专题08 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题08 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数中的规律探究问题 1 题型二、一次函数中求线段和最值问题 6 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 14 题型四、一次函数中分段函数探究问题 21 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数中的规律探究问题 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【答案】 7 【分析】根据正方形的性质得出相等的边，根据一次函数得出各正方形的边长，得出规律求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ∴， ∴点的横坐标是； ∴点的横坐标是． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】 64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 3．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意先求得，，，得出规律，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ ∴直线与坐标轴的夹角为 ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形，为斜边 ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， ∴直线的解析式为 联立，解得：，则 联立，解得：，则 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， ∴直线的解析式为 联立，解得：，则 联立，解得：，则 ∴ ∴ ∴ …… ∴ ∴的坐标为 题型二、一次函数中求线段和最值问题 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG， 直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴令，则；令，则，解得， ，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵点C与点G关于对称， ∴，， ∴， ∵，， ， 又∵点C与点F关于对称， ，，， ， ∵，， ∴的周长， 当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为的长， ∵在中，， 周长的最小值是． 6．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，利用平移性质确定点在直线上运动，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质及两点之间线段最短求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，且， ，， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 设，则， 点在直线上， ， 解得， 点在直线上运动， ， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，点在直线上，其纵坐标为5．在轴上找一点，连接，使的值最小，求出的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段组成，，，一条线路从点发出，经过线段上的点最终到达点（点是上的动点），其中点在边上，且，点为的中点．以所在直线为轴，以平行于且经过点的所在直线为轴建立平面直角坐标系，请问线段是否存在最小值？若存在，求出当线段最小时点的坐标；若不存在，请说明理由．（坐标系中一个单位长度表示1cm） 【答案】（1）的最小值为；（2）存在，点的坐标为． 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． （1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标；将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，利用勾股定理求解即可； （2）根据已知条件得到,，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，最小，，且的最小值为的长，求得直线和的解析式，解方程组即可得到结论． 【详解】解：（1）对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． ∴， ∴的最小值为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，点D为的中点， ∴，， ∴,， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，最小，，且的最小值为的长， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为． 8．（2021·江苏常州·二模）阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值． 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD． 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合… 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________； 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________． 【答案】[尝试解决]7；[灵活运用]，2；[拓展提升]， 【分析】尝试解决：根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将A向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到D点的位置，进而得到C点的位置．写出，坐标，利用两点间距离公式求解即可； 灵活运用：借助上一问的思路，CD的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值； 拓展提升：按照前面的思路，CD的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值． 【详解】解：[尝试解决]：由题意得，，， ， ， AC+CD+DB的最小值是7， 故答案为：7． [灵活运用]：先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点即为D点，以D点为圆心，的长度为半径画圆，与直线的交点即为C点，连接AC、CD、BD，此时AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD． 