作平行线 常用辅助线作法 作垂线 六、解题方法与口诀 不等边三角形 倍长中线 按边分类 等腰三角形一等边三角形 两边和大于第三边 三角形的初步认识 一三角形的分类 一三角形三边关系 一锐角三角形 两边差小于第三边 记忆口决 按角分类 一直角三角形 边边边， 边角边，角边角】 角角边 全等判定」 钝角三角形 忽骆三角形三边关系成立条件 一两边之和大于第三边 全等判定定理使用不当 五、高频易错点 三角形的性质 三边关系定理 三角形 两边之差小于第三边 尺规作图步骤不规范一 定义 三角形三边关系的应用 四、高频考点 金等的概念与性质 一对应边相等 全等三角形的判定与证明 全等性质 对应角相等 作一条线段等于已知线段 -SSs 作一个角等于已知角 SAS ~基本作图 二、全等三角形 全等三角形的判定 作角的平分线 -ASA 作线段的垂直平分线 三、三角形的尺规作图 -AAS 已知三边作三角形 证明线段相等 已知两边及夹角作三角形 三角形作图 全等三角形的应用 一证明角相等 已知两角及夹边作三角形 一解决实际问塑 知识清单 【知识点01】三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形， 2.三角形的分类 「不等边三角形 「锐角三角形 「底边和腰不相等的等腰三角形 直角三角形 等腰三角形 (1)按边分类可以分为 等边三角形 (2)按角分类可以分为 钝角三角形 【知识点02】三角形中三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 【知识点03】三角形的高线、中线、角平分线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段： 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段： 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点04】全等图形 （一)全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形 (二)特征：(1)形状相同：(2)大小相等：(3)对应边相等、对应角相等。 【知识点05】全等三角形及其性质 (一)全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对 应角。 (二)表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： (1)书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 (2)找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边 (或对应角)。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若△ABC≌△DEF,则AB和DE,AC和 DF,BC和EF分别是对应边：∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F分别是对应角。 (三)全等三角形性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等。(2)全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线 相等。(3)全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点06】全等三角形的判定 (一)判定定理 (1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”(基本事实)； (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“S4S'(基本事实)； (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’(基本事实)： (4)两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“A4S”: 注意：“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等： 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 易错总结 2/16 ©函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点1画三角形的高线易错问题 1.易错点总结：钝角三角形高线位置混淆：易误将钝角两边的高线画在三角形内部，实际应向边的延长 线作垂线，垂足在外部。高线与中线、角平分线混淆：常把高线画成连接顶点与对边中点（中线）或平分 内角的线（角平分线），忽略“垂直”核心特征。 2.注意事项：明确高线定义：必须满足“过顶点”且“垂直于对边（或其延长线）”，用直角符号标注垂 足。区分三角形类型：锐角三角形高线全在内部，直角三角形两条直角边互为高线，钝角三角形钝角两 边高线在外部。 【例1】如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( 【变式】在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是() 易错点2三角形全等中动点多结论问题 易错点总结 1.忽略动点位置变化：未考虑动点在不同阶段形成的三角形形状差异，直接套用全等判定，导致漏解或错 解。 2.条件关联错误：误将动态过程中暂时成立的等量关系当作恒定条件，忽略时间范围、线段长度限制等隐 含约束。 注意事项 1.分阶段分析：按动点运动轨迹划分区间，明确各阶段图形构成，逐一验证全等条件。 2.强化临界值意识：关注动点与顶点、线段端点重合等临界位置，标注时间或长度的有效范围。 【例2】如图，△ABC中，AB>AC,AD是中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等：② 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD<AB+AC:③若点P是线段AD上的一个动点（点P不与点4，D重合），连接PB,PC,则 2 △ABP的面积比△ACP的面积大：④点P,Q是A,D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若 DP=DO 连接PB,OCPB∥QC ,则 所有正确结论的序号是( A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.①③④ 【变式】如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相 交于点P,连接AP,有以下结论：①∠BPC=12O°；②AP平分∠BAC;③AD=AE;④若在线段BC上 有一动点F,使得PF=PD,则BD=BF;其中正确的序号是() B A.①② B.①③ C.③④ D.①②④ 易错点3利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错点总结 1.分类标准混乱：未按动点位置或全等判定条件分层分类，导致重复讨论或遗漏情况。 2.忽视分类前提：在不同分类中混用条件，如未保证对应顶点一致就套用全等结论。 注意事项 1.明确分类依据：按动点所在线段、对应边/角关系等单一标准分类，确保逻辑清晰。 2.验证分类独立性：每类需单独验证全等条件，标注适用范围，避免跨类混淆。 