山西运城市康杰中学2026届高三考前自测（三）数学试题

康杰中学2026届冲刺模拟卷（三) 数学 注意事项！ 1、答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.下列命题中，真命题是() A.3,∈R,e≤0 B.VxER,2*>x2 C.a+b=0的充要条件是2=-l D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 2.定义集合A和B的运算：AOB={(x,y川x∈A,yEB},若集合A={1,2,3},B={2,3},则4AOB的真子 集个数为() A.31 B.32 C.62 D.63 3.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N100,σ)，已知 P(90<X≤100)=0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为（) A.784 B.490 C.392 D.294 4.已知a,b是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，则使得。⊥b成立的是（) A.a⊥a,blWp,a⊥B B.a⊥a,b⊥B,allp C.aca,b⊥B,allp D.aca,blWp,a⊥B 5.已知直线1：xc0号+ys加号-1与圆G:f+产=5，圆G:x+了-2的交点从左到右依次为A,BC 5 D,则|AB|+|CD=() A.1 B.2 C.3 D.4 6,已知双曲线C:号@>0，b>0的左、右焦点分别为，2，过乃作与C的一条渐近线平行的 直线，交C的左支于点P,且PR⊥PF,则C的离心率为() 4⑤ B.5 2 C.5 D.7 康杰中学2026届冲模拟卷（三）数学试题第1页共4页 7、若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成的角的余弦值为 3,则此圆合与其内切球的体积之比为() A子 3 B.2 C. 5 2 D. cos(2πx-2πa). x<a 8、 设aeR,函数f闭-2-2a+lx+a2+5,x≥。 若f(x)在区间(0，+o)内恰有6个零点，则a 的取值范围是() A(别 B. 2别 c() .2[) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知∫(x)=(1-2x)7=4+4x+42+42+a+6元+4+4名，则() A.a,=14 B.a+a2+a4+a6=1093 C.a+2a2+3a+4a4+5a5+6a6+7a,=-14 D.∫(-3)除以8所得的余数是7 10.已知正项等比数列{an},等差数列bn}满足：a1==1,a2=b,a3=b2+b4,记Sn为{an}前n项 和，Tn为亿n}前n项和，则下列正确的有（) A.a =20-1 B.bn=n C.存在k∈N”,使得Sk=T D.对任意n23,都有Sn>T 11.记△MBC的内角4，B,C所对边分别为ab,c,点M为4C的中点，b=2,c0sC_2aC,延长AC 到点D,使点C为线段AD的中点，则（) AB=月 B.△ABC周长的取值范围为(4,6] C.BM的最大值为2 D,BD的最小值为22-25 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设a∈R,若复数(1+)(2-ai)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=一 康杰中学2026届冲刺模拟卷（三)数学试题第2页共4页 13、从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有 重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个（用数字作答) 14.如图，抛物线C的方程为y2=2px(p>0),焦点是F,圆心在x轴上的圆E与抛 物线C在第四象限有且只有一个公共点M,且它们在点M处的切线是同一条 直线.若点M的横坐标为3，∠FMB=石，则实数p的值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=√2，acosC=c(5-cos4) (1)求b. (2)若D点满足BD=1DC,∠CAD=2∠DAB,求a. 2 16.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2,∠ABC=60°，AC/1平面BGH, 点G,H分别在棱PA,PC上，且GH⊥PD. (1)求证：PA=PC: (2)若PB=PD,PB与平面PAC所成的角为60°，点A关于平面PCD的对 称点为M,求点M到平面PAB的距离. 17.(15分)已知函数f(x)=sin x+lax-ar. (1)若函数f(x)在点(L,f(I)处的切线过(-1，)，求a的值： (2)若a>2,证明：fw)<1恒成立： (3)试求出正整数a的最小值，使(x)存在唯一的极值点. 康杰中学2026届冲刺模拟卷（三）数学试题第3页共4页 18.7分)已知描圆C:芳+芳=Kab>0的长辅长为，直线y=6k>0与稀圆C交于A,两 点（点人在第一象限、当大=巨时，，B在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点。 