作图如下： 由作图得，，且， 四边形是平行四边形，且，，，， 最小值为， 此时a为C点的横坐标2， 故答案为：，2． [拓展提升]：先将A点向右平移2个单位长度得到，得到平行四边形，，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求的最小值， 由题意得： D点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点B，连接，与直线的交点为点D，D点向左平移2个单位为C点，如图： 与直线垂直， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 是的中点，设， ， 解得， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 点是直线与直线的交点， 解得， ， 点是由D点向左平移2个单位长度所得到的点， ， 此时，， 故答案为：，． 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 9．（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度，求平移后直线的函数表达式． 小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为；小丽认为平移前后直线中的不变，只要求出的值即可．她的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证： [解决问题] (1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点向下平移4个单位长度后的对应点的坐标为________，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为________； (2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向右平移2个单位长度，平移后直线的函数表达式为________，利用上下平移的规律，将直线向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度也能得到这条直线； (3)[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形将图形上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，我们把这个过程称为图形的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． (4)请你直接写出次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)，下， (3) (4) 【分析】（1）根据点的平移规律求出平移后的坐标，再利用待定系数法求一次函数表达式； （2）先根据直线的平移规律求出平移后的表达式，再根据点的平移规律确定点的平移方向和距离； （3）先根据一次“斜平移”的定义求出一次“斜平移”后的直线表达式，再对其进行二次“斜平移”，从而得到表达式； （4）根据一次、二次、三次……“斜平移”后的表达式，分析规律即可得出次． 【详解】（1）解：向下平移4个单位长度， 即， ， 平移前后直线中的不变， 设过点的直线的函数表达式为， 代入， 得 ， 解得， ． （2）解：直线向右平移2个单位长度，平移后的函数表达式为，利用上下平移的规律，将直线向下平移6个单位长度也能得到这条直线． （3）解：直线一次“斜平移”为 ， 直线一次“斜平移”为． （4）解：一次“斜平移”后得到表达式， 二次“斜平移”后得到表达式， 三次“斜平移”后得到表达式， …… 次“斜平移”后得到表达式． 12．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 题型四、一次函数中分段函数探究问题 13.小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量的取值范围是___________． (2)下表是与的几组对应值：                0 1 2 3 1 3 写出表中的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)； ②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________． 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 (4)①<；②且 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当时，， ∴． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且． 故答案为：①；②且． 14.探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质________． 【答案】(1)0 (2)见解析； (3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想． （1）代入x的值即可求出a即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 故答案为：0； （2）解：描点，画出函数图象如图所示： ； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 15．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，______； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】 本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质． （1）把代入函数解析式，求出y的值即可； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，． ∴， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 16．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 17．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为． 【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”． 【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线的“7字形距离”为 ． 【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D． ①求； ②求点B关于直线的“7字形距离”． 【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出． 【答案】（1）①，②4；（2）①；②；（3）或； 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、一次函数的平移、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①由题意可得，再说明；如图：过点D作，即是等腰直角三角形，再用等腰三角形的性质以及勾股定理可得即可解答；②由等腰三角形的性质可得竖直方向的长度；如图过点E作交于H，即是等腰直角三角形，再求得水平方向的长度为，进而完成解答； （2）①由一次函数的平移可得；如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，进而求得、、、，再运用等面积法求得、，最后根据平行线、之间的距离求解即可；②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，然后求得、，再根据“7字形距离”的定义求解即可； （3）由题意可得，设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，进而可得，再根据点P关于直线的“7字形距离”为，可得，解得：，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵与是等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图：过点D作，即是等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：（已舍去负值）； ∴． 