【例3】如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6,延长BC到点E,使BE=8.动点P从点B出发， 以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA方向向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE 全等时，t的值为」 4/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B C E 【变式】在△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,动点P从点A出发，沿 AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s. A P B 图1 图2 (1)如图1，当点P到AC,AB的距离PC与PG相等时，BG=cm: (2)如图2，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC中，若另外有一个 动点Q与点P同时出发，从点A沿着AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某时刻， 恰好aAPQ≌aDEF,则点Q的运动速度为_cms. 易错点4全等三角形之一线三等角模型 易错总结 1.角的相等关系找错：模型中外角与内角关系混淆，误将邻补角当作已知等角。 2.对应顶点错位：全等三角形中，等角顶点未正确对齐，导致对应边判定错误。 3.忽视分类讨论：等角顶点在直线上位置不同（中间或两端），对应全等情形变化。 4.隐含直角忽略：当等角为直角时，易忽略互余关系推导新的等角。 注意事项： -明确等角位置：三个等角顶点分别在一条直线上，两边的角与中间角对应。 -利用外角定理：通过三角形外角证明其余角相等。 -画标准图：标出已知等角，通常可得△全等(AAS或ASA)。 -多种变式：锐角、直角、钝角情况均可构成全等，注意灵活运用。 【创】)如图1，已知△4C中，∠B4C0B=1C,直线"经过点1D百线”，CE直 A,BD⊥ 线m,垂足分别为点D,E.求证：DE=BD+CE. 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△1BC AB=AC,D,A,E 中， 三点都在直线”上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC.请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由. B B E m E 图① 图② 【变式】通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(I)如图1，∠BAD=9O°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE LAC于 点E.求证：AC=DE,BC=AE」 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： B 图1 【模型应用】(2)如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按图中所标注的数据，计算图 中实线所围成的图形的面积为一。 E D 6 3 4 G H 图2 【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于 点F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 6/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D G 图3 易错点5全等三角形之倍长中线模型 易错总结 1.辅助线叙述不清：只写“倍长中线”，未说明延长方向及截取相等线段（如延长AD至E使 DE=AD)。 2.对应点连错：倍长后连接端点时，连接错误导致无法构造全等三角形（应连接BE或CE)。 3.忽略平行关系：倍长中线后可得8字全等，易忽略由此推出的平行线及边角关系。 4.作用领域混淆：主要用于证明线段不等或等量关系，误用于证垂直或角平分。 注意事项： -规范作法：延长中线至倍长点，连接该点与三角形另一顶点。 ~SAS证全等：利用对顶角相等、中点得两边相等证全等。 核心转化：将分散的线段、角集中到同一三角形中。 ~结合其他定理：中线倍长后常与三角形中位线、三边关系结合。 【例5】方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： △ABC AB=9.AC= 如图1，在 中， 5,D是BC的中点，求BC边上的中线1D 取值范围， D 08 图1 图2 (I)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE.可以判定△ADC≌△EDB,得出AC=BE,这样就能把线段ABAC、2AD集中在△ABE中，利 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EF∥AB与AD相交于点F,且EF=AC. 求证：AD平分∠BAC. 【变式】【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延 长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题， 例：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，BE平分∠ABC,试判断BC,CD,AB 之间的等量关系， 小颖的方法：如图②，延长BE、CD的相交于点F,构造△ABE≌△DFE和等腰三角形BCF即可判断. ① ② (③ 父 【问题解决】(1)按照小颖的方法，判断BC,CD,AB之间的等量关系，并说明理由 【自主探究】(2)如图③，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F, AE=EF,试说明：AC=BF 【拓展延伸】(3)如图④，在四边形ABDC中，AB∥CD,AB=5,CD=1.6,点F在AE上且满足 ∠DFE=∠BAE,S=S,,求DF的长。 易错点6全等三角形模型之截长补短模型 易错总结 1.方法选择不当：需证“和”关系时错用截长，需证“差”时错用补短，导致构造失败。 2.辅助线叙述不清：只写“在AB上截取AE=AD”,未说明截取点E的具体作法或连接方式。 3.全等条件误判：截长补短后构造的三角形全等条件(SAS、AAS等)找错。 4.多段关系遗漏：线段关系含两段以上（如AB=CD+EF+GH),只转化部分线段。 注意事项： -明确模型：证=b+c常用截长（在长边截取一段等于短边)或补短（延长短边)。 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -规范作图：清晰描述辅助线作法，并连接相关线殷。 -全等为核心：构造全等三角形实现线段转移。 -多步转化：复杂关系可分步截长或多次补短完成。 【例6】现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广 泛的应用.截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等 补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段， 请用截长法解决问题(1) (1)已知：如图1等腰直角三角形ABC中，DB=90°，AD是角平分线，交BC边于点D.