2 (1)求C的标准方程： (2)若AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交C于点P,记直线P的斜率为k, (i)证明：k,为定值： (ⅱ)设|B=t|AP|,求t的最小值. M 19.（17分)小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块 为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他 每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并 补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用. (1)记第n次使用后一次性电池剩余的块数为X,求X2的数学期望： (2)记第n+1次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为Pn· (i)求Pn ()分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大。 命题人：李元芳 审题人：杨淑艳 康杰中学2026届冲刺模拟卷（三）数学试题第4页共4页康杰中学2026届冲刺模拟卷（三)数学参考答案 1-5.DDCCB 6-8.BAA9.BCD10.ACD11.ABD12.-213.19814.18 8.A法1：【详解】x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，所以cos(2πx-2π)=0至少有4个根， 由2-20受kez可得=+行0e2,由0会aa可得-206< 24 2 （0x<a时，当-55-2a-日-4时，了有4个零点，即子<as: 4 当6s-2a--5,)有5个学点，即2<as号： 2 当-7s-2加-6，f因有6个学点，即<as号： (2)当x2a时，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5,△=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2), 当a<2时，4<0，f(x)无零点；当a=2时，△=0，f(x)有1个零点： 当a>2时，令fo)=a2-2aa++a2+5=-2n+520,则2<a≤3，此时/()有2个零点： 所以若a>时，()有1个零点 7 9 综上，要使(x)在区间(0，+∞)内恰有6个零点，则应满足 4或 s 2或5或 4 2<a 2 (a<2 则可解得a的取值范围是（怎 法2：排除法 11.ABD 【详解】对于A,已知osC-2a-c-2a-C,由正弦定理得osC- 2sinA-sinC cosB 2 b cosB sinB EcosCsinB=2sinAcosB-sinCcosB,sinCcosB+cos CsinB=2sin/AcosB, 则有sin(B+C)=2sin4cosB,得sinM=2sin4cosB,又由于Ae(0,m),所以sinM>0,故cosB=， 而8e0,,所以B=于，选项A正确：对于B,在△MBC中，由余弦定理cosB=+C-,得。+c2-oc=4, 2ac 所以4=a+-ae,w(空所以c=e+g-4s+,即o+g516,当且仅当-e时取等 号，由于2<a+c≤4，所以△ABC的周长的取值范围为(4,6]，故选项B正确： 4V5 对于C,法l:在△ABC中，由正弦定理得sinA sinC sinB√3，a= -sinC 2 sind,c=4 3 由AC的中点为M,有BM=(⑧A+BC), 國-厨+网-分F++a42c 2/4* 1 32 sinAsinc 3 4+32sin/sin A+ 6V3 sinAcos+ 16sin 2V3 8 1 3 20+8(V5sin2A-cos2A） sin24+8（-cos2A）=2V写+ 20.16. 6 由于4c0,受，放@函的最大值为5，选项C错误：法21中线长判断.法3：极化恒等式判断. 第1页共4页 对于D,设A=0,所以a=4W5sin0,在△BCD中由余弦定理， 3 BD2=a2+4-2×2 xacos 0+ sn9+4-85 3 inecos 29L-cos20)+4-4y5 3 m0-号6anz045cm20--an(0+p 3 33 5v3 tan= 3 pe0,2 故当20+m=受即g=之9时，B0取最小值2_85，所以BD的最小值为 33 2W21-2W 3,故D选项正确。 故选：ABD. 3 14.【答案】18法1：【解折1由题意知，w=3,1M+号=3+号，M6-6),设0，又么n=号 a5空，很n3+p即B的+n0,又FPC号0，侧EF=3+号=M,放4Fwe为等腰三角形， 2 ∠PEM=∠EMBe,an石=V6=9=3,得p=18.法2：抛物线的光学性质 15.【详解】(1)由acosC=c(V2-cosA及正弦定理得sinAcosC=√2sinC-cosAsinC,.2分 即sin AcosC+cos AsinC=V2sinC,即sin(A+C)=V5sinC,3分 由A+B+C=π得，Sin(1+C)=sinB,5分 即siB=√2sinC,进而由正弦定理得b=√2c=2:6分 (2)因为∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠ADB=sin∠ADC,.… .7分 设BD=x,则由题意DC=2x,设∠DAB=日，则∠CAD=20,… 则由正弦定理得，5。x,2.2x .8分 sin乙1DBs6sim乙ADCn20消去x得isin0=5in20,10分 以2sin0=2sn0cs0,又sim9≠0，所以cos8=只，所以0=月所以Z2 4， 由余弦定理得a2=2+(2-2×2×V20s=10,所以a=0. 4 13分 16.【详解】(1)证明：连AC,BD相交于点O,连PO.,底面ABCD为菱形，∴.AC⊥BD且AO=OC. …2分 又AC/I平面BGH,ACc平面PAC,平面PAC∩平面BGH=GH,∴.AC/IGH, ∴.GH⊥BD,又GH⊥PD,而PDOBD=D. .GH⊥平面PBD,又AC/GH,.AC⊥平面PBD,而POc平面PBD,4分 ∴.AC⊥PO,AO=OC,△PAC为等腰三角形，即PA=PC.…6分 (2)若PB=PD,则PO⊥BD,由(1)知PO⊥AC,.PO⊥平面ABCD, D 以O为原点以OB,OC,OP分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，…7分 又AB=2,∠1BC=60°，则A(0,-1,0),B(V5,0,0),C(01,0),D(-5.0.0), ,PO⊥AC,AC⊥BD,.BO⊥平面PAC,PB与平面PAC所成的角为60°， ∠BP0=60°，.P0=1,P(0,0,).…9分 Ac=(0,2,0),CD=(-5,-1,0),P元=(0,1，-1). 设平面PCD的法向量为m=(x,,) 则5x-为=0取=l,为=5,4=-5，m=05,同， …11分 y-3=0 设M(:,2,2),MC=(-x,1-2,-22),则A,M到平面PCD的距离相等，…12分 d= c列_c,m_同上x-5+⅓+52 )…13分 m√7 第2页共4页 冰-5+-26，又后=。学岩后解将5号引…4分 MB 115512 。777 设平面PAB的法向量为万=(：为，名)，B=CD=(-5,-1,0),P=(0,11). 则5x-为=0取=1为=-5，=5，n=0,-5,, 为+3=0 11W5+5√3-12W3 7 454W21 则点M到平面PAB距离为d三 7749·15分 17.【详解】(D由已知x>0,fe)-受cs+ π -a 1分 所以f'(0)=1-a,f(0)=1-Q,… ............ 2分 则f(x)在点(1，f(I)处的切线为：y=(1-a(x-1)+(1-a), 4分 即y=(1-a)x,所以a-1=1,a=2: .5分 （2)）若a>分则-w-方，>0. .7分 所以km传nx-s1+hx-含 1 .10分 记（闭=i血x-x+1,则ga)=) x2 … .12分 易知xe(0,2)时，g'(x)>0,函数递增：x∈(2，+o)时，g'(x)<0。函数递减， .14分 六g(xmx=g(2)=lh2<1:… 15分 18.【详解】（1)由题意有2a=4,所以a=2…。 …1分 设椭圆焦距为26，易知椭圆过息C29,所以+，=1品 …2分 又G=8+d,所以e心=4-8所以4方+21，即（6+062-2小-0，解得=2…3分 所以a=2,b=c=V反，故C的标准方程为+ 42 =1.4分 (2)(i)设A(,)(>0,为>0)，B(-x,-y),P(x,y),则M(x,0),由题意有k= 直线P的斜率即阳BN的斜率为安一分所以直线即的方程)+久一<+) .6分 所以%+%=+小，又A,P在精圆上， 5+公-1 42 ,20+n更 “（名-x)店+)=2 …8分 、42 :6=为弘=-，当+ x1+x0 有-20%+%）2×气6+) 9分 .k0=-1… …10分 (ii),'∠ABP=∠AOM-∠BMO=∠AOM-∠PMk, .11分 而m10M=k,m∠Ps-克12分 由(i)知k。=-1,.AP⊥AB,又k>0, 第3页共4页 =tan∠ABP= tan∠AOM-tan∠PMr 2 k 1+tan∠OM tan∠PM 1+ 2+k,…14分 =K2+2毛k+222k=2W2m k …15分 当且仅当k=2,即k=V2时等号成立……16分 所以1≥22.1的最小值为25，…17分 19.【详解】（1)X,的可能取值为0,1,2，…1分 2x1=1, 13125 所以P(X2=0)=二x 4x4gP(x=1)=x3+ 24248’… …3分 P(X,=2)-2*24 111 … …4分 所以E(X)=1x3+2x 19 81 48 5分 (2)()记事件A：第一次取到一次性电池，事件B:取到可充电电池，事件4：第二次取到一次性电池， 由条件，假设第k≤k≤)次抽取时，事件4发生，概率P(4)=,第m+1次抽取时，事件乃发生，概率P(4)-日， 在事件A前面每次发生事件B的概率为，后面每次发生事件B的概率为三，则有 3 抽取次数 1 2 … k-1 k k+1 n n+1 事件 B B B A 880 夕 A 所以-2好) ……10分 ÷]j町 …12分 D令p-风，=>0，即2>3，所以A<A>A>p>, 所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大. …17分 第4页共4页