故答案为：． ②∵与是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴竖直方向的长度， 如图：过点E作交于H，即是等腰直角三角形， ， ∴水平方向的长度为， ∴点E关于直线的“7字形距离”为． 故答案为4． （2）①由题意可知是由向上平移5个单位长度得到的，即 ； 如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形， 由， 令，得，则，； 令，得，则，； 由， 令，得，则，即； 令，得，则，即； 由等面积法可知， 则，， 所以； ②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，则点B关于直线的“7字形距离”为， ， ∵，， ∴， 对于，令，得，则，所以 所以． （3）由题意可得， 设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N， 对于，令，则，可得； 令，则，即，可得， ，， ， 点P关于直线的“7字形距离”为， ， ，即， 或，即或 当时，同上得； 当时，同上得． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，正确理解一次函数的“相依函数”的定义是解题关键．先求出一次函数的“相依函数”，再将代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：一次函数的“相依函数”为， ∵点在一次函数的“相依函数”图象上，且， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 【详解】解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，，，，，最后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴， ∵在直线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 又∵轴， ∴纵坐标为1， ∴代入，得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，． ∴当时，． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点P作于点M，根据垂线段最短，当点Q 与点M重合时，取得最小值，利用三角形面积不变性，列式解答即可． 本题考查了垂线段最短，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键． 【详解】解：连接，过点P作于点M，根据垂线段最短， 当点Q 与点M重合时，取得最小值， ∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴,, ∴, ∴, ∵点的坐标为， ∴, ∵, ∴, 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解． 【详解】解：， ， 设平移距离为， 平移后点的坐标为，点的坐标为， 又点在直线上， ． ∴， ， 线段的长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，新定义，根据题意得到当时，经过或；当时，经过或；计算即可. 【详解】解：∵关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个， ∴当时，经过或， ∴或， 解得：（舍去）或； 当时，经过或， ∴或， 解得：（舍去）或； 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 三、解答题 9．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【详解】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： （1）已知直线与直线互相垂直，则的值为______； （2）若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【拓展】材料：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即． 如图，在等腰三角形中，，点的坐标为，． （1）点的坐标为______； （2）求直线的表达式． 【答案】（1）；（2）直线的表达式为； 拓展答案：（1）；（2） 【分析】本题考查直线垂直的斜率关系，待定系数法求一次函数的表达式，中点坐标的求法，等腰三角形的性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据直线垂直的斜率关系，得到直线的斜率，继而得到的值． （2）根据直线垂直的斜率关系，直线的斜率，用待定系数法得到直线的表达式． 拓展分析： （1）根据等腰三角形三线合一的性质，以及中点坐标公式，得到点的坐标． （2）首先根据点的坐标得到直线的表达式，根据，得到直线的斜率，用待定系数法得到直线的表达式． 【详解】解：（1）∵直线与直线互相垂直， ∴，解得：； 故答案为：； （2）∵直线与直线垂直，设直线的表达式为：， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线经过点， ∴把代入，得：，解得：， ∴直线的表达式为：； 拓展详解： 解：（1）∵在等腰三角形中，，， ∴是的中点，且点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，即； 故答案为：； （2）设直线的表达式为，直线的表达式为， 把点的坐标代入，得到：，解得：， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线与直线垂直， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， 把点的坐标代入，得：，解得：， ∴直线的表达式为. 11．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知直线：交轴于，交轴于． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图①，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，且． (1)直线的函数表达式为______， (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标； (3)如图②，在轴负半轴有一点，，，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）当时，得，进而可得，进而可得，再求出，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴垂线交于点，设，则，根据得，进而可求解； （3）先求出，可得，进而可得，由，根据由平移的性质得出直线的解析式为，然后分两种情况分析：当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M；当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，分别利用一次函数的性质及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ， ， ， ， ∵在上， ∴，故点， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：∵，， ， ∴， 过点作轴垂线交于点，如图： 设，则， ， 即： ∴， 或， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（1）得：， 令，则， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵将直线平移过点得直线，直线的解析式， ∴设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M，如图所示： ∴， ∴， ∴，符合题意， 设直线的函数解析式为，将点B、M代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得：， ∴； 当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，如图所示： ∵， ， ， ∵，直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， 综上可得：或 ． 13．（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 故答案为：0； （2）解：函数图象如图所示； ； （3）解：观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②对于函数，当时，y的取值范围是； ③当时，，当时，， ∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位． 故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位． 14．（24-25九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义∶若，则点与点的“特别距离”为；若，则点与点的“特别距离”为． 例如∶点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点)． (1)已知点，为轴上的一个动点． ①若点与点的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“特别距离”的最小值． (2)已知是直线上的一个动点，如图2，点的坐标是，求点与点的“特别距离”的最小值及相应的点的坐标． 【答案】(1)①点B的坐标是或；② (2)， 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了新定义“特别距离”、点的坐标、绝对值等知识，本题综合性强，弄清楚题干中的已知条件，正确理解“特别距离”的定义是解题的关键． （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为，由“特别距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为．根据，“特别距离”为即可求得最小值； （2）设点C的坐标为．根据材料可知C、D两点的“特别距离”取最小值时，，据此可以求得最小值和点C的坐标． 【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为． ∵， ∴， 解得或； ∴点B的坐标是或； ②设点B的坐标为， 当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∴， ∴当时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为； （2）解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是， ∴设点C的坐标为， ∴，， ∴若， 解得，此时较大值为； 当， 解得，此时较大值为， ∴当时， ∴点C与点D的“特别距离”的最小值为， 此时． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、一次函数中的规律探究问题. 题型二、一次函数中求线段和最值问题… .…6 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 14 题型四、一次函数中分段函数探究问题 …21 题型五、一次函数中的新定义型综合问题。 .26 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、一次函数中的规律探究问题 1.(25-26八年级下·河北秦皇岛·期中)正方形A,B,C0,A,BC,C1,AB,C,C2按如图的方式放置，A,A2,A…和 点C,C2,C,…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B的横坐标是 ,则点B,的横坐标是 PA A: B3 A B2 B /O C C C3 x 2.(25-26八年级上，广东梅州期末)如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平行线交直 线y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交直线 y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,…,依此类推，得到直线y=x+2上 的点A、A,4,…,与直线y=0.5x+1上的点B,B,B,,则AB。的长为 A3 y=x+2 … A y=0.5x+1 Ao) 3.(25-26八年级上·四川达州期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,4,A4都在x轴上，点B, B,B都在同一条直线上，△AAB,△BAA2,△B,B4,△B2AA,△B,B2A,都是等腰直角三角形， 且AA=1,则点B26的坐标是_ 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A衣 4.(2026黑龙江齐齐哈尔模拟预测)如图，点4在直线：y=2x上，点B在直线，：y=2x上，连接4B ,以AB,为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为G；过点C作A,B的平行线，交4：y=2x于4，交 :y=2x于B,连接4品，以4,8，为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为C:过点C,作4B的平 1 行线，交：)=2x于4，交：y=2x于B,连接4B,以48为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶 点为C:过点G作A8的平行线，交：y=2x于A,交：y=2x于B,连接4B,以4，B,为斜边，向外 作等腰直角三角形，直角顶点为C…按此规律，若A(1,2,B,(2,1，则Cs的坐标为一 C A B 题型二、一次函数中求线段和最值问题 5.(25-26八年级上陕西西安期末)如图所示，直线y=x+6与两坐标轴分别交于A,B两点，点C是OB 的中点，D,E分别是直线AB和y轴上的动点，则aCDE周长的最小值是 D 6.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图，在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(0,2),点P是直线y=-1上 一动点，作平行四边形ABPQ,当BP+BQ取最小值时，点Q的坐标为 2/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线y=-1 7.(25-26八年级上·陕西咸阳期末)【问题探究】 (1)如图1，已知一次函数y=2x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A,B,点C在直线AB上，其纵坐标 为5.在x轴上找一点P,连接PB,PC,使PB+PC的值最小，求出PB+PC的最小值. 【问题解决】 (2)如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段0A,AB,B0组成，∠OBA=90°， OB=BA=40cm,一条线路从D点发出，经过线段OA上的点P最终到达点C(点P是OA上的动点)，其中 点C在边AB上，且BC=3AC,点D为OB的中点.以OB所在直线为x轴，以平行于AB且经过点O的所 在直线为y轴建立平面直角坐标系，请问线段DP+PC是否存在最小值？若存在，求出当线段DP+PC最 小时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（坐标系中一个单位长度表示1cm) C ⊙ A D B 图1 图2 8.(2021江苏常州二模)阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),连接AC、CD、DB,求AC+CD+DB的最小值. 【思考交流】 小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连接AB1交x轴于 点D,将点D向左平移2个单位长度得到点C,连接AC、BD.此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD, 小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1,作点A1关于x轴的点A2,连接A2B可以求解. 小亮：对称和平移还可以有不同的组合 3/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A 图3 【尝试解决】 在图2中AC+CD+DB的最小值是 【灵活运用】 如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),B(5,1),C(a,1),D(a+2,0),连接AC、CD 、DB,则AC+CD+DB的最小值是 ,此时a= 并请在图5中用直尺和圆规作出AC +CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）. 6 6 5 4 3 3 2 D 1 -.D 04678x 234678 2 -2 2 图4 图5 图6 【拓展提升】 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且 CD=2(点D在点C右侧)，连接AC、CD、AD,直接写出AC+CD+DA的最小值是 ，此 时点C的坐标是 题型三、一次函数中直线平移的综合问题 9.(25-26八年级下山西临汾·期中)综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B,一次函数乃=x+b经过 点B. 4/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B 0 O 图1 图2 (I)求线段AC的长： (2)如图2，把直线BC沿y轴向上平移5个单位，与直线AB相交于点M,连接MC,求△MBC的面积： (3)在直线x=-2上是否存在一点Q,使得△ABQ的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在， 请说明理由 10.(25-26八年级上·安徽安庆·期末)(1)【源于课本】 将一次函数y=-2x+6的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为： ； (2)【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数y=一2x+6的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的 函数表达式.数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移.因此，只需要在图象上任取两点A,B,将它 们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点A,B的坐标，从而求出直线A'B对应的函数表达式为：； ②（轴对称探究）将图中一次函数y=-2x+6的图象关于y轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： 0 B y=-2x+6 11.(25-26八年级下·河南南阳·期中)[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线y=3x-2向下平移4个单位长度，求平移后直 线的函数表达式。 小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为y=3x一6；小丽认为平移前后直 线y=kc+b中的k不变，只要求出b的值即可.她的方法是：在原直线上任意找一点，如点A(1,),先把A 按要求平移，得到相应的对应点！，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证： [解决问题] (1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点A(1,1)向下平移4个单位长度后的对应点A的坐标为 ，利 用待定系数法求得过点A的直线的函数表达式为 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线y=3x向右平移2个单位长度，平 移后直线的函数表达式为 ,利用上下平移的规律，将直线y=3x向 （填“上”或“下”)平移 个单位长度也能得到这条直线： (3[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形M将图形M上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移 2个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”.请你求出将直线y=3x进行两次“斜平移”后得 到直线的函数表达式。 (4)请你直接写出n次“斜平移”后得到直线的函数表达式， 12.(25-26八年级上江苏南京·月考)【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函 数y=kx+b(k≠0的图象可以由正比例函数y=:的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行 了如下的深究活动 V角 y=2x -6 图1 图2 (①)请你完成探究活动中的相关问题 ①将y=2x的图象向上平移4个单位，得到的直线1，则1的函数表达式为 ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线I的图象； ③观察图象，直线1也可以看作由y=2x的图象向 (填“左”或“右”)平移 个单位 得到. ②【类比迁移】将y=子x+1响下平移3个单位得到的图象，相当于将y=了+1向 1 (填“左” 或“右”)平移 个单位得到： (3)【拓展升华】将y=kx+b(k>0)向下平移m(m>0)个单位得到的图象，相当于将y=kx+b(k>0)向 （填“左”或“右”)平移 个单位得到 (4)【综合应用】已知一次函数y=x+b的图象如图2所示，结合(1)一(3)的探究，请用无刻度的直尺 1 和圆规在同一直角坐标系中画出y=x+2b,y=。c-b的图象.（不写作法、保留作图痕迹） 2 6/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四、一次函数中分段函数探究问题 13.小明根据学习函数的经验，对函数y=2+x的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面 的过程 (1)函数y=。x+x的自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值： -3 -2 0 3 3 1 3 9 m 3 2 2 2 写出表中m的值； (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； 6 5 4 3 2 -4 .-3-2-10 23456 2 -3 4 (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点P(x,,Qx2,y2),若0<x<x2,则 (填">”，"=”或“<") ②当x>2时，若对于的每一个值，函数y=2+x的值都大于一次函数V=+1的值，则的取值范围 是 14.探究函数y=-x+4的图象与性质. 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y=-x+4的图象与性质进行了探究： (1)在函数y=-x+4中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值. 7/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 表格中a的值为 (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； Ay 5 3 2 1 -5-4-3-2-1 01 2 345x (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为】 ②写出该函数的一条性质 15.某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y=x-1的图象与性质进行了探究，下面是该小组的 探究过程，请补充完整： (1)列表： 其中，b= (2)描点并连线： 在下面平面直角坐标系中画出函数y=x-1的图象； 5 4 3 2 5-4-3-2-1,012345i -4 5 (3)根据图象直接写出函数y=x-1图象的两条性质. 题型五、一次函数中的新定义型综合问题 16.(25-26八年级上·广东佛山期中)新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线1与坐标轴不平行，点 P为直线I外一点.过点P分别作PE∥x轴交直线1于点E,作PF∥y轴交直线1于点F,我们称折线EPF 8/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为点P关于直线1的“L路径”，“L路径”的长度称为点P关于直线1的“L距离”，记为Lp,即Lp=PE+PF. m A m B 图1 图2 图3 备用图 定义理解 Q)如图2，若直线1的表达式为y=x-1,与x轴和y轴分别交于A,B两点，求Lo1·(点0为坐标原点) 3 (2)定义运用，如图3，将直线1：y=。x-1向左平移n个单位长度后得到直线m:y=。(x+n)-1,与x轴 3 和y轴分别交于D,C两点，当L。m=L。-时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在(2)的条件下，y轴上是否存在点Q,使得△QAB为等腰三角形，且点Q关于直线1的L 路径”与直线m有交点.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 17.(25-26八年级上广东深圳期末)【定义1】如图1，在平面内，直线l∥12，点A、B分别为直线4、2 上的点，当AB⊥l2时，线段AB的长称为平行线、Z之间的距离，记为d(,l2). E ◇ B E 图1 图2 【定义2】如图2，在平面内，点P为直线1外一点(1既不是水平方向也不是竖直方向的直线)，过点P分 别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线1于点E、F,我们称折线EPF为点P关于直线1的7字形路 径”，“7字形路径”的长度（即PE+PF)称为点P关于直线1的“7字形距离”. 【定义理解】(1)如图3，ABC与ADE是等腰直角三角形，AB=6,AD=4,①d(DE,BC)=-,②点E 关于直线BC的“7字形距离”为_ 【定义应用】(2)如图4，在平面直角坐标系中，已知直线l:y=2x+1,将直线向上平移5个单位得到直 线，直线分别与x、y轴交于点A、B,直线分别与x、y轴交于点C、D. ①求d(4,l2); ②求点B关于直线的7字形距离”. 【拓展应用】(3)如图5，在平面直角坐标系中，已知直线4：y=2x+1,将直线沿y轴平移m个单位得 直线么，点P为直线马上的动点。者点P关于直线的7字形距离为}，求直线的表达式，并直接写出 d(4,l2). 9/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA D D 图3 图4 图5 18.(24-25八年级上江苏盐城期末)定义：在平面直角坐标系中，将直线.L1:y=ax+(ab≠0).的点的横 坐标和纵坐标都扩大到原来的k(k>0)倍，得到新的直线2，则称直线2为直线L的k倍伴随线” 【定义辨析】 (1)若点P(1,2)在L1上，则下列四个点①（0,0)、②(2,4、③-2，-4、④3,6)，在L1的“k倍伴随线” 2上的点有_（填序号）： (2)下列函数图像是直线y=x+1的“2倍伴随线”的是()； =1x+D.y=2x+2 1 A.y=x+2 B.y=2x+2 C.y=x+ 4 4 2 【定义延伸】 (3)若直线L1:y1=ax+b1的k倍伴随线”记为L2:y2=a2x+b2.现给出两个关系式：①ka1=a2;②kb1=b2.其 中正确的是_（填序号）： 【定义应用】 (4)如图，已知直线L:y=-x+2与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C, 能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国·单元测试)在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线y=x上的动点，A2,0), 10/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(4,0)是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为() V=x OA B A.2 B.4 C.25 D.35 2.(24-25八年级下福建福州期中)定义：对于给定的一次函数y=ax+b（ab为常数，且a≠0)，把形 ax+b(x20) 如y= 的函数称为一次函数y=ax+b的“相依函数”，已知一次函数y=x+2,若点P(-2,m)在 -ax-b(x<O) 这个一次函数的相依函数”图象上，则m的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，A2,3,B(3,0),C(5,1,D4,4),将直线1：y=-x+1以每秒2个 单位长度向右平移1秒，当直线I与四边形ABCD有公共点时，t的取值范围为() 4 -10 2345 A.1≤1≤3.5 B.2≤1≤4 C.1≤t≤3 D.2≤t≤2.5 4.(2425八年级下四川资阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点412 在过原点的直线上，以点O 为圆心，OA,长为半径画弧交直线l2:y=2x于点B,过点B作B,4,∥x轴交于点A;以点O为圆心， OA长为半径画弧交直线于点B,过点B作B2A,∥x轴交于点A;…按此规律，则点B2s的坐标为() A.（(20,205） B.(204,205） C.(20,2224） D.(202,223） 二、填空题 5。(2425八年级下全国期末)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为2.01，直线)等x+8与铺、 11/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y轴分别交于点A,B,点Q是直线AB上的一个动点，则线段PO的最小值为一· B 6.(24-25八年级下山西吕梁期末)如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC=5, 点B,C的坐标分别为-1,0)，(2,0)，将ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y=x-2上的点A时， 线段A'C的长为 BO BC 7.(24-25八年级下·甘肃白银·期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(-1,1)在直线y=x+b上，过点 A作AB,⊥x轴于点B,作等腰直角三角形A,B,B2(B与原点O重合)，再以AB2为腰作等腰直角三角形 A,A,B2,以A,B2为腰作等腰直角三角形AB,B,;按照这样的规律进行下去，那么Ao25的坐标为 y=x+b A3 A2 B1O B3 B古 B2) 8.(24-25八年级下·上海青浦·期末)定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0)的点叫做这 个函数图像的阶方点.侧如：点日是函数)=图像的前方点：点(-2-刂是函数)-子图像的2 阶方点”.如果y关于x的一次函数y=mx-4m+1图像的“2阶方点”有且只有一个，那么m的值为】 三、解答题 9.(24-25八年级下江西上饶阶段练习)如图，平面直角坐标系中，已知点A(1,5),B2,-4),点M在坐 标轴上. 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A(1,5) M衣 B(2,-4) (①)直接写出A,B两点到y轴的距离分别为和； (2)若点M在y轴上，求AM+BM的最小值： (3)若点M在x轴，当AM-BM最大时，求点M的坐标 10.(2026八年级下·全国.专题练习)阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下 面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义.设一次函数y=kx+b(k≠0)的图象为直线4，一次 函数y=kx+b,(k,≠0)的图象为直线Z,若k·k2=-1,我们就称直线与直线互相垂直.例如，直线 =3x-1与直线y=+1，因为3× =-1,所以这两条直线互相垂直. 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线y=0.5x-2与直线y=c-1互相垂直，则k的值为 2)若直线1经过点4-2，列，且与直线)=了x+3垂直，宜接写出直线1的表达式。 【拓展】材料：点4x,,B,)的中点坐标为+，上. 例如，点1,5)，(3，-1的中点坐标 、2 2 为生 即(2,2). 如图，在等腰三角形A0B中，OB=AB,点A的坐标为4,2，BC⊥OA. (1)点C的坐标为 (2)求直线BC的表达式. B 11.(24-25八年级上·四川成都阶段练习)如图1，已知直线(：y=k+b交x轴于A(6,0),交y轴于 B(0,6). 13/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B 、P 图1 图2 图3 (1)求直线的表达式： 1 ②如图2，直线CP的表达式为y=2x+c,点P为线段4B的中点，在直线CP上找一点0，使得O0+40最 小，并求出最小值： (3)如图3，己知点M(-2,0),点N(m,2m-6)为直线AB右侧一点，且满足∠0BM=∠ABN,求的值， 12.(24-25八年级上陕西榆林阶段练习)如图①，直线1：yx3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直 线6：y=c+b与x铺交于点C,与直线交于点D子)， 且AC=7. B D l3 图① 图② (1)直线的函数表达式为 (②点P为直线上一可点，若有50，m·求点P的坐标， (3)如图②，在x轴负半轴有一点E,OE=√5，∠0BE=30°，将直线平移过点E得直线4，连接BE,若 点M为直线飞上一动点，是否存在点M,使得∠MBE=60°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由， 13.(2425八年级下·北京·期中)小明根据学习函数的经验，对函数y=。x-x的图象与性质进行了探究并 解决了相关问题，请补全下面的过程. (I)下表是y与x的几组对应值： -3 -2 -1 0 2 3 3 3 y -3 2 什 2 写出表中m的值： m= 14/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； 2 5-4-3-2-191.2345x 21 5 (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点P(x,),Q(x2,y2),若0<x<x2,则 （填“>”，“=”或“<”)： ②对于函数y=7-州，当-2<x<1时，y的取值范围是 1 ③写出由函数y=。x-x的图象得到y=。x-x+的图象的平移方式. 14.（24-25九年级下·海南海口·自主招生)在平面直角坐标系x0y中，对于任意两点(x,)与P(x2,y2)的 “特别距离”，给出如下定义：若x1-x,≥以-y2,则点P与点B的“特别距离”为x-x若x-x<以-y ,则点与点的特别距离”为y-y2.例如：点P1,2),点P(3,5),因为1-3<2-5，所以点P与点的 “特别距离”为2-5=3，也就是图1中线段PQ与线段P0长度的较大值（点0为垂直于y轴的直线PQ与垂 直于x轴的直线PQ交点) y◆ P -x+4 P 01 3 图1 图2 (①已知点4-20)，B为y轴上的一个动点 ①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“特别距离的最小值， 3x+4上的一个动点，如图2，点D的坐标是(0,1，求点C与点D的特别距离”的最小 4 (2)已知C是直线y= 值及相应的点C的坐标. 15/15