求证： AC=AB+BD B D 图1 请用补短法解决问题(2) (2)如图2，已知，如图2，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是AABC的角平分线.求证：AC=AB+BD」 A B D 图2 【变式】【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系.截 长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等.补短法：延长较短两条线段中 的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等. 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD=∠CBD=90°，组成一个四边形ACBD,以D为 顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N. 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D D ① ② ③ (1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，证明：AM+BN=MN;经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用 补短法，延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,先证明△DAM≌ADBE,再证明△MDN≌△EDN,即 可求得结论.按照小红的思路，请写出完整的证明过程： (2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用 证明) (3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CABC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则 AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论. 易错点7全等三角形模型之手拉手模型 易错总结 1.顶角顶点混淆：两个等腰三角形中，顶点(“头”)与底角顶点(“手”)对应不清，导致全等条件找 错。 2.旋转对应关系错：手拉手全等是通过旋转得到的，易将对应边对应错（常见近等线误连)。 3.拉手线连接错误：连接“左手”连“左手”、“右手”连“右手”时，连接点配对混乱。 4.忽略初始条件：忘记前提是两个三角形是等腰（或等边）且共顶点，直接当普通全等处理。 注意事项： -明确结构：两个等腰（等边）三角形共顶点，顶角相等。 -识别全等：通常由两组边（腰）及其夹角（顶角）相等证全等。 ~结论规律：拉手线（连接对应底角顶点）相等且夹角等于顶角（或互补）。 -常用变式：等边三角形手拉手会出全等、60度角等特殊结论。 【例7】数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.图形与几何学习尤其需要我们从复杂的 问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (I)【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BE,CD.这 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一 图形称为“手拉手模型”. 图1 图2 求证△ABE≌△ACD,请你完善下列过程. 证明：∠BAC=∠DAE, ∠BAC-∠I=∠DAE-∠1()①， 即∠2=∠3 △ABE≌△ACD(_)② (2)【类比推理】如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在 射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求∠BDC的度数.（提示：可构建手拉手模型，在BD上找一点E,使 AE=AD) 【变式】在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等 腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过资料查询，他们得知这种模型称 为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： B 图1 图2 图3 (I)如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE、如 果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大 手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此时BD和CE的 数量关系是 (2)如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接BD, CE,两线交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由： 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，已知，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,两线交 于点P,请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠DPB的度数. 易错训练 一、单选题 1.(24-25八年级上浙江宁波·期中)如图，已知直角△ABC,∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=4,E 为AC中点，∠BAC的角平分线交BC于点D,F,G分别是AD和AC上的动点，则EF+FG的最小值为 () A.② B.3 C.2 D.2+1 2.(25-26八年级上·全国期末)如图，CA1AB,垂足为点A,AB=24cm,AC=12cm,射线 BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着 E点运动而运动，且始终保持ED=CB,当点E经过()秒时，△DEB与△BCA全等.（注：点E与 A不重合) M D B A 4 B.4、8 C.4、8、12 D.4、12、16 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 3.(24-25七年级下·全国课后作业) 学习情境：动点探究如图，在△ABC中，4C=18cm,BC=20cm 点M从点A出发以每秒2Cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒l.6cm的速度向点B运动，其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三 角形的腰长是 cm 4.(25-26八年级上山东潍坊期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,BC=30m,BE=12m,动 点P从点B沿边BC向点C运动，速度为3ms,同时点Q从点C沿射线CD方向运动.当点Q运动速度为 ms时，△PBE和△PC 可能全等 A 三、解答题 5.(24-25七年级下·山东济南期末)△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC, BE=BD,∠DBE=∠ABC=90°)的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(I)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE: 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由， 13116 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 6.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，在△ABC中，BC=5,高AD、BE相交于点O,BD=2,且 AE=BE B D D C B D (备用图1) (备用图2) (I)证明：△AOE≌△BCE: (2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点9从点B出发沿射线 BC以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动. △AOQ 设点P的运动时间为t秒，当 的面积为2时，求t的值： (3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点，且CF=BO.当以点B、O、P为顶点的三角形与以点 F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值. 7.(25-26八年级上广东广州期中)【探究】 (I)如图I,AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形.把分散的己知条件 和所求证的结论转化到同一个三角形中.如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=6,求出EP的取 值范围。 【拓展】 14/16 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据以上经验，如图3，OA=OB,OC=OD,∠AOB+∠COD=180°，连接AC、BD,E是AC的 中点，证明：OE=。BD D B 图1 图2 图3 8.(24-25七年级下·上海月考)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本 图形. G E M A A B H 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BDL直线l,CE⊥直线l,垂足分别 为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为： (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件 改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a 为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由： (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以△ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中∠BAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长 HA交EG于点M.求证：点M是EG的中点， 9.(25-26八年级上湖北省直辖县级单位·期末)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF 的数量关系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 ABCD中， AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F BC,CD (2)如图2，在四边 分别是 上的点，且EF=BE+FD 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由； ABCD,∠ABC+∠ADC=180°，AB=A ,若点E在CB的延长线上，点F在9 CD (3)如图3，在四边形 中， 的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. G D A D B A E B F E B E 图1 图2 图3 16/16 第四章 三角形 【知识点01】三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【知识点02】三角形中三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【知识点03】三角形的高线、中线、角平分线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【知识点04】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【知识点05】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 （三）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点06】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 注意：“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 易错点1 画三角形的高线易错问题 1.易错点总结： 钝角三角形高线位置混淆：易误将钝角两边的高线画在三角形内部，实际应向边的延长线作垂线，垂足在外部。高线与中线、角平分线混淆：常把高线画成连接顶点与对边中点（中线）或平分内角的线（角平分线），忽略“垂直”核心特征。 2.注意事项：明确高线定义：必须满足“过顶点”且“垂直于对边（或其延长线）”，用直角符号标注垂足。 区分三角形类型：锐角三角形高线全在内部，直角三角形两条直角边互为高线，钝角三角形钝角两边高线在外部。 【例1】如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式】在中，画出边上的高，画法正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 易错点2 三角形全等中动点多结论问题 易错点总结 1.忽略动点位置变化：未考虑动点在不同阶段形成的三角形形状差异，直接套用全等判定，导致漏解或错解。 2.条件关联错误：误将动态过程中暂时成立的等量关系当作恒定条件，忽略时间范围、线段长度限制等隐含约束。 注意事项 1.分阶段分析：按动点运动轨迹划分区间，明确各阶段图形构成，逐一验证全等条件。 2.强化临界值意识：关注动点与顶点、线段端点重合等临界位置，标注时间或长度的有效范围。 【例2】如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段AD上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故选：B． 【变式】如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④若在线段上有一动点，使得，则；其中正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉角平分线的性质和全等三角形的性质，以及分类讨论思想的应用． 【详解】解：、分别是与的角平分线，， ， ，①正确； ， ， 过点作，，， 、分别是与的角平分线， ∴， 是的平分线，②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； 当时，线段上只存在一个动点F， 使得，且， 当时，线段上存在两个动点F， 使得，F如图中，， 当平分时，， ∴， 在△BDP和△中， ， ∴， ∴， 当不平分时，显然， ∴④不一定成立，故④错误； ∴正确的是①②． 故选：A． 易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错点总结 1.分类标准混乱：未按动点位置或全等判定条件分层分类，导致重复讨论或遗漏情况。 2.忽视分类前提：在不同分类中混用条件，如未保证对应顶点一致就套用全等结论。 注意事项 1.明确分类依据：按动点所在线段、对应边/角关系等单一标准分类，确保逻辑清晰。 2.验证分类独立性：每类需单独验证全等条件，标注适用范围，避免跨类混淆。 【例3】如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】1或7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分和两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 【变式】在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【答案】 3 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接，证明，得出，根据即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵点P到，的距离与相等， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为。 则， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为， 则， 解得：； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 易错点4 全等三角形之一线三等角模型 易错总结 1. 角的相等关系找错：模型中外角与内角关系混淆，误将邻补角当作已知等角。 2. 对应顶点错位：全等三角形中，等角顶点未正确对齐，导致对应边判定错误。 3. 忽视分类讨论：等角顶点在直线上位置不同（中间或两端），对应全等情形变化。 4. 隐含直角忽略：当等角为直角时，易忽略互余关系推导新的等角。 注意事项： - 明确等角位置：三个等角顶点分别在一条直线上，两边的角与中间角对应。 - 利用外角定理：通过三角形外角证明其余角相等。 - 画标准图：标出已知等角，通常可得△全等（AAS或ASA）。 - 多种变式：锐角、直角、钝角情况均可构成全等，注意灵活运用。 【例4】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【变式】通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 易错点5 全等三角形之倍长中线模型 易错总结 1. 辅助线叙述不清：只写“倍长中线”，未说明延长方向及截取相等线段（如延长AD至E使DE=AD）。 2. 对应点连错：倍长后连接端点时，连接错误导致无法构造全等三角形（应连接BE或CE）。 3. 忽略平行关系：倍长中线后可得8字全等，易忽略由此推出的平行线及边角关系。 4. 作用领域混淆：主要用于证明线段不等或等量关系，误用于证垂直或角平分。 注意事项： - 规范作法：延长中线至倍长点，连接该点与三角形另一顶点。 - SAS证全等：利用对顶角相等、中点得两边相等证全等。 - 核心转化：将分散的线段、角集中到同一三角形中。 - 结合其他定理：中线倍长后常与三角形中位线、三边关系结合。 【例5】方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 【变式】【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 易错点6 全等三角形模型之截长补短模型 易错总结 1. 方法选择不当：需证“和”关系时错用截长，需证“差”时错用补短，导致构造失败。 2. 辅助线叙述不清：只写“在AB上截取AE=AD”，未说明截取点E的具体作法或连接方式。 3. 全等条件误判：截长补短后构造的三角形全等条件（SAS、AAS等）找错。 4. 多段关系遗漏：线段关系含两段以上（如AB=CD+EF+GH），只转化部分线段。 注意事项： - 明确模型：证a=b+c常用截长（在长边截取一段等于短边）或补短（延长短边）。 - 规范作图：清晰描述辅助线作法，并连接相关线段。 - 全等为核心：构造全等三角形实现线段转移。 - 多步转化：复杂关系可分步截长或多次补短完成。 【例6】现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式】【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错点7 全等三角形模型之手拉手模型 易错总结 1. 顶角顶点混淆：两个等腰三角形中，顶点（“头”）与底角顶点（“手”）对应不清，导致全等条件找错。 2. 旋转对应关系错：手拉手全等是通过旋转得到的，易将对应边对应错（常见近等线误连）。 3. 拉手线连接错误：连接“左手”连“左手”、“右手”连“右手”时，连接点配对混乱。 4. 忽略初始条件：忘记前提是两个三角形是等腰（或等边）且共顶点，直接当普通全等处理。 注意事项： - 明确结构：两个等腰（等边）三角形共顶点，顶角相等。 - 识别全等：通常由两组边（腰）及其夹角（顶角）相等证全等。 - 结论规律：拉手线（连接对应底角顶点）相等且夹角等于顶角（或互补）。 - 常用变式：等边三角形手拉手会出全等、60度角等特殊结论。 【例7】数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 【变式】在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角，，，，E为中点，的角平分线交于点D，F，G分别是和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及正确作出辅助线． 连接交于点F，过点B作于点，通过证明，得出，则当点B、F、G三点共线时，，进而得出当时，最小，再根据，求出，即可解答． 【详解】解：连接交于点F，过点B作于点， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵E为中点， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当点B、F、G三点共线时，， 当时，最小， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为______时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 三、解答题 5．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 8．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 9．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $