第六章 变量之间的关系（单元自测·提升卷）数学新教材北师大版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 变量之间的关系·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C D D D D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 烧水时间 水的温度 12．14 13． 14． 15．42 16． 8 或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为10平方厘米不变化，长方形长随宽的变化而变化， ∴a，b为变量，10为常量；............2分 （2）解：∵小佳带的20元钱和单价1.2元不变化，剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化， ∴n，M为变量，20，1.2为常量．............4分 （3）解：∵某地气温为，海拔每升高气温下降不变化，气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化， ∴T，h是变量；12，6是常量．............6分 18． 【详解】（1）解： 7时、10时、14时的气温是、、；............2分 （2）解：3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低；............4分 （3）解：变量是时间和温度．............6分 19． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：小丽家该月应交煤气费76元；............2分 （2）当时， 由题意得：；............4分 （3）当时， 由题意得：．............6分 20． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是支撑物高度，因变量是小车下滑时间；............2分 （2）解：由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短；............4分 （3）解：由表格可知当支撑物高度为时，小车下滑时间为， 估计当时，．............6分 21． 【详解】（1）解：由表格可知：在这个变化过程中，气温是自变量，音速是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高3； 故答案为：气温，音速，3；............3分 （2）由表格可知，气温每升高，音速增加， ∴； 故答案为：；............6分 （3）当时，， ∴打雷的地方距离小明大约有（米）．............8分 22． 【详解】（1）解：上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：悬挂的物体的质量，弹簧的长度；............2分 （2）解：弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故答案为：10，2；............4分 （3）解：y与x的关系式为：， 故答案为：；............6分 （4）解：当所挂物体质量是时，弹簧的长度是， 当弹簧的长度为时，， 解得：， 答：所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是............8分 23． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是t，因变量是h； 故答案为：t，h；............2分 （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108，3；............4分 （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米．............8分 24． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120；............2分 （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M；............5分 （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ，............8分 （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米．............12分 25． 【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10；............3分 （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为；............6分 （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 变量之间的关系·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．李师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中常量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 2．在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（   ） A．10克 B．39克 C．20克 D．52克 3．如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 4．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 5．如图，三角形底边上的高是．当三角形的顶点沿底边所在直线向点运动时，在这个变化过程中，下列叙述正确的有（ ） ①线段的长是常量；②底边上的高是常量；③线段的长是变量；④三角形的面积是变量． A．个 B．个 C．个 D．个 6．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A．B．C． D． 8．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 9．以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ）    A．③①④② B．①③④② C．①④③② D．③④①② 10．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 12．如图，当时，相应的y值是_____． 13．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为___________． 温度 导热率 14．小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为___________． 15．跳台滑雪是冬奥会比赛项目之一，一名参赛运动员起跳后，飞行路线如图所示．若h（单位：m）表示飞行高度，s（单位：m）表示运动员与滑出点的水平距离，则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m． 16．如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．写出下列变化过程中的变量和常量： (1)一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是元，小佳购买n本练习本，剩余M元； (3)气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化，某地气温为，海拔每升高气温下降． 18．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 19．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 20．探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 (1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________． (2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？ (3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________． 21．科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； (2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； (3)在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 22．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 … (1)上表变量之间的关系中自变量是 ，因变量是 ； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为 ；物体质量每增加，弹簧长度增加 ； (3)直接写出与的关系式： ； (4)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是多少？当弹簧的长度为时，所挂物体质量是多少？（写出解答过程并作答） 23．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 24．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 25．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 变量之间的关系·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．李师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中常量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量即可求解． 【详解】解：在金额、油量和单价中，金额和油量是变量，单价是常量． 故选：C． 2．在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（   ） A．10克 B．39克 C．20克 D．52克 【答案】B 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，根据邮资表，确定邮资为2.40元对应的信件质量的范围，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足（克）时，邮资为2.40元． 选项A：10克属于，对应邮资1.20元，不符合题意． 选项B：39克属于，对应邮资2.40元，符合题意． 选项C：20克属于的右端点，对应邮资1.20元，不符合题意． 选项D：52克属于，对应邮资3.60元，不符合题意． 故选：B． 3．如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，能从图象中识别信息是解题的关键．观察函数图象的横轴、纵轴，可得答案． 【详解】解：A、由图象的纵轴可以看出，学校距小旺家1000米，故A正确，不符合题意； B、由图象的横轴可以看出，小旺用了20分钟到学校，故B正确，不符合题意； C、由图象的纵轴可以看出，小旺前10分钟走了总路程的一多半，故C正确，不符合题意； D、由图象的纵轴可以看出，小旺后10分钟比前10分钟走得慢，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 【答案】B 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系． 通过分析表格数据，逐一判断即可． 【详解】解：由表格可知：搬运时间每延长，搬运货物的重量增加， ∴， 故A、C、D正确； 当搬运货物的重量为时，， 解得：， 故B错误， 故选：B． 5．如图，三角形底边上的高是．当三角形的顶点沿底边所在直线向点运动时，在这个变化过程中，下列叙述正确的有（ ） ①线段的长是常量；②底边上的高是常量；③线段的长是变量；④三角形的面积是变量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直接利用常量与变量的概念分别判断即可． 【详解】解：在这个变化过程中，变量是和的面积，常量是底边上的高，故正确； 随着的变化，线段也随着变化，故不正确； 叙述正确的有个， 故选：C． 6．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：D． 7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 8．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 9．以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ）    A．③①④② B．①③④② C．①④③② D．③④①② 【答案】D 【分析】此题考查了运用图象表示变量之间的关系，根据四种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象．关键是能准确理解相关知识与读图． 【详解】解：甲：投篮时，投出去的篮球的高度随时间成抛物线形状，对应图③； 乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系，对应图④； 丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系，对应图①； 丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系，对应图②； 即：排序正确的是③④①②， 故选：D． 10．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 【答案】 烧水时间 水的温度 【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可． 【详解】解：∵电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化， ∴自变量为烧水时间，因变量为水的温度， 故答案为：烧水时间，水的温度． 12．如图，当时，相应的y值是_____． 【答案】14 【分析】本题考查求因变量的值，根据数值转换器中的两个变量的关系式求解即可． 【详解】解：由题意，当时，， 故答案为：14． 13．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为___________． 温度 导热率 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 14．小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，根据高度等于原来的高度加上增长的高度，列出关系式即可． 【详解】解：由题意，得：h与x的函数关系式为：； 故答案为： 15．跳台滑雪是冬奥会比赛项目之一，一名参赛运动员起跳后，飞行路线如图所示．若h（单位：m）表示飞行高度，s（单位：m）表示运动员与滑出点的水平距离，则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m． 【答案】42 【分析】本题考查从函数图形获取信息，根据图形可知纵坐标h表示飞行高度，图中曲线最高点对应的h值为 42，即可得出答案． 【详解】从所给的飞行路线图中可以看到，纵坐标h表示飞行高度，图中曲线最高点对应的h值为 42，所以这名运动员起跳后的最大飞行高度是 ， 故答案为：42． 16．如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． 【答案】 8 或 【分析】（1）根据时，列出方程求解即可； （2）首先求出每分钟从乙容器注水到丙容器，然后根据题意列出关系式即可； （3）根据列出方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得，时，， ∴，解得， （2）∵， ∴时，每分钟从乙容器注水到丙容器， ∴与的函数关系式为：； （3）当时，，丙容器原有液体， 若，则有， 解得； 当时，丙容器内液体体积为， 若，则有，解得， ∴当为或时，． 故答案为：（1）8；（2）；（3）或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．写出下列变化过程中的变量和常量： (1)一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是元，小佳购买n本练习本，剩余M元； (3)气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化，某地气温为，海拔每升高气温下降． 【答案】(1)a，b为变量，10为常量 (2)n，M为变量，20，为常量 (3)T，h是变量；12，6是常量 【分析】此题主要考查了变量和常量，解决问题的关键是理解在某一变化过程中，不发生变化的量叫做常量，发生变化的量叫变量． （1）根据长方形的面积为10平方厘米不变化可得出常量，根据长方形长随宽的变化而变化可得出变量； （2）根据20元钱及笔记本单价元不变化可得出常量；根据剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化可得出变量； （2）根据某地气温为，海拔每升高气温下降不变化可得常量，根据气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化可得变量． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为10平方厘米不变化，长方形长随宽的变化而变化， ∴a，b为变量，10为常量； （2）解：∵小佳带的20元钱和单价1.2元不变化，剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化， ∴n，M为变量，20，1.2为常量． （3）解：∵某地气温为，海拔每升高气温下降不变化，气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化， ∴T，h是变量；12，6是常量． 18．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 【答案】(1)、、 (2)3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低 (3)时间和温度 【分析】本题考查了变量与常量、用图象表示变量之间的关系，解题的关键是： （1）根据图象即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）根据图象即可解答． 【详解】（1）解： 7时、10时、14时的气温是、、； （2）解：3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低； （3）解：变量是时间和温度． 19．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 【答案】(1)小丽家该月应交煤气费76元 (2) (3) 【分析】此题考查的是有理数混合运算的实际应用，用关系式表示变量之间的关系，正确理解收费标准是解决此题的关键． （1）根据超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，列式计算即可； （2）根据收费标准，列出式子即可； （3）根据收费标准，列出式子即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：小丽家该月应交煤气费76元； （2）当时， 由题意得：； （3）当时， 由题意得：． 20．探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 (1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________． (2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？ (3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________． 【答案】(1)支撑物高度h，小车下滑时间t (2)随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短 (3)1.71 ；1.50（答案不唯一，在1.48~1.58之间均可） 【分析】本题主要考查了函数的概念，用表格表示变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题意可得，小车下滑时间随着支撑物高度的变化而变化，据此可得答案； （2）由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短； （3）由表格可得第一空答案；根据（2）所求可得，时间的变化量要小于高度从60厘米变为70厘米时时间的变化量，且时间要小于1.59，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是支撑物高度，因变量是小车下滑时间； （2）解：由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短； （3）解：由表格可知当支撑物高度为时，小车下滑时间为， 估计当时，． 21．科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； (2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； (3)在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 【答案】(1)气温，音速，3 (2) (3)1745米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，列函数关系式： （1）直接通过表格，进行作答即可； （2）根据表格，求出气温每升高，音速的变化量，写出函数关系式即可； （3）先求出时的音速，再乘以时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可知：在这个变化过程中，气温是自变量，音速是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高3； 故答案为：气温，音速，3； （2）由表格可知，气温每升高，音速增加， ∴； 故答案为：； （3）当时，， ∴打雷的地方距离小明大约有（米）． 22．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 … (1)上表变量之间的关系中自变量是 ，因变量是 ； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为 ；物体质量每增加，弹簧长度增加 ； (3)直接写出与的关系式： ； (4)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是多少？当弹簧的长度为时，所挂物体质量是多少？（写出解答过程并作答） 【答案】(1)悬挂的物体的质量，弹簧的长度 (2)10，2 (3) (4)所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是 【分析】本题考查了函数关系式，自变量和因变量，读懂图表数据，并从表格中得出正确结论是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义解答即可； （2）由时y的值可得弹簧不悬挂重物时的长度，由表格中的数据变化可得物体的重量每增加，弹簧长度y增加； （3）根据（2）中的结论可得y与x的关系式； （4）把，与代入（3）中的关系式即可得出结果． 【详解】（1）解：上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：悬挂的物体的质量，弹簧的长度； （2）解：弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故答案为：10，2； （3）解：y与x的关系式为：， 故答案为：； （4）解：当所挂物体质量是时，弹簧的长度是， 当弹簧的长度为时，， 解得：， 答：所挂物体质量是时，弹簧的长度是，当弹簧的长度为时，所挂物体质量是 23．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t，h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据自变量和因变量求解； （2）根据图象求解； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是t，因变量是h； 故答案为：t，h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108，3； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 24．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 25．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案； （2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可 【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为； （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第六章 变量之间的关系·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．李师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中常量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 2．在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（   ） A．10克 B．39克 C．20克 D．52克 3．如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 4．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 5．如图，三角形底边上的高是．当三角形的顶点沿底边所在直线向点运动时，在这个变化过程中，下列叙述正确的有（ ） ①线段的长是常量；②底边上的高是常量；③线段的长是变量；④三角形的面积是变量． A．个 B．个 C．个 D．个 6．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A．B．C． D． 8．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 9．以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ）    A．③①④② B．①③④② C．①④③② D．③④①② 10．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 12．如图，当时，相应的y值是_____． 13．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为___________． 温度 导热率 14．小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为___________． 15．跳台滑雪是冬奥会比赛项目之一，一名参赛运动员起跳后，飞行路线如图所示．若h（单位：m）表示飞行高度，s（单位：m）表示运动员与滑出点的水平距离，则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m． 16．如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．写出下列变化过程中的变量和常量： (1)一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是元，小佳购买n本练习本，剩余M元； (3)气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化，某地气温为，海拔每升高气温下降． 18．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： (1)这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ (2)这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ (3)这个问题中的变量是什么？ 19．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 20．探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 (1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________． (2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？ (3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________． 21．科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； (2)变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； (3)在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 22．如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 … (1)上表变量之间的关系中自变量是 ，因变量是 ； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为 ；物体质量每增加，弹簧长度增加 ； (3)直接写出与的关系式： ； (4)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是多少？当弹簧的长度为时，所挂物体质量是多少？（写出解答过程并作答） 23．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 24．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